空間直角坐標(biāo)系12827

1、4.3.1 4.3.1 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 1 1數(shù)軸數(shù)軸ox上的點(diǎn)上的點(diǎn)m，用代數(shù)的方法怎樣表示呢？，用代數(shù)的方法怎樣表示呢？ 2 2直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)m，怎樣表示呢？，怎樣表示呢？ 數(shù)軸數(shù)軸ox上的點(diǎn)上的點(diǎn)m，可用與它對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，可用與它對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)x表示；表示； 直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)m，可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)，可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x，y)表示表示xoyaoxxm(x,y)xy 3 3怎樣確切的表示室內(nèi)燈泡的位置？怎樣確切的表示室內(nèi)燈泡的位置？ 4 4空間中的點(diǎn)空間中的點(diǎn)m用代數(shù)的方法又怎樣表示呢？用代數(shù)的方法又怎樣表示呢？ 當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系后，空間中

2、的點(diǎn)當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)m，可以，可以用有序?qū)崝?shù)（用有序?qū)崝?shù)（x，y，z）表示）表示oyxzmxyz（x，y，z）yxz 如圖，如圖， 是單位正方體以是單位正方體以o為原點(diǎn)，分為原點(diǎn)，分別以射線別以射線oa,oc, 的方向?yàn)檎较颍跃€段的方向?yàn)檎较?，以線段oa,oc, 的長為單位長，建立三條數(shù)軸：的長為單位長，建立三條數(shù)軸：x軸、軸、y 軸、軸、z 軸這時(shí)我們軸這時(shí)我們說建立了一個(gè)說建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 ，其中點(diǎn)，其中點(diǎn)o 叫做坐標(biāo)叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，原點(diǎn)， x軸、軸、y 軸、軸、z 軸叫做坐標(biāo)軸通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平軸叫做坐標(biāo)軸通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，

3、分別稱為面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xoy 平面、平面、yoz平面、平面、zox平面平面cbadoabc ododxyzo abcabcdo 右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向拇指指向 x 軸的正方向，食指指向軸的正方向，食指指向 y 軸的正方向，如軸的正方向，如果中指指向果中指指向 z 軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)m是空間的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)是空間的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)m分別作垂直分別作垂直于于x 軸、軸、y 軸和軸和z 軸的平面，依次交軸的平面，依次交x 軸、軸、y 軸和軸和z 軸

4、軸于點(diǎn)于點(diǎn)p、q和和ryxzmo 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)p、q和和r在在x 軸、軸、y 軸和軸和z 軸上的坐標(biāo)分別軸上的坐標(biāo)分別是是x，y和和z，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)m就對(duì)應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組就對(duì)應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）mrqp 反過來，給定有序?qū)崝?shù)組反過來，給定有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），我們可以，我們可以在在x 軸、軸、y 軸和軸和z 軸上依次取坐標(biāo)為軸上依次取坐標(biāo)為x，y和和z的點(diǎn)的點(diǎn)p、q和和r，分別過，分別過p、q和和r各作一個(gè)平面，分別垂直于各作一個(gè)平面，分別垂直于x 軸、軸、y 軸和軸和z 軸，這三個(gè)平面的唯一交點(diǎn)就是有序?qū)崝?shù)組軸，這三個(gè)平面的唯一交點(diǎn)就是有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）確定的點(diǎn)

5、確定的點(diǎn)myxzmomrqpyxzpmqomr 這樣空間一點(diǎn)這樣空間一點(diǎn)m的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組（的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）來表示，有序?qū)崝?shù)組（）來表示，有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫做點(diǎn)）叫做點(diǎn)m 在此在此空空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，記作m（x，y，z）其中）其中x叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)m的的橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)m的的縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)m的的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)yxzabcabcdo oabcabcd是單位正方體以是單位正方體以o為原點(diǎn)，分別以射為原點(diǎn)，分別以射線線oa,oc, od的方向?yàn)檎较?，以線段的方向?yàn)檎较颍跃€段oa,oc, od的長為單的長為單位

6、長，建立位長，建立空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系oxyz試說出正方體的各個(gè)頂點(diǎn)試說出正方體的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)并指出哪些點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，哪些點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的坐標(biāo)并指出哪些點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，哪些點(diǎn)在坐標(biāo)平面上(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1) 例例1 如下圖，在長方體如下圖，在長方體 中，中， ， ，寫出四點(diǎn)，寫出四點(diǎn)d，c，a，b的坐標(biāo)的坐標(biāo)cbadoabc 3|oa4|oc2|odd2odd解解： 在在z 軸上，且軸上，且 ，它的豎坐標(biāo)是，它的豎坐標(biāo)是2；它的橫坐；它的橫坐標(biāo)標(biāo)x與縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)y都是零，所以點(diǎn)都是零，所以點(diǎn)

7、的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（0，0，2） 點(diǎn)點(diǎn)c 在在y 軸上，且軸上，且 ，它的縱坐標(biāo)是，它的縱坐標(biāo)是4；它的橫；它的橫坐標(biāo)坐標(biāo)x與豎坐標(biāo)與豎坐標(biāo)z 都是零，所以點(diǎn)都是零，所以點(diǎn)c的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（0，4，0） 同理，點(diǎn)同理，點(diǎn) 的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（3，0，2）4ocaoyxzacbbacd 例例1 如下圖，在長方體如下圖，在長方體 中，中， ， ，寫出四點(diǎn)，寫出四點(diǎn)d，c，a，b的坐標(biāo)的坐標(biāo)cbadoabc 3|oa4|oc2|odoyxzacbbacd 解：解：點(diǎn)點(diǎn)b在平面上的射影是在平面上的射影是b，因此它的橫坐標(biāo)，因此它的橫坐標(biāo)x與縱坐與縱坐標(biāo)標(biāo)y同點(diǎn)同點(diǎn)b的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)與縱坐

8、標(biāo)y 相同在相同在xoy平面上，點(diǎn)平面上，點(diǎn)b 橫橫坐標(biāo)坐標(biāo)x=3，縱坐標(biāo)，縱坐標(biāo)y=4；點(diǎn)；點(diǎn)b在在z軸上的射影是軸上的射影是d，它的豎坐標(biāo)，它的豎坐標(biāo)與點(diǎn)與點(diǎn)d的豎坐標(biāo)相同，點(diǎn)的豎坐標(biāo)相同，點(diǎn)d的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo)z=2 所以點(diǎn)所以點(diǎn)b的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（3，4，2） 例例2 結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖（可看成是八個(gè)棱長為圖（可看成是八個(gè)棱長為 的小正方體堆積成的正方體），其的小正方體堆積成的正方體），其中色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原子中色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原子21 解解：把圖中的鈉原子分成上、中、下三層來寫它們所在把圖

9、中的鈉原子分成上、中、下三層來寫它們所在位置的坐標(biāo)位置的坐標(biāo) 例例2 結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖（可看成是八個(gè)棱長為圖（可看成是八個(gè)棱長為 的小正方體堆積成的正方體），其的小正方體堆積成的正方體），其中色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原子中色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原子21 如圖建立空間直角坐標(biāo)如圖建立空間直角坐標(biāo)系系o-xyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標(biāo)后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標(biāo)xyzo 上層的原子所在的平面平行于平面，與軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為上層的原子所在的平面平行于平面，與軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為1，所以，這五個(gè)鈉原子所在位置

10、的坐標(biāo)分別是，所以，這五個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別是:（0，0，1），（），（1，0，1），（），（1，1，1），（），（0，1，1），），（ ， ，1）2121 中層的原子所在的平面平行于平面，與軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為，中層的原子所在的平面平行于平面，與軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為，所以，這四個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別是所以，這四個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別是（ ，0， ），（），（1， ， ），（），（ ，1， ），（），（0， ， ）；）；2121212121212121 下層的原子全部在平面上，它們所下層的原子全部在平面上，它們所在位置的豎坐標(biāo)全是在位置的豎坐標(biāo)全是0，所以這五個(gè)鈉，所以這五個(gè)鈉原子所在位

11、置的坐標(biāo)分別是原子所在位置的坐標(biāo)分別是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,2121（ ， ，0）.xyzo3.3空間兩點(diǎn)間的距離公式問題1：長方體的對(duì)角線是長方體中的那一條線段？問題2：怎樣測量長方體的對(duì)角線的長？問題3：已知長方體的長、寬、高分別是a、b、c，則對(duì)角線的長 222cbad問題4：給出空間兩點(diǎn)a(x1,y1,z1),p(x2,y2,z2)可否類比得到一個(gè)距離公式？1、設(shè)o(0,0,0),p(x0,y0,z0)則202020222zyxocoboaopxyzopabc2、空間任意兩點(diǎn)a(x1,y1,z1),p(x2,y2,z2)作長方體使a、p為其對(duì)角

12、線的頂點(diǎn)由已知得：c(x2,y1,z1),b(x2,y2 ,z1)2222bpcbacap221221221)()()(zzyyxxap即是：空間兩點(diǎn)間的距離公式xyzopabc例求空間兩點(diǎn)（，），（，）的距離分析：利用兩點(diǎn)間距離公式可得 公式的記憶方法：同名坐標(biāo)差的平方和的算術(shù)根練1：p(1,2,-2)和q(-1,0,-1)的距離是_練2：給定空間直角坐標(biāo)系，在x軸上找一點(diǎn)p，使它與點(diǎn)p0(4,1,2) 距離為分析：設(shè)p(x,0,0),由已知求得x=9或-1(9,0,0)或(-1,0,0)330練3:設(shè)a(3,3,1),b(1,-1,5),c(0,1,0),則ab的中點(diǎn)m到c的距離為_分析：介紹空間直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式；m(2,1,3)13已知點(diǎn)a(x1,y1,z1),點(diǎn)b(x2,y2,z2)則線段ab中點(diǎn)c的坐標(biāo)是1212x= (x1+x2)y= (y1+y2)z= (z1+z2)12例：在xoy平面內(nèi)的直線x+y=1上確定一點(diǎn)m，使m到n(6,5,1)的距離最小略解：設(shè)m(x,1-x,0),利用距離公式構(gòu)造出一個(gè)二次函數(shù)后求最值51) 1(2)01 ()51 ()6(2222xxxmn511minmnx時(shí)，當(dāng)例.平面上到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡是單位圓，其方程為 在空間中，到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡是什么？試寫出它的方程221xy2