角恒等變換教案

1、二角恒等變換教案適用學科高中數(shù)學適用年級高中一年級適用區(qū)域全國通用課時時長（分鐘）60知識點兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，輔助角公式教學目標理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，輔助角公式，體會二角恒等變換 在數(shù)學中的應用教學重點1.二倍角公式的推導。2三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會三角變換的特點.教學難點認識三角變換的特點，并能運用數(shù)學思想方法指導變換過程的設計，不斷提高從整體上把握變換 過程的能力.教學過程一、課堂導入思路 1. 我們知道變換是數(shù)學的重要工具，也是數(shù)學學習的主要對象之一，三角函數(shù)主要有以下三個基本的恒等變換： 代數(shù)變

2、換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換 . 前面已經(jīng)利用誘導公式進行了簡單的恒等變換，本 節(jié)將綜合運用和（差）角公式、倍角公式進行更加豐富的三角恒等變換 .思路 2. 三角函數(shù)的化簡、求值、證明，都離不開三角恒等變換 . 學習了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我們就有 了進行三角變換的新工具， 從而使三角變換的內(nèi)容、 思路和方法更加豐富和靈活， 同時也為培養(yǎng)和提高我們的推理、 運算、實踐能力提供了廣闊的空間和發(fā)展的平臺 .對于三角變換 , 由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結構形式方面的差 異, 而且還會有所包含的角 , 以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異 , 因此三角恒等變換常常首先尋

3、找式子所包含的 各個角之間的聯(lián)系 ,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當公式 , 這是三角式恒等變換的重要特點 .、復習預習復習三角函數(shù)值的計算及誘導公式（一）sin(2k)sincos(2k)cossin(p +a)=二-sina ,cos(p +a)-cosa ，sin (-a)sin acos(- a) cosasin()sin,cos()-cos ，sin(P -2a) =cosa（公式五）cos(P-2a) si na（六）。tan(2k ) tan（公式一）tan (p +a) ta na（公式二）tan(-a) - tana（公式三）tan()tan（公式四）sin(叢 +a) c

4、osa2（公式八）cos( +a) - sina三、知識講解考點1兩角和的正弦、余弦、正切公式coscoscossinsin: coscos cossinsin；sinsincoscossin: sinsin coscossin；ta ntantan(tan tantan1tantan)1 tan tantantantantan tantan1tantan)1 tan tan考點2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2 2sin cos1 sin 2 sin2cos22sin cos(sin cos )2 cos2 cossin22 22cos 1 1 2sin2升幕公式 1 cos 2 co

5、s ,1 cos22 cos212降幕公式cos, sin22sin2 -21 cos 22萬能公式sin aa2 tan2cos a tan22ta n1 tan22 a1 tan 22 atan 22 atan 2考點3輔助角公式把兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù)，一個角，一次方”的 y Asi n( x ) B形式sincos、22 sin，其中 tan .四、例題精析考點一兩角和的正弦、余弦、正切公式例 1 已知 a ( , ), 3(0 ,), cos ( a ) = 3 , sin( - +3 ) = 5，求 sin( a + 3 )的值.44445413【規(guī)范解答】a +4

6、34+ B = a + f + 23a( 一, )3 (0,113sin x1)a -(0,)3 +二 (,n ) - - sin( a )=4cos(3_)=一 12424445413sin(a + |3 )=cos-+ ( a+3)=一 COS( a 一-)+ (3_)=5624465【總結與反思】這道題主要考察了誘導公式及兩角和的余弦公式，先通過誘導公式的變形然后帶入余弦公式即可例 2 計算 sin 68 ° sin 67 ° - sin 23 ° cos 68。的值為（）.A.乎D. 1【規(guī)范解答】原式=sin 68 ° cos 23 °

7、; - cos 68 ° sin 23 °= sin(68 ° - 23° ) = sin 45 ° =【總結與反思】 本題考察了兩角差的正弦公式，帶入公式即可考點二二倍角公式的應用c4c212cos x 2cos x 例3化簡2-22tan( x)sin ( x)442 2 12sin xcos x 2【規(guī)范解答】切化弦，合理使用倍角公式原式=22sin(x) cos (x)44cos(x)41 . 212 _(1 sin 2x)cos 2x 12 2=2cos 2 x.2sin( x)cos( x) sin( 2x)442【總結與反思】三角

8、函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：(1) 一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式;(2) 二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等.例4化簡：sin a + COS a 1Si n a COS a + 1sin 2 aa aaa aa【規(guī)范解答】2sin 2 cos 2 2sin 2 2sin 2 cos 2 + 2sin 2 原式=a a4sin 2 cos 2 cos aacosy -aaaa sincos= +

9、 sinsin -2222acos _cos a2 a .2 a . a. acos sin sin cos a sin -2222a=tan aa2cos cos acos COS a22【總結與反思】三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：(1) 一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式;(2) 二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”； 三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等.考點三輔助角公式的應用例 5 已知函數(shù) f(x) = 2cos 2x + si

10、n2x.求f()的值；32)求f(x)的最大值和最小值.【規(guī)范解答】先化簡函數(shù)y二f(x)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解. f(3)=2cos 3 + sin2 3 f(x) 2(2cos2x 1) + (1 cos2x)3cos2x 1, x R.I cos x 1,1,當cos x ± 1時，f(x)取最大值2;當cos x 0時，f(x)取最小值1.【總結與反思】需要利用這些公式,奇偶性、周期性、對高考對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查還往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中 先把函數(shù)解析式化為y A sin( CD x +© )的形式，再進一步討論其定義域、值域

11、和最值、單調(diào)性、 稱性等性質(zhì).課程小結1. 本節(jié)課主要是三角恒等變換的應用，通過三角恒等變形,把形如y=a sin x+b cos x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=A sin( 3x+© )的函數(shù),從而能順利考查函數(shù)的若干性質(zhì)，達到解決問題的目的.在教學中教師要強調(diào)：分析、研究三角函數(shù)的性質(zhì)， 是三角函數(shù)的重要內(nèi)容 . 如果給出的三角函數(shù)的表達式較為復雜，我們必須先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的解析式 變形化簡，然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì) . 因此，三角恒等變換是求解三角函數(shù)問題的一個基本步 驟. 但需注意的是，在三角恒等變換過程中，由于消項、約分、合并等原因，函數(shù)的定義域往往會發(fā)生一些變化，從而 導致變形化簡后的三角函數(shù)與原三角函數(shù)不等價 . 因此，在對三角函數(shù)式進行三角恒等變換后，還要確定原三角函數(shù)的 定義域，并在這個定義域內(nèi)分析其性質(zhì) .2. 在三角恒等變化中，首先是掌握利用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式，并由此導出角和與差的正弦、余弦、正 切公式，二倍角公式和積化差、和差化積及半角公式，以此作為基本訓練 . 其次要搞清楚各公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，自己 畫出知識結構圖 . 第