線性變換習(xí)題答案

1、精品資料第七章線性變換3 .在 Px中，A f(x) f (x), B f (x) xf(x),證明：AB BA = E .解題提示直接根據(jù)變換的定義驗(yàn)證即可.證明任取f(x) Px,則有(AB BA)f(x) AB f(x) BA f(x) A (xf (x) B (f (x)(xf(x) xf (x) f(x) Ef(x),于是 A B BA = E .4 .設(shè)A , B是線性變換，如果 AB BA = E ,證明：kkk 1A B BA kA , k 1 .解題提示利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.證明當(dāng)k 2時(shí)，由于AB BA = E，可得A 2B BA 2 A (AB BA ) (A B BA

2、 )A 2A , 因此結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)k s時(shí)結(jié)論成立，即 A sB BA s sA s 1 ,那么，當(dāng)k s 1時(shí)，有As1B BA s 1 A (A sB BA s) (AB BA )A s sA s A s (s 1)A s , 即對(duì)k s 1結(jié)論也成立.從而，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)一切 k 1結(jié)論都成立.特別提醒由 A 0 E可知，結(jié)論對(duì)k 1也成立.5 .證明：可逆映射是雙射.解題提示只需要說明可逆映射既是單射又是滿射即可.證明 設(shè)A是線性空間V上的一個(gè)可逆變換.對(duì)于任意的 ， V,如果A A ，那么，用A1 作用左右兩邊，得到A 1(A ) A 1(A ) ，因此A是單射；另外，對(duì)

3、于任意的V ,存在A 1 V ,使得A A (A 1 ) ，即A是滿射.于是 A是雙射.特別提醒由此結(jié)論可知線性空間V上的可逆映射 A是V到自身的同構(gòu).可修改精品資料6 .設(shè)1, 2, L , n是線性空間V的一組基，A是V上的線性變換，證明A可逆當(dāng)且僅當(dāng)A 1,A 2,L ,A n線性無關(guān).證法1 若A是可逆的線性變換，設(shè) k1A 1 k2A 2 L knA n 0,即A (ki 1 k2 2 Lkn n) 0 .而根據(jù)上一題結(jié)論可知 A是單射，故必有k11k2 2 L kn n 0,又由于1, 2,L , n是線性無關(guān)的, 因此K k2 Lkn 0 .從而A 1, A 2,L , A n線

4、性無關(guān).反之，若A 1,A 2,L ,A n是線性無關(guān)的，那么 A 1, A 2,L , A n也是V的一組基.于是，根據(jù)教材中的定理1,存在唯一的線性變換 B ,使得B(A i)i 1,2,L ,n .顯然BA ( i)i , AB(A J A - i 1,2,L ,n .再根據(jù)教材中的定理1知，AB BA E .所以A是可逆的.證?t 2設(shè)A在基1, 2,L , n下的矩陣為A,即A ( 1, 2,L , n) (A 1,A 2,L ,A n) ( 1, 2,L , n)A .由教材中的定理 2可知，A可逆的充要條件是矩陣 A可逆.因此，如果A是可逆的，那么矩陣 A可逆，從而 A 1, A

5、 2,L , A n也是V的一組基，即是線性無關(guān)的.反之，如果 A 1,A 2,L ,A n是線性無關(guān)，從而是 V的一組基，且 A是從基1, 2,L , n到A 1,A 2,L ,A n的過渡矩陣，因此 A是可逆的.所以 A是可逆的線性變換.方法技巧方法1利用了上一題的結(jié)論及教材中的定理1構(gòu)造A的逆變換；方法2借助教材中的定理2,將線性變換 A可逆轉(zhuǎn)化成了矩陣 A可逆.9.設(shè)三維線性空間 V上的線性變換 A在基1, 2, 3下的矩陣為a11a12a13a21a22a23a31a32a331 )求A在基3, 2, 1下的矩陣;2)求A在基1, k 2, 3下的矩陣，其中k P且k 0；3）求A在

6、基12, 2, 3下的矩陣解題提示可以利用定義直接寫出線性變換的矩陣，也可以借助同一個(gè)線性變換在兩組不同基下的 矩陣是相似的進(jìn)行求解.解1）由于a13a23a33a33a23a13a12a22a32a32a22a)2a11a21a31a31a21a11故A在基3, 2 ,1下的矩陣為a33a32出1B1a23a22a21a13a12a11可修改2）由于a11a21 2a31 3a11la k.a212kka12ka22 2ka323ka121 a22 kka32 3 ，a13a23a33 3a13 1a33 3 故A在基1, k2,3下的矩陣為a11ka12a13B211 a21a221 a2

7、3kk3）由于從1, 2, 3到12 , 2,a31ka32a333的過渡矩陣為1 00X 110,0 01故A在基12, 2, 3下的矩陣為1001ana12a13100a11a12a12a13B3110a21a22a23110a21a11a22a12a22a12a23a13001a31a32a33001a31a32a32a33方法技巧根據(jù)線性變換的矩陣的定義，直接給出了1)和2)所求的矩陣；3)借助了過渡矩陣, 利用相似矩陣得到了所求矩陣.事實(shí)上，這三個(gè)題目都可以分別用兩種方法求解.10 .設(shè)A是線性空間 V上的線性變換，如果 A k 10 ,但A k 0 ,求證：，A , L , A證明

8、 由于A k0,故對(duì)于任意的非負(fù)整數(shù)i ,都有A k i A i (A k ) 0 .當(dāng)k 0時(shí)，設(shè)_ k 1一XiX2AL XnA0 ,用A k 1作用于上式，得X1A k 10 ,但A k 10,因此X 0 .于是x2A L xnA k 10 ,k 2k 1再用A作用上式，同樣得到X20.依此下去，可得X1X2Lxk0,從而，A ,L ,A 線性無關(guān).16 .證明：相似，其中i1,i2, ,in是1,2,L ,n的一個(gè)排列.解題提示利用同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的或直接相似的定義.證法1 設(shè)V是一個(gè)n維線性空間，且 1, 2,Ln是V的一組基.另外，記i1i2O于是，在基1, 2

9、,L , n下，矩陣A對(duì)應(yīng)V的一個(gè)線性變換 A ,即精品資料A( 1, 2,L , n) (i, 2,Ln)(1, 2,L , n)A.從而A i 一一 1,2,L,n.又因?yàn)閕1, i2,K , in也是V的一組基，且i1A(小 i2，K，Q ( §, i2，K , Q(Ji2,K , in)B.故A與B相似.證法2 設(shè)1i2Oin對(duì)A交換i, j兩行，再交換i, j兩列，相當(dāng)于對(duì)A左乘和右乘初等矩陣1P(i, j) P(i, j)和P(i,j),而P(i,j) 1AP(i, j)即為將A中的i和j交換位置得到的對(duì)角矩陣.于是，總可以通過這樣的一系列的對(duì)調(diào)變換，將A的主 對(duì)角線上白

10、元素 1, 2,L , n變成i1, i2,L , in ,這也相當(dāng)于存在一系列初等矩陣 Q1,Q2,L ,Qs,使得Qs1L QzUaQQL Qs B , 1令Q Q1Q2LQS,則有Q AQ B,即A與B相似.方法技巧證法1利用同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的這一性質(zhì)；證法2利用了矩陣的 相似變換，直接進(jìn)行了證明.17 .如果A可逆，證明AB與BA相似.證明由于A可逆，故A 1存在.于是 1_1_A (AB)A (A A)BA BA,因此，根據(jù)相似的定義可知AB與BA相似.19 .求復(fù)數(shù)域上線性變換空間 V的線性變換 A的特征值與特征向量.已知 A在一組基下的矩陣為:可修改精品資料5

11、630 0 14) A解1）設(shè)A在給定基1, 2下的矩陣為 A.由于A的特征多項(xiàng)式為3E A| 514 (7)(2),可修改故A的特征值為17,22.當(dāng)17時(shí)，方程組（1E A）X4x1 4x2 0,5x1 5x2 0.1解得它的基礎(chǔ)解系為 .從而A的屬于特征值1 7的全部特征向量為1其中k為任意非零常數(shù).當(dāng)22時(shí)，方程組（2E A）X 0 ,即為5x1 4x2 0,5x1 4x2 0.解得它的基礎(chǔ)解系為,從而A的屬于特征值2的全部特征響向量為241 151 2 ,其中l(wèi)為任意非零常數(shù).4）設(shè)A在給定基2,3下的矩陣為A,由于A的特征多項(xiàng)式為56311(2)(1 73)(1 33),121故A

12、的特征值為12,2 1方，3 16.i 2時(shí)，方程組(iE即為3x1 6x2 3x30,x1 2x2 x3 0,x1 2x2 3x3 0.2求得其基礎(chǔ)解系為1 ，故A的屬于特征值2的全部特征向量為0k1 2其中K為任意非零常數(shù).當(dāng)2 1 J3時(shí)，方程組（2E A）X=0,即為(4 13)x1 6x2 3x3 0,Xi (1.3)X2 X3 0,xI 2x2 (2. 3) x3 0.3求得其基礎(chǔ)解系為1 ，故A的屬于特征值1 J3的全部特征向量為2.33k2 1k2 2 (2.3)k2 3其中k2為任意非零常數(shù).當(dāng)3 1出時(shí)，方程組（3E A）X = 0 ,即為(4 . 3)x1 6x2 3x3

13、 0, x, (1 3)x2 x3 0, xI 2x2 (2 、.3)x3 0.3求得其基礎(chǔ)解系為1 ，故A的屬于特征值1 73的全部特征向量為233k3 1 k3 2 (23)k3 3其中k3為任意非零常數(shù).5）設(shè)A在給定基1, 2,3下的矩陣為A,由于A的特征多項(xiàng)式為01_2E A 010（1）（1）,10故A的特征值為11 （二重），21 .當(dāng)11時(shí)，方程組（1E A）X = 0 ,即為X X3 0,X1 X3 0.10求得其基礎(chǔ)解系為 0 , 1 ，故A的屬于特征值1的全部特征向量為1011 12 213其中k1, k2為任意不全為零的常數(shù).當(dāng)21時(shí)，方程組（2E A）X = 0,即為

14、X1 X30,2X20,X1 X30.1求得其基礎(chǔ)解系為0 ，故A的屬于特征值 1的全部特征向量為1其中l(wèi)為任意非零常數(shù).方法技巧求解一個(gè)線性變換的特征值即求其矩陣的特征多項(xiàng)式的根，再對(duì)每個(gè)根求得所對(duì)應(yīng)的特 征向量，但一定要注意表達(dá)成基向量的線性組合形式.24.1） 設(shè)1, 2是線性變換A的兩個(gè)不同特征值，1, 2是分別屬于 1, 2的特征向量，證明：1 2 不是A的特征向量；2）證明：如果線性空間 V的線性變換A以V中每個(gè)非零向量作為它的特征向量，那么 A是數(shù) 乘變換.證明1）反證法.假設(shè) 12是A屬于特征值 的特征向量，即A( 12)( 12)12而由題設(shè)可知 A 11 1, A 22 2

15、 ，且 12 ，故A(12)A11 12 2比較兩個(gè)等式，得到(1)1 (2)200， 即 12 這再根據(jù) 1, 2 是屬于不同特征值的特征向量， 從而是線性無關(guān)性， 因此 1與 12 矛盾所以 12 不是 A 的特征向量2 )設(shè) 1 , 2 ,L , n 是 V 的一組基，則它們也是A 的 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，不妨設(shè)它們分別屬于特征值1 , 2 , L , n ，即A i i i ， i 1, 2, L , n 根據(jù) 1 )即知 12 L n 否則，若12 ，那么 120 ，且不是 A 的特征向量，這與V中每個(gè)非零向量都是它的特征向量矛盾所以，對(duì)于任意的 V ，都有 A ，即 A 是數(shù)乘變換25 .設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，A , B是V上的線性變換，且 AB BA .證明：1 )如果 0 是 A 的一個(gè)特征值，那么 V 0 是 B 的不變子空間；2 ) A