小題變式探究

1、    “小題”變式探究    許金注在數(shù)學(xué)世界里，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美妙千變?nèi)f化，稱之為“數(shù)學(xué)美”.在浩瀚無垠的數(shù)學(xué)題海里，下面要說的這道題淋漓盡致地詮釋了它的美妙.一、原型題目如圖1，abbd于點(diǎn)b，cdbd于點(diǎn)d，p是bd上一點(diǎn)，且ap=pc，appc，則abppdc.請說明理由.題目分析：本題出自華東師大版八年級上冊“全等三角形的判定”課后作業(yè)的一道習(xí)題.它是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形全等的判定的基礎(chǔ)上給出的一道題目，意在考查學(xué)生對三角形全等的判定的掌握程度.有哪些方法判定三角形全等，三角形全等必須具備哪些條件，如何尋找三角形全等的條件等，都是解決本題的關(guān)鍵

2、.設(shè)計意圖：本題意在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握程度.解題思路：題目中已知ap=pc，且abbd于點(diǎn)b，cdbd于點(diǎn)d，可以得出b=d=90°，再尋找一個條件便可以證明三角形全等，利用兩個角互余證明角相等是常用的一種方法，于是第三組條件不難找到.下面對題目進(jìn)行變式.二、拓展變化變式之前，先讓學(xué)生分析其特點(diǎn)，從特殊到一般.數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的解題方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想滲透解題思想.1.結(jié)論的變化與拓展問題的提出：從題目所給的信息中，你還能發(fā)現(xiàn)其他結(jié)論嗎？變化一：如圖2，abbd于點(diǎn)b，cdbd于點(diǎn)d，p是bd上一點(diǎn)，且ap=pc，appc觀察圖形猜想ab、bd、cd之

3、間的關(guān)系，并證明你的猜想.題目分析：由題目條件出發(fā)，不難證明abppdc，從而可以得出ab=pd，cd=bp，于是bd=ab+cd.但本題的設(shè)計比原型題證明三角形全等的難度大得多.首先學(xué)生應(yīng)該綜合分析題目中圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過猜想三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而尋找圖中相等的線段，于是通過證明三角形全等解決這個問題.變化二：如圖3，已知a、d是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線l的同側(cè)，分別過這兩點(diǎn)作l的垂線，垂足為b、c，e是bc上一動點(diǎn)，連接ad、ae、de，若點(diǎn)e恰為這段圓弧的圓心，則線段ab、bc、cd之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明.解題說明：若點(diǎn)e恰為這段圓弧的圓心，同樣可以

4、知道aed=90°，題目自然可以轉(zhuǎn)化為變式一的形式解決.從圖形運(yùn)動中找出規(guī)律，轉(zhuǎn)化為一般幾何證明問題，探究解決新問題的策略，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.再探究：如圖4，當(dāng)a、d分別在直線l兩側(cè)且abcd，而其余條件不變時，線段ab、bc、cd之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不必證明.設(shè)計理念：（1）經(jīng)歷觀察、猜想到驗(yàn)證的解決問題方法；培養(yǎng)學(xué)生探究能力與解決問題的能力.（2）讓題設(shè)條件與圖形“動”起來，克服思維定勢和圖形位置定勢，使學(xué)生習(xí)慣“開放”與“探究”的思維.解題思路：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同知識、不同思想方法思考同一個問題，能使各個層次學(xué)生都達(dá)到一定的效果，使學(xué)生從單一

5、的思維模式中解放出來，達(dá)到以創(chuàng)新方式解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維開闊性、發(fā)散性和靈活性的目的.2.弱化條件弱化“直角”，則“全等三角形”結(jié)論仍然成立.如圖5，abc和cde中，點(diǎn)d在邊bc的延長線上，ac=ce，ace=b=d，則abccde.解題思路：無論如何變換，本質(zhì)是三個角相等，應(yīng)用三角形相似（全等）解決.設(shè)計意圖：通過本題拓展，我們應(yīng)該教會學(xué)生善于思考，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵學(xué)生合作交流，獲得廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).3.條件和結(jié)論的互逆變換例：如圖6，兩個全等的含30°、60°角的三角板dea和三角板acb如圖所示放置，e，a，c三點(diǎn)在一條直線上，連接bd，取bd中點(diǎn)m，連接em，ec，試判斷cme的形狀，并說明理由.設(shè)計意圖：本問設(shè)計意圖是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖形，深入挖掘隱含的條件和結(jié)論，尋找知識點(diǎn)之間的聯(lián)系、轉(zhuǎn)化，激發(fā)學(xué)生積極思考、主動探索，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，同時培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，可以更好地分析題意.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括、歸納及語言表達(dá)能力.解題指導(dǎo)：本題主要利用三角形全等的判定進(jìn)行證明、求解.具有較強(qiáng)代表性和典型性的習(xí)題是數(shù)學(xué)問題的精華，教學(xué)不要忽視這些小題，要善于“借題發(fā)揮”，進(jìn)行一題多解、一題多變、多題組合，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的規(guī)律性和方法，達(dá)到“做一題