(22-15)高中數(shù)學說題教學的實踐與研究(高中數(shù)學講座15)

1、高中數(shù)學說題教學的實踐與研究（高中數(shù)學講座15）主講人：鐘煒（四川省自貢市榮縣教研室書記） 時間：2014年10月11日(編號：zhongwei196207blog2215)編者按:本人對(鐘煒的博客)“（第22類）高中數(shù)學講座”分為若干個專題,每個專題分為幾個版塊。本文高中數(shù)學說題教學的實踐與研究（第22類高中數(shù)學講座之專題15分為兩講每講幾節(jié). 致謝各位原作者和諸位讀者。鐘煒博客第22類(高中數(shù)學講座)-“高中數(shù)學說題”編寫（閱讀）導(dǎo)引：（1）高中數(shù)學說題材料選編(講座12)；（2）高中數(shù)學教師說題材料選編(講座13)；（3）高中數(shù)學教師說題比賽材料選編(講座14)；（4）高中數(shù)學說題教學

2、的實踐與研究(講座15)；（5）高中數(shù)學學生說題的嘗試與研究(講座16)。講座內(nèi)容第一講 高中數(shù)學說題教學的實踐運用第1.1節(jié) 中學數(shù)學教學中開展說題活動的實踐與認識第1.2節(jié) 高中數(shù)學高效課堂模式探究之說題教學第1.3節(jié) “說題”在（高中數(shù)學）習題教學中的運用第1.4節(jié) 高三數(shù)學試卷講評課開展說題活動的實踐與感悟第1.5節(jié) 一道高考數(shù)學試題的“說題”第1.6節(jié) 教師說題在高中數(shù)學課堂教學中的應(yīng)用第二講 高中數(shù)學說題教學的探索研究第2.1節(jié) 議高中數(shù)學教學中“說題”活動的“源”與“流”第2.2節(jié) 高中數(shù)學開展說題反思教學活動的實踐研究第一講 高中數(shù)學說題教學的實踐運用第1.1節(jié) 中學數(shù)學教學中

3、開展說題活動的實踐與認識第1.2節(jié) 高中數(shù)學高效課堂模式探究之說題教學第1.3節(jié) “說題”在（高中數(shù)學）習題教學中的運用第1.4節(jié) 高三數(shù)學試卷講評課開展說題活動的實踐與感悟第1.5節(jié) 一道高考數(shù)學試題的“說題”第1.6節(jié) 教師說題在高中數(shù)學課堂教學中的應(yīng)用第1.1節(jié) 中學數(shù)學教學中開展說題活動的實踐與認識作者：成克利（湖南省永州市藍山縣一中）來源：數(shù)學教育學報2001年第10卷第2期轉(zhuǎn)載：百度文庫 日期：2011年11月4日（注：原稿為PDF，鐘煒將其轉(zhuǎn)編為word,原PDF稿另行轉(zhuǎn)發(fā)）摘要：問題解決教學模式應(yīng)成為中學數(shù)學實施創(chuàng)新教育的突破口訓練數(shù)學思維的最優(yōu)方法是說題說題活動教學強調(diào)學生自

4、主構(gòu)建知識思說做合一在中學數(shù)學教學中開展說題活動能有效地訓練學生的數(shù)學思維提高學生的問題解決能力創(chuàng)新能力和數(shù)學實踐能力推動中學數(shù)學創(chuàng)新教育的實施。關(guān)鍵詞：問題解決，說題，數(shù)學思維，創(chuàng)新教育。1、問題的提出隨著素質(zhì)教育的深入推行，問題解決教學不僅是應(yīng)試的需要，更是提高學生數(shù)學素質(zhì)的必由之路。但怎樣開展科學有效的解題教學，提高中學生的解題能力，仍是當前未解決好的課題。探尋一種科學有效的問題解決教學新模式，應(yīng)成為中學數(shù)學實施創(chuàng)新教育的突破口。經(jīng)過多年解題教學研究，筆者意識到傳統(tǒng)教學中教師只注重解題方法和技巧的傳授，忽視了解題思維過程的展示，使教學流于在解題套路中進行單純的演算，學生容易形成思維定勢，

5、創(chuàng)新精神和實踐能力較差。加強數(shù)學思維訓練，注重解題思路的探尋和算法、算理的合理應(yīng)用應(yīng)是問題解決教學的關(guān)鍵。高考和中考中開放題的使用，使試題考查更具創(chuàng)意，創(chuàng)新教育模式應(yīng)運而生?；貧w學生的認識主體地位；營造一種民主個性化的教學氣氛；讓學生實踐探究問題、積極進取、主動發(fā)展；提高學生的數(shù)學思維素質(zhì)；增強思維的深刻性和創(chuàng)造力，應(yīng)是問題解決教學新模式的重要內(nèi)涵，電腦網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中的數(shù)學教學，為學生動手實踐、創(chuàng)新探索、合作交流與模擬實驗提供了廣闊的空間和多元化的智力支持，個別化教學已在課堂教學中悄然興起。可見，中學數(shù)學教學應(yīng)是教學思維活動的過程，充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)，通過教育再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)解決問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)

6、造性思維能力和數(shù)學實踐能力。說源于思、快于做，訓練數(shù)學思維的最優(yōu)方法是說題，力圖通過思維交流使各種智力體驗和情感體驗變?yōu)閹熒餐瑩碛械闹R經(jīng)驗和精神動力。在此基礎(chǔ)上，筆者結(jié)合教學實際提出了說題活動教學方式。2、實驗操作說題活動教學強調(diào)學生自主構(gòu)建知識， 思、說、做合一，不僅注重對學生的學習方法、思維方法和學習態(tài)度的培養(yǎng)，而且可根據(jù)學生能力水平分階段開展說題活動，分層次說題。2.1 說題的含義解數(shù)學題的本質(zhì)是“要找到并且規(guī)范而簡明地表述出從題目的已知條件到題目的要求目標的一系列命題轉(zhuǎn)化的一條通路”。簡而言之，說題就是利用教學語言口述探尋解題通路的思維過程以及所采納的數(shù)學思想方法和解題策略。通常說

7、題的內(nèi)容涉及問題的4 個方面：2.1.1 說題意說出問題的背景、已知條件、要求目標和編題意圖，并注意隱含條件。2.1.2 說思維說思維是指學生簡述探索解題途徑的思維方法和心理活動過程。探索解題途徑的常用方法有以下4 種：（1）采用化整為零，各個擊破的分解策略，即將問題分解成若干個能夠解答的小問題；（2）利用化歸思想，將命題逐步轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題；（3）采用分析綜合法，將已知條件順推，要求目標逆推，對比著尋找聯(lián)結(jié)點；（4）運用直覺思維和靈感思維，從類似問題的解法中遷移和滲透解題思維規(guī)律，套用已有思維模式或另創(chuàng)思維模式來解題。2.1.3 說思路說出問題解決的步驟、及所用數(shù)學知識和數(shù)學思維方法，并

8、注意是否需要討論和檢驗。2.1.4 說規(guī)律舉一反三、觸類旁通，從一題多解、一題多變和多題一解中滲透解題思維規(guī)律，概括出一般數(shù)學原理并交流心得體會。2.2 活動的階段性在教學實踐中，筆者采用自學輔導(dǎo)教材，分3個階段開展說題活動教學，逐步提高學生的說題能力和創(chuàng)造性解決問題的能力。2.2.1 初級階段初級階段為教師說題示范和學生觀摩積累階段，其主要任務(wù)是向?qū)W生傳輸說題思想和教會學生獲取知識的方法，并在局部范圍內(nèi)培養(yǎng)學生初步的說題能力。在新授課中，教師引導(dǎo)學生粗讀教材，精講次要內(nèi)容，并將主干知識概括為一兩個問題，然后根據(jù)問題探索解決方案，再現(xiàn)概念、公式、定理的產(chǎn)生和發(fā)展過程，以及通性、通則、通法的形成

9、過程，從中同化原創(chuàng)造性思維，學會自我發(fā)現(xiàn)的本領(lǐng)，培養(yǎng)學生的自學能力和提出問題的能力。在練習課和復(fù)習課中，通過例題講解，不僅注重解題前的探索思維過程和解題后的反思歸納規(guī)律，而且注重數(shù)學的符號化語言教學，為學生說題積累豐富的語言材料，并精設(shè)遷移訓練，讓學生模仿說題，同時規(guī)范、簡明地解答部分數(shù)學問題，培養(yǎng)學生的交流意識和數(shù)學語言表達能力。在初級階段，大部分學生的說題自信不足，實施成功教育尤其顯得重要。一方面要求教師隨時對學生的知識基礎(chǔ)、能力水平作動態(tài)的估計，將問題設(shè)置在學生思維的最近發(fā)展區(qū)，讓學生經(jīng)過探索后能夠解決問題；另一方面要求教師具有較高的教學藝術(shù)，不僅善于啟發(fā)學生思考，而且善于捕捉學生的創(chuàng)新

10、思維和靈感思維的火花，多鼓勵和贊揚學生，讓學生在教師的無形幫助中完成說題全過程，滿足學生自我表現(xiàn)的需要，獲取自信心和成就感，增強學習動機和興趣。2.2.2 中級階段當大部分學生能跟上教師的說題思維，且有部分學生能夠超前思維，急欲表達自己的思維方式時，說題活動教學就應(yīng)進入中級階段，即教師指導(dǎo)學生說題階段。在這一階段教師不僅要為學生提供自主探索、合作交流和實踐創(chuàng)新所需的時間和空間，還要注意照顧差生的思維水平，為差生提供更多的說題機會，讓差生在嘗試中頓悟，在交流中加深理解，并鼓勵中等生向優(yōu)生看齊，激勵優(yōu)生廣開思路，另辟蹊徑，去探尋更好的、更一般性的解法。在新授課中，教師應(yīng)當圍繞問題解決優(yōu)化并重組教學

11、內(nèi)容，將教材中緊密聯(lián)系的內(nèi)容看成一個教學整體，要求學生將教學內(nèi)容問題化，創(chuàng)造性地解決主要問題，對于枝葉問題則“不求甚解”，或在今后學習中逐步認識到位。如在等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)教學中，筆者分5 步開展說題活動：（1）自學：粗讀教材2分鐘，學生提出問題：求等比數(shù)列an前幾項的和Sn。（2）探究：給學生15分鐘的時間讓學生獨立思考或合作討論問題解決方案，教師則穿梭于學生之間，幫助差生同化原創(chuàng)造性思維，并對優(yōu)生的創(chuàng)新思維給予點撥。（3）說題：經(jīng)過21分鐘說題交流，學生不僅掌握了教材中所用推導(dǎo)方法，而且提出了2種證明求和公式的新思路，并對公式的結(jié)構(gòu)和注意事項有了較深刻的認識。（4）小結(jié)：構(gòu)建知識，并將

12、知識系統(tǒng)化。（5）應(yīng)用：學以致用，適度強化雙基。在練習課和復(fù)習課中，教師給出幾個典型問題或進行專題題組訓練，讓學生從數(shù)學思想方法和數(shù)學思維方法的高度，多角度、多層次地研究問題，提高學生的數(shù)學思維水平。如在2 條直線的位置關(guān)系的練習課中，筆者給出例題求通過點(2, 3)且平行（或垂直）于直線4x 5y 9=0 的直線方程。先讓學生即興說題，利用點斜式求出所求直線方程，再讓學生發(fā)現(xiàn)并證明了2 條平行（或垂直）直線方程間的系數(shù)關(guān)系。借此，筆者介紹了直線系，利用直線系方程，學生創(chuàng)造性地提出了解法2 和解法3 。通過思、說、評3 階段教學，學生不僅解決了問題、構(gòu)建了知識，而且鍛煉了思維的敏捷性、靈活性、

13、深刻性和創(chuàng)造性，形成了較科學化的思維方法。2.2.3 高級階段當學生的問題研究能力和說題能力大大增強時，教師可選擇一些教學內(nèi)容讓學生自學，教師則由說題前沿走向幕后導(dǎo)演，對整個教學進行宏觀調(diào)控,處理好說題活動所花大量時間與教學進度的關(guān)系.教師只有在學生的認識發(fā)生偏差、意見不能統(tǒng)一時,才給予適度的點撥、啟發(fā)和評價,拓展學生的思維空間調(diào)、控學生的思維流程,促使學生進一步去探索,升華學生的思維方式,提高學生的自我調(diào)控和自我評價能力.同時,教師還要經(jīng)常舉辦數(shù)學學習講座,講授數(shù)學史、數(shù)學思想史、數(shù)學方法論和數(shù)學美學,教給學生自學方法和鉆研志趣以及常用的數(shù)學思想方法和思維模式,提高學生后繼性學習能力以及對數(shù)

14、學的認識水平.好的數(shù)學問題是數(shù)學創(chuàng)新的載體.除了將教材內(nèi)容問題化外,教師還應(yīng)根據(jù)學生的生活經(jīng)驗和認識水平,搜集加工或自行設(shè)計編擬一批開放性問題,讓學生在說題活動中滲透化歸、類比的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的發(fā)散思維、求異思維、直覺思維和創(chuàng)新思維.同時還要注意封閉題與開放題的合理搭配,把握好歸納與演繹的度,做到收斂思維與發(fā)散思維交替運用、同化規(guī)律與順應(yīng)規(guī)律多化循環(huán),讓學生掌握數(shù)學思維的規(guī)律、特點和方法,在參與思維中發(fā)展能力,在知識、規(guī)律的探索和歸納中形成創(chuàng)新意識.2.3 說題的層次性說題活動教學側(cè)重探索怎樣實現(xiàn)活動內(nèi)容系列化,參與學生全體化和學生學習個性化.因此,說題主體和對象均有層次性,教師應(yīng)根據(jù)

15、學生的能力水平選擇問題,并創(chuàng)設(shè)說題活動的條件讓所有學生都有所發(fā)展.2.3.1 說題對象的層次性在說題活動教學中,教師首先應(yīng)根據(jù)問題類型確定其基本說題要求,如識別性問題說數(shù)學原理、算法性問題說操作程序、應(yīng)用性問題說建模方式、探究性問題說解題策略以及情景性問題說數(shù)學化過程等.對于教材中的習題,則抓住其共性,采用成批性說題,并根據(jù)學生的實情需要,適當選擇問題深化研究,做到慢速研討與高效教學的統(tǒng)一.說題強調(diào)思維過程,有的問題要求學生直接說解題思路,并利用多媒體提供解答過程,檢測學生思維的敏捷性和深刻性,培養(yǎng)學生的直覺思維能力;而有的問題卻要求學生說題后并完整解答,甚至將其研究透徹,把心得體會整理成學生

16、論文.2.3.2 說題主體的層次性根據(jù)差異性教學原則,教師宜將學生分成優(yōu)、中、差3個不同層次的群體,因材施教,在問題解決探索過程中,教師指導(dǎo)差生尋找解題途徑,組織中等生合作互助,放手讓優(yōu)生自探.說題時,差生優(yōu)先,中等生其次,對于優(yōu)生說題則主要講述創(chuàng)新解法的思維過程.作業(yè)時,教師精設(shè)低、中、高3個難度檔次的問題,要求差生必做低檔題,選做中檔題;中等生必做中檔題,選做高檔題;優(yōu)生必做高檔題,選做中檔題,從而促使整個班級向優(yōu)生群的方向轉(zhuǎn)化.3、回顧與展望3.1 實驗的初步效果(1)基本上擺脫了題海戰(zhàn)術(shù)的束縛,減輕了學生負擔,較好地解決了問題研究所需大量時間與有限的課堂教學時間之間的矛盾.(2)大面積

17、提高了學生的數(shù)學成績,增強了學生學習數(shù)學的積極性和興趣.(3)優(yōu)化了學生的思維素質(zhì),較全面地發(fā)展了學生的各種數(shù)學能力.(4)有效地提高了學生人文素質(zhì)和科研能力.學生的參與意識、交流意識、合作精神和鉆研志趣明顯加強.3.2 不足與愿望說題活動教學方式雖有一定的優(yōu)點,但不宜用于小學數(shù)學教學,而且還須與其它教學方法配合使用,才能取得良好的教學效果.由于實驗期效短,實驗范圍較窄,說題活動教學方式在理論和操作上還有待于進一步探索和完善,希望同行們給予關(guān)注,使之能在創(chuàng)新教育中立一席之地.第1.2節(jié) 高中數(shù)學高效課堂模式探究之說題教學作者：陳正(安徽省六安市壽縣安豐中學) 來源：大江周刊·論壇20

18、13年3月 轉(zhuǎn)載：萬萬數(shù)據(jù)（注：原稿為PDF，鐘煒將其轉(zhuǎn)編為word，原PDF稿另行轉(zhuǎn)發(fā)）通過幾年的高中數(shù)學教學實踐，我覺得在數(shù)學課堂教學過程中，采用“說題”的方式組織教學，能夠提高課堂教學效率，學生學習數(shù)學效果好。在這里，就如何在新課程標準下進行“說題教學”，結(jié)合自己的教學實踐談幾點膚淺的意見。一、“說題教學”的含義所謂的“說題教學”，就是指讓學生在課堂教學過程中說題目的條件、結(jié)論、涉及的知識點(包括概念、公式、公理、定理、原理等)；說條件與結(jié)論之間的關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化；說與我們學過的哪一類問題相似；說可能用到的數(shù)學思想方法：說出自己的想法和猜測；說解題方法是如何想到的；說為什么這樣想。教師則根

19、據(jù)學生交流的情況適時、適當?shù)狞c撥、引導(dǎo)，避免學生離題太遠。二、“說題教學”的基本操作程序“說題教學”的基本操作程序主要包括：展示題目、學生獨立思考、學生交流，教師適時點撥、升華認識與總結(jié)規(guī)律、反思性訓練。各環(huán)節(jié)所用的時間因題目的難易、題量的多少而定。三、我是課堂教學中是如何組織“說題教學”的1、讓每個學生都積極的參與大多數(shù)時間，我采取從第一組的第一個學生開始，或逐個小組輪流的形式。讓學生依次站起來講解題目。這樣做的目的是讓所有的學生，包括數(shù)學學習基礎(chǔ)薄弱一些的學生，都在課堂教學過程中動起來，因為要想能在站起來把題目很好的講解出來，每個學生都必須要做很多的思考準備，這樣就能夠讓所有學生的大腦動起

20、來。2、讓學生大聲地說出來用“說題”代替?zhèn)鹘y(tǒng)的只寫不說，讓學生把解決問題的思考過程用有聲的外部語言表達出來，實際上更是增加了學習難度。學生能用準確清晰的語言表達出來，說明如果他對于這個問題已經(jīng)是理解透徹了學生一定能非常順利地做出來。所以，我對學生提出的“說題”要求是，身體站直，聲音洪亮，吐字清晰，條理分明。3、讓學生“讀”，“講”結(jié)合不僅語文課要讀數(shù)學課也需要讀。我們很多數(shù)學教師課堂上從來不喜歡讀題目，而是上來就開始滔滔不絕地講做題的過程。我在數(shù)學課堂上經(jīng)常讓學生讀題目，或齊讀概念、公式、公理、定理、原理等，或出聲地自由讀數(shù)學題。因為題目讀懂了。分析問題才可能更順利。數(shù)學課堂讀題，對學習數(shù)學積

21、極性不高的學生來講，也起到了“治懶”的作用，這樣讀題者全神貫注，對于聽題者來說，聲音則變成了一個新異刺激，更能引起學生的注意，課堂氣氛更加活躍了。4、讓錯誤暴露得更及時、更明顯學生在“說題”時，教師和其他學生認真傾聽這個學生的分析，仔細辨別這個同學的回答，辨明其回答的對錯，必要的時候讓一些同學站起來更正和補充，或就此展開討論，乃至于爭論。這樣學生可以通過傾聽找出問題，互相取長補短、共同進步。我還經(jīng)常采用“結(jié)對幫扶”的方法。讓數(shù)學基礎(chǔ)薄弱一些的學生說給成績好一些的同學聽，互幫互學。充分調(diào)動學生學習的積極性，實踐證明學生的學習積極性都很高。四、“說題教學”應(yīng)遵循的原則1、計劃性原則“說題教學”要有

22、目的、有計劃、有組織、有針對性地進行，教師要認真?zhèn)浜谜n，對所說的題目自己要做到爛熟于心，才能有效地調(diào)控課堂。2、層次性原則和循序漸進原則訓練的題目要由易到難，由淺到深，層層遞進。“說題教學”切忌急于求成，急則弄巧成拙。還要做到既不忽視基礎(chǔ)，也不回避難題。做到有張有弛。3、全面參與性原則教師組織課堂教學時不能只為追求氣氛，只找好學生說題，應(yīng)要根據(jù)不同層次的問題，選擇不同程度的學生全面參與進來，使每個學生都能享受到成功的喜悅，共同提高。通過“說題教學”可以用最短的時間最大限度的調(diào)動最多的學生參與教學活動，促使我們課堂教學過程中與學生建立起一種高效、和諧的師生關(guān)系。那我們就一定能將我們的課堂打造成“

23、高效課堂”。第1.3節(jié) “說題”在（高中數(shù)學）習題教學中的運用作者：林建森(福建省石獅市石光華僑聯(lián)合中學)來源：高中數(shù)學教與學2013年第7期 轉(zhuǎn)載：知網(wǎng)空間（注：原稿為PDF，鐘煒將其轉(zhuǎn)編為word,原PDF稿另行轉(zhuǎn)發(fā)）習題教學是中學數(shù)學教學的一個很重要的組成部分，可以激發(fā)學生學習興趣，鞏固、深化所學知識 然而當前的習題教學狀況卻不容樂觀，“教師講、學生聽; 教師寫、學生抄;重知識、輕能力; 重分數(shù)、輕素質(zhì)”的現(xiàn)象還比較嚴重，習題教學效率低下 如何使習題教學成為學生最大限度地獲取知識、夯實基礎(chǔ)、發(fā)展個性和培養(yǎng)思維的教學式筆者認為，新課程目標的實施要求我們轉(zhuǎn)變角色，重視學生的主觀能動性，開發(fā)學

24、生的潛力 說題教學可以達到讓學生充分思考，然后將內(nèi)在的思維外化成語言而表達出來，從而充分體現(xiàn)學生的主體性，培養(yǎng)發(fā)展學生個性和思維 筆者結(jié)合自己在中學數(shù)學習題教學實踐中對說題教學作一些初步探索與嘗試，談?wù)勛约旱囊恍┠w淺看法一、說題教學的含義所謂“說題教學”，是指讓學生在課堂上說出自己對題目的認識、理解; 說題目的條件、結(jié)論、涉及的知識點( 包括概念、公理、定理、原理等) ; 說條件、結(jié)論之間的轉(zhuǎn)化; 說與學過的哪一類問題相似; 說可能用到的數(shù)學思想方法; 說自己的想法和猜測; 說解題方法是如何想到的; 說為什么這樣想 總之，使學生從各個角度積極地思考，暴露學生的思維過程，使學生主動獲取知識 說題

25、教學的一般程序是:準備和展示題目、題目溯源、學生獨立思考和交流、解題分析、歸納總結(jié)規(guī)律、變式訓練、推廣、拓展等 各環(huán)節(jié)所用的時間因題目的難易、題量的多少而定 教師根據(jù)學生交流的情況適時點播、引導(dǎo)，避免學生離題太遠二、說題教學的意義1. 說題體現(xiàn)了師生平等和師生雙邊互動的教學活動過程傳統(tǒng)的“教”是知識的傳授 接受 反復(fù)訓練 熟練掌握 領(lǐng)悟的單向發(fā)展過程，學生對知識的領(lǐng)悟遠遠滯后于訓練和運用學生總是處于被動、被迫、強記、機械模仿的操作過程，從而形成數(shù)學是一種很抽象、孤立、難以理解的錯覺 而學生“說題”的教學設(shè)計，是針對某一主題，通過師生之間，生生之間的合作、交流，通過師生之間的角色轉(zhuǎn)化，為學生創(chuàng)設(shè)

26、一個平等、合作、探究、論證以及“各抒己見”的探究性學習空間 教師是學生探究活動的伙伴和合作者，而非高高在上的“智者”和“權(quán)威” 教師的“教”體現(xiàn)在問題情境的創(chuàng)設(shè)，為每一位同學提供一個探究學習的空間; 而學生的思維過程，則通過“說題”來外化和具體化，從而形成學生自主、主動學習的“興趣點”和“熱點”，并不斷推進數(shù)學課堂探究活動的進行2. 說題更有利于學生知識結(jié)構(gòu)的動態(tài)形成及學生的主動發(fā)展說題教學是學生帶問題通過自讀學習、小組交流形成意見，從而把握新知識的結(jié)構(gòu)并納入原有知識結(jié)構(gòu)體系，并在此基礎(chǔ)上不斷探究新的知識結(jié)構(gòu)教師的“教”主要體現(xiàn)在關(guān)注每一位學生，傾聽每一位學生的見解和辯論，及時幫助學生找到興趣

27、點、能力點和新知識點的切合處; 讓學生在主動學習中，學會選擇信息，通過推理把握問題的實質(zhì)和一般規(guī)律 在整個課堂學習中，學生是真正的主角，而教師則更像一個穿針引線的主持人，為學生提供思考的空間和思維外化的舞臺，幫他們形成一個個認識上的沖突和“高峰體驗”，讓學生在解決認知沖突的過程中，主動求得發(fā)展，形成良好的知識結(jié)構(gòu) 而學生“說題”過程中所外化的思維的豐富性、多樣性、以及生動性則為教師提供了無窮的教學資源，這些資源成為一種師生互動、生生互動的動態(tài)生成的過程3. 說題更有利于學生創(chuàng)造性思維能力的訓練，是學生生命力的綻放數(shù)學是思維的體操在數(shù)學知識的學習過程中，使人的抽象概括能力，邏輯推理的嚴密性、精確

28、性、系統(tǒng)性得到開發(fā)和培養(yǎng)而學生“說題”是以語言為媒介，把思維過程外化為具體的描述，使之更加清晰、準確，教師在傾聽中能及時地捕捉到學生思維的閃光，感知學生思維過程中的迷惑和需要，從而最大限度地為學生組織探求的空間和可能這是一個信息反饋迅速、時刻變化、對師生都形成思維挑戰(zhàn)的動態(tài)過程，這種挑戰(zhàn)因動態(tài)生成而充滿了生氣和活力，是師生生命火花的綻放、生命活力的體現(xiàn)，這對形成學生良好思維習慣和策略是十分有利的三、教學案例1題目( 2012 年高考福建卷理科數(shù)學第19 題) 如圖1，橢圓E: x2a2 + y2b2 = 1( a b 0) 的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e = 12，過F1的直線交橢圓于

29、A、B 兩點，且三角形ABF2的周長為8。圖1（見PDF稿）( 1) 求橢圓E 的方程;( 2) 設(shè)動直線l: y = kx + m 與橢圓E 有且只有一個公共點P，且與直線x = 4 相交于點Q 試探究: 在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在，求出點M 的坐標; 若不存在，說明理由2. 題目溯源教師對題目背景進行分析，包括題目的條件、結(jié)論、題目來源、所涉及的知識與方法、題目的設(shè)計思路第( 1) 問屬于比較常規(guī)的基礎(chǔ)題型，第( 2) 問屬于探索性綜合題型，具體內(nèi)容如下本題的第( 1) 問可以在課本選修2 1 第42 頁練習題第3 題以及第48 頁練習題第3 題小題(

30、 1) 找到原型題題目1 已知經(jīng)過橢圓x225 + y216 = 1 的右焦點F2作垂直于x 軸的直線AB，交橢圓于A，B 兩點，F(xiàn)1是橢圓的左焦點( 1) 求AF1B 的周長( 2) 如果AB 垂直于x 軸，AF1B 的周長有變化嗎?為什么?題目2 求適合下列條件的橢圓的標準方程: 焦點在x 軸上，a = 6，e = 133. 學生思考和討論此環(huán)節(jié)教師可以對學生進行適當分組，讓學生在獨立思考的基礎(chǔ)上與小組成員進行討論，讓學生形成勤于思考、樂于交流合作的習慣 教師還可以在適當?shù)臅r候加以引導(dǎo)，或參與討論交流，拉近與學生的距離，形成民主和諧的師生關(guān)系4. 學生對第( 2) 問的思路分析分析1 將直

31、線l 與橢圓E 的方程聯(lián)立，得到關(guān)于x 的一元二次方程，利用動直線l 與橢圓E 有且只有一個公共點，由 = 0 得到k，m 的等量關(guān)系; 再假設(shè)符合題意的點M 存在，由圖形對稱性知，點M 必在x 軸上 利用以PQ為直徑的圓恒過點M，由圓的性質(zhì)得 MP· MQ= 0，從而得到關(guān)于km的一元方程對于m，k 恒成立，進而得到x1 = 1因此，說明存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M分析2 前面步驟思路方法與解法1 相同由圖形對稱性知，點M 必在x 軸上; 然后，分別取k，m 兩組特殊值，得到兩個以PQ 為直徑的圓交x 軸交點中都有點( 1，0) ，因此猜想以PQ 為直徑的圓; 最后，再

32、證明M( 1，0) 就是滿足條件的點分析3 由對稱性可知，設(shè)P( x0，y0) ( y0 0) 是橢圓上一點，把橢圓方程改寫為y 關(guān)于x的函數(shù)，對函數(shù)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得橢圓上點P( x0，y0) ( y0 0) 處切線的斜率，再求得直線l 的方程，進而求得點Q 的坐標，利用圓的性質(zhì) MP· MQ = 0 求得M( 1，0) 5. 變式訓練變式練習可以通過不斷變換問題的非本質(zhì)特征的呈現(xiàn)形式，讓學生在不斷變換中逐漸認識到問題的本質(zhì)及解決問題的方法和規(guī)律，利于激發(fā)學生的思維積極性，培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通的能力針對上述題目，可以設(shè)置如下變式練習:橢圓C: x2a2 + y

33、2b2 = 1( a b 0) 的左焦點為F1( 1，0) ，右焦點為F2( 1，0) ，長軸長為4( 1) 求橢圓C 的方程;( 2) P( x1，y1) ( | x1 | a) 是橢圓C 上的任一點，橢圓C 的切線PQ 交直線l: x = 4 于點Q; 證明: 以PQ 為直徑的圓恒過定點F2 6. 推廣拓展延伸推廣1 如圖2，點F2( c，0 ) 是橢圓C: x2a2+ y2b2 = 1( a b 0) 的右焦點，P( x1，y1)( | x1 | a) 是橢圓C 上的任一點，橢圓C 的切線PQ 交直線l: x = a2c于點Q 證明以PQ 為直徑的圓恒過定點F2 。圖2（見PDF稿）推廣

34、2 如圖2，點F2( c，0) 是橢圓C: x2a2+ y2b2 = 1( a b 0) 的右焦點，Q( x0，y0) 是直線l: x = a2c上的任一點，過點Q 作橢圓C 的切線QP，QA，切點為P，A 證明直線PA 經(jīng)過點F2，且直線QF2垂直直線PA結(jié)合上述的推廣，還可以引導(dǎo)學生將問題由橢圓進一步地拓展延伸到雙曲線、拋物線:拓展延伸1 設(shè)點F2( c，0) 是雙曲線C:x2a2 y2b2 = 1( a 0，b 0) 的右焦點，Q( x0，y0) 是直線l: x = a2c上的任一點，過點Q 作雙曲線C 的切線QP，QA，切點為P，A 證明: 直線PA 經(jīng)過點F2，且直線QF2垂直直線P

35、A拓展延伸2 點F2（p2 ，0）是拋物線 C: y2= 2px( p 0) 的焦點，Q( x0，y0) 是直線l: x= p2上的任一點，過點Q 作橢圓C 的切線QP，QA，切點為P，A 證明直線PA 經(jīng)過點F，且直線QF 垂直直線PA通過對習題特征進行反思，引導(dǎo)學生用自己的語言或數(shù)學語言對習題進行推廣、拓展延伸，在課堂或課后進行探討、研究驗證其正確性，促進知識的正向遷移，提高解題能力，培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通的能力總之，說題是數(shù)學課堂教學實踐中提煉出來的一種新型學習形式 學生由被動學習為主動學習、主動參與，落實學生的主體地位，每個學生都有展示才華的機會，使學生在良好的教學情境中以最佳心理

36、狀態(tài)和思維狀態(tài)學習交流 師生、生生在相互交流中各抒己見，互獻智慧，在磨練中探索、嘗試、驗證，進行思想方法的溝通，以達到集思廣益和突破創(chuàng)新的目的，培養(yǎng)了學生思維的深刻性、廣闊性、創(chuàng)造性乃至批判性，提高了學生的分析問題能力和思維品質(zhì)第1.4節(jié) 高三數(shù)學試卷講評課開展說題活動的實踐與感悟作者：陳啟南（廣東省梅州市梅縣東山中學）來源：中國數(shù)學教育2014年第1-2期 轉(zhuǎn)載：百度文庫（注：原稿為PDF，鐘煒將其轉(zhuǎn)編為word，原PDF稿另行轉(zhuǎn)發(fā)）摘要：在分析高三數(shù)學試卷講評課中存在的問題的基礎(chǔ)上，通過展示講評課中開展學生說題實踐，說明說題可以暴露學生思維偏離的誤區(qū)以及知識薄弱點，同時也給學生出彩的機會，

37、提高學生的數(shù)學交流能力.關(guān)鍵詞：試卷講評；說題；教學實踐；教學感悟一、問題提出在高三數(shù)學試卷講評課中，教師把審題、解題、板書一手包辦，逐題一一講評，解題方法一一詳解，解題技巧一一羅列，一遍遍不厭其煩地講評，教師講得口干舌燥，學生聽得枯燥無味. 這種做法吃力不討論好，而且效果不好. 我們老師經(jīng)常發(fā)現(xiàn)這樣的“怪象”：有些題目明明已經(jīng)反復(fù)仔細講解，但是學生遇到相類似甚至完全相同的問題的時候，還是無從著手，不知所措. 這樣的講評效果引起筆者的思考：講評效果不佳的原因在于教師無法了解學生的思維過程，不清楚學生實際解題中所遇到的思維障礙，講評課忽視思維過程展示，教師與學生、學生與學生之間缺少思維碰撞，學生

38、一直處于被動接受的地位，不能體現(xiàn)學生為主體的教學理念，導(dǎo)致講評課教學有效性欠佳.針對這種情況，筆者想：如果學生可以和我們老師一樣把解題講得頭頭是道的話，他對這道題肯定是掌握了，那么他會做的就不只是一道題，而且這種記憶應(yīng)該是很深刻的. 為此筆者在高三試卷講評課中開展學生說題實踐活動，取得了一定的效果. 本文以2013 年廣東省梅州市高三總復(fù)習質(zhì)檢理科試卷講評課為例，具體實踐如下，請各位同仁指正.二、說題活動的實踐1說命題立意，把握方向說命題立意指的是在試卷講評過程中，讓學生說出試題提出的背景、已知的條件、所隱藏的條件以及命題者的編題意圖. 如果學生可以清楚表述出來，那么說明學生對試題包含的題目情

39、境、能力要求、知識落點清晰明了，對題目解決方向把握準確.例1 若m 是一個給定的正整數(shù)，如果兩個整數(shù)a，b 用m 除所得的余數(shù)相同，則稱a 與b 對m 模同余，記作abmod（m）. 例如，513mod（4），若22 012 rmod（7），則r 可能為（ ）.（A） 5 （B） 4 （C） 3 （D） 2生1：根據(jù)題目所給的信息，abmod（m）表示兩個整數(shù)a，b 用m 除所得的余數(shù)相同，題目中也通過舉例來解釋這個信息，513mod（4）表示5 和13 這兩個數(shù)用4 除所得的余數(shù)相同. 理解清楚了條件的意思之后，那么22 012 rmod（7）就是要我們解決22 012 和r用7 除所得的余

40、數(shù)相同，這個r 是多少，結(jié)合條件明白這道題出題意圖是求余數(shù)的話，我很快就想到了二項式定理展開式，高中數(shù)學知識里面，它是可以求余數(shù)的師：生1 說得很好，這道題目給了我們很多信息，我們要充分理解它，歸根結(jié)底，這道題考查a 與b 對m 模同余的問題，簡稱同余問題，也就是22 012 除以7之后的余數(shù)是多少？用什么方法可以解決它呢？高中數(shù)學知識中求余數(shù)的問題，我們可以用二項式定理來解決它. 這道題如果我們理解命題立意，理解出題者的意圖，就把握好了解決問題的方向，做題方向準確之后，選擇二項式定理這一解決方法就不是很難的事情.2說解題思路，迎刃而解說解題思路指的是在試卷講評過程中，讓學生說出解題方法的產(chǎn)生

41、過程、解題步驟以及所用數(shù)學知識、數(shù)學思想，講清楚如何理解透徹各個條件彼此間的關(guān)系，條件與結(jié)論之間如何轉(zhuǎn)化等.例2 已知mina， b=a（a b），b（a > b） ，設(shè)f（x） =min x3，1 x ，則由函數(shù)f（x）的圖象與x 軸、直線x =e 所圍成的封閉圖形的面積為-.生2：本題給出的信息f （x）= min x3，1x指的是比較兩個函數(shù)x3 和1x的大小，并且將較小的函數(shù)取出作為f（x），可以考慮用數(shù)形結(jié)合的方法，如圖（見PDF稿），求出f（x）之后，求封閉圖形的面積可以選擇用定積分的方法來解決.師：生2 說得很到位，所用的數(shù)學思想和數(shù)學方法也是正確的. 求封閉圖形的面積可以

42、選擇用定積分來解決，但前提要求出函數(shù)f（x）的解析式，理解題意后，我們發(fā)現(xiàn)mina，b=a（a b），b（a > b），是指比較大小后取小，那么f（x）= min x3，1x指的是比較兩個函數(shù)y = x3 和y = 1x大小之后取小的函數(shù). 用數(shù)形結(jié)合的方法，可以避免煩瑣的運算，而且封閉圖形一目了然，后面解答也就順暢了，但是不少同學在用定積分求封閉面積的時候運算出錯，大家要留意.3說因果糾錯，防微杜漸說因果糾錯指的是在試卷講評過程中，讓學生說出題目做錯的原因，暴露出對知識理解的誤區(qū)，展示思維受阻的過程，既加深了說題者對錯題的印象，又給其他學生以警示的作用，達到預(yù)防錯誤再次發(fā)生的目的.例3

43、 已知雙曲線x2a2 - y2b2 = 1（a > b > 0）的兩條漸近線的夾角為3，則雙曲線的離心率為-.生3：這道題我在考試中做錯了，考完之后我覺得自己應(yīng)該沒有問題的，但是后來看了參考答案，發(fā)現(xiàn)只有一個答案，我才知道自己做題過程中對一些條件忽視了. 首先是a > b > 0 這個條件，說明這條雙曲線焦點在x 軸，且實軸比虛軸長，這一點考試過程中我沒有留意到，第二個條件“兩條漸近線的夾角”，我一開始以為有兩種情況，現(xiàn)在想想，夾角指的是銳角，這樣的話，就不可能存在兩種情況了.師：這道題和生3 發(fā)生同樣錯誤的同學有不少，很多失誤在于審題不夠仔細. x2a2 - y2b2

44、 = 1（a > b > 0），一般我們常見的雙曲線題目都沒有a > b > 0 這個條件的，大家對這個條件的警覺性不高，誤以為有兩種情況，沒有留意到它的話，失誤在所難免. 同學們，吃一塹長一智，這樣的失誤要牢記.4說一題多解，各抒己見說一題多解指的是在試卷講評過程中，讓學生說出解題的不同方法，用不同方法解答同一數(shù)學題，不僅能更加牢固地掌握和運用所學知識，而且可以通過分析對比，尋找解題的最佳途徑和方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，增強解題能力.例4 不等式x + 3 - x - 1 a2 - 3a 對任意實數(shù)x 恒成立，則實數(shù)a 的取值范圍為-.生4：這道題考查恒成立問題

45、，解題關(guān)鍵在于求出x + 3 - x - 1 的最大值. 令f（x）= x + 3 - x - 1 ，我是用分類討論求出其最大值為4，得出a2 - 3a 4，解出a 的取值范圍.生5：我和生4 的方法類似，但是我求x + 3 -x - 1 最大值的時候，沒有選擇分類討論方法，我用的是絕對值不等式方法： x + 3 - x - 1 （x + 3）-（x - 1） ，求出最大值為4，這樣做省時間，而且避免煩瑣討論.生6：我的方法也是很快的，求x + 3 - x - 1最大值的時候可以用幾何意義來解決，絕對值表示距離，這個也是老師您講過的內(nèi)容.師：剛才三名同學的方法都可以求出最大值，但是對比起來，第

46、二種和第三種方法用時短，效率高，而且出錯概率小，在考試中可以優(yōu)先考慮它們.5說解題反思，融會貫通在試卷講評過程中，讓學生說出解題反思，引導(dǎo)學生進行適當?shù)臍w納和總結(jié)，歸納題目考查的內(nèi)在本質(zhì)，總結(jié)解決同類問題的方法和規(guī)律，從解決一道題上升為解決一類題，掌握通性通法，從而達到融會貫通的效果.三、說題實踐的教學感悟1教師傾聽的藝術(shù)教師在試卷講評過程中，要給學生充分的時間來說題，教師傾聽學生對試題的分析過程，可以更加清晰、全面地了解學生對試題的思考過程，學生說題可以暴露思維偏離的誤區(qū)以及知識薄弱點，教師在傾聽過程中可以適時糾正和提醒，同時對學生的說題活動給予適當?shù)狞c評. 教師的傾聽藝術(shù)，給了學生出彩的機

47、會，讓學生積極思維，主動參與課堂過程中，形成以學生為中心，師生共同交流、共同合作的新型課堂關(guān)系.2學生說題的意義在試卷講評課中，說題活動的開展，是通過說的表達方式，讓學生的思維過程充分暴露，及時解決在學習過程中存在的一些似是而非的問題，提高學生的歸納概括能力，把學生從被動聽的地位改變?yōu)橹鲃诱f的地位，提高學生的數(shù)學交流能力. 在學生說題的過程中，其他同學的求知欲也被調(diào)動起來，激起學生學習數(shù)學的熱情. 說題活動為學生與學生之間搭建一個交流的平臺，創(chuàng)設(shè)相互探討的機會，使學生在說題活動中，理清思路，弄懂問題，既掌握了知識，又使語言表達能力得到大幅度提高.第1.5節(jié) 一道高考數(shù)學試題的“說題”作者：修其

48、生(福建省龍巖市第一中學)來源：高中數(shù)學教與學2014年第9期 轉(zhuǎn)載：知網(wǎng)空間（注：原稿為PDF，鐘煒將其轉(zhuǎn)編為word，原PDF稿另行轉(zhuǎn)發(fā)）所謂“說題”是一種教學教研活動，是一種有效的教與學的途徑，是教師的一種深層次備課后的展示在平時的教學教研活動中，若能開展“說題”活動，則有利于營造教研氣氛，更有利于提高教師的綜合素質(zhì) 筆者結(jié)合多年的教學實踐，現(xiàn)就2011 年高考福建卷理科第15 題作如下“說題”，供同行參考題目 設(shè)V 是全體平面向量構(gòu)成的集合 若映射f: V滿足: 對任意向量a = ( x1，y1) V，b = ( x2，y2) V，以及任意，均有f( a + ( 1 ) b) = f(

49、 a) + ( 1 ) f( b) ，則稱映射f 具有性質(zhì)P現(xiàn)給出如下映射: f1: V ，f 1( m) = x y，m = ( x，y ) V; f2: V，f2( m) = x2 + y，m = ( x，y ) V; f3: V ，f 3( a) = x + y + 1，a = ( x，y) V其中，具有性質(zhì)P 的映射的序號為- ( 寫出所有具有性質(zhì)P 的映射的序號)一、說背景此題是以平面向量、映射作為背景，通過對這些知識的交匯，重新組合，構(gòu)造新的知識環(huán)境，要求考生在新的環(huán)境中通過閱讀、分析、理解、轉(zhuǎn)化、提取有用的信息解決給出的新的問題二、說解法這是一道給出臨時定義的創(chuàng)新題 順利解決本題

50、的關(guān)鍵有三點:( 1) 對映射f 的理解 映射f 是一個由V 的映射，即V 中平面向量在f 的作用下變成實數(shù)( 2) 對映射f 具有的性質(zhì)P 應(yīng)滿足的條件f( a + ( 1 ) b) = f( a) + ( 1 ) f( b) 的認識條件是由一恒等式給出的; 等號左邊是一個數(shù)式，右邊是兩個數(shù)式之和( 3) 怎樣驗證題中給出的3 個映射是否具有性質(zhì)P?在驗證之前，要清楚在每種映射下f( a+ ( 1 ) b) ，f( a) ，( 1 ) f( b) 分別表示怎樣的數(shù)式?采用什么方法驗證恒等式是否成立? 一種方法是從左邊出發(fā)，經(jīng)過演算、變形、觀察，看能否得到右邊的形式，即解法1; 另一種方法是將

51、左、右兩邊的數(shù)式作差，看是否等于0，即解法2 a = ( x1，y1) ，b = ( x2，y2) ， a + ( 1 ) b = ( x1 + ( 1 ) x2，y1+ ( 1 ) y2) 解法1 f1( m) = x y，f1( a + ( 1 ) b)= f1( x1 + ( 1 ) x2，y1 + ( 1 ) y2)= x1 + ( 1 ) x2 y1 ( 1 ) y2= x1 + x2 x2 y1 y2 + y2= ( x1 y1) + ( 1 ) ( x2 y2)= f1( a) + ( 1 ) f2( b) ，f1是具有性質(zhì)P 的映射同理可驗證映射f3具有性質(zhì)P，映射f2不具有性

52、質(zhì)P，答案應(yīng)填 解法2( 作差法) f1( m) = x y，則f1( a + ( 1 ) b) f1( a) ( 1 ) f1( b) = x1 + ( 1 ) x2 y1 ( 1 ) y2 ( x1 y1) ( 1 ) ( x2 y2) = x1 + ( 1 ) x2 y1 ( 1 ) y2 x1 + y1 ( 1 ) x2 ( 1 ) y2 = 0， f1( a + ( 1 ) b) = f1( a) + ( 1 ) f1( b) 對 成立 f2( m) = x2 + y，則f2( a + ( 1 ) b) f2( a) ( 1 ) f2( b) = ( x1 + ( 1 ) x2) 2

53、 + y1 + ( 1 ) y2 ( x21+ y1) ( 1 ) ( x22+ y2) = 2 x21+ ( 1 ) 2 x22+ 2( 1 ) x1 x2 + y1 + ( 1 ) y2 x21 y1 ( 1 ) x22 ( 1 ) y2 =( 1) x21+ ( 1) x22 2( 1) x1 x2 =( 1) ( x21 2x1 x2 + x22) = ( 1) ( x1 x2) 2 ， ( 1) ( x1 x2) 2 = 0 不恒成立， 映射 不具有性質(zhì)P同理可得映射f3具有性質(zhì)P，答案應(yīng)填三、說變式可將已知條件中的，均有f( a + ( 1 ) b) = f( a) + ( 1 )

54、 f( b) 改為 ( 0，1) ，均有f( a + ( 1 ) b) f( a) + ( 1 ) f( b) ，則稱映射f 具有性質(zhì)P，其余條件不變，則答案為四、說拓展拓展1 因函數(shù)是特殊的映射，將映射改為函數(shù)，可得到如下題目:設(shè)f( x) 是定義在D 上的連續(xù)函數(shù)，若對任意實數(shù)( 0，1) 以及D 中的任意兩數(shù)x1，x2，恒有f( x1 + ( 1 ) x2) f( x1) + ( 1 ) f( x2) ，則稱f( x) 為定義在D 上的C 函數(shù)試判斷函數(shù)f1( x) = x，f2( x) = x2，f3( x) =1/x( x 0) 是否為各自定義域上的C 函數(shù)?拓展2 在拓展1 的基礎(chǔ)

55、上，令 = 1/2，并將不等式改為 f（x1 + x2 ）/2 f( x1) + f( x2)/2。在已知條件中具有這樣不等式的題目其實質(zhì)就是考查函數(shù)的凹凸性問題，而這樣的問題學生已練過，是熟知的具體題目如下:給出4 個函數(shù): f( x) = sin x， f( x)= x2 + 2x 1， f( x) = x3 + 4x + 2，f( x) = log12x性質(zhì)P D 為函數(shù)的定義域，對于x1，x2 D，均有f( x1) + f( x2)/2 f（x1 + x2 ）2，則滿足性質(zhì)P 的函數(shù)有-拓展3 因數(shù)列是特殊的函數(shù)，也是一種特殊的映射，所以將映射改為數(shù)列，又可以得到與數(shù)列有關(guān)的類似的題目:考慮以下數(shù)列 an ，( n N* ) an = n2 + n + 1，an = 2n + 1， an = ln n/(n + 1)其中滿足性質(zhì)“對任意正整數(shù)n，(an+2 + an)/2 an+1都成立”的數(shù)列有- ( 寫出滿足條件的所有序號)五、說反思本題是以平面向量、映射作為載體，但其實質(zhì)是一個信息給予題，主要考查學生的閱讀理解能力、分析能力、由陌生向熟悉轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化能力、以含字母的式的運算為主的運算求解能力、處理信息的能力和創(chuàng)造性地解決問題的能力如果學生覺得性質(zhì)f( a + ( 1 ) b) =f( a) + ( 1 ) f( b) 比較抽象，難以理解，可以令 =1/2，則