函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性實用教案

1、一、單調(diào)(dndio)性的判定法yo)(xfy yo)(xfy abAB定理定理(dngl)abBA第1頁/共35頁第一頁，共36頁。證證應(yīng)用應(yīng)用(yngyng)拉氏拉氏定理定理,得得定理定理(dngl)第2頁/共35頁第二頁，共36頁。例例1 1 討論討論(toln)(toln)函數(shù)函數(shù)y=x-sinx y=x-sinx 的單調(diào)性。的單調(diào)性。解：解：y=1-cosx 0， y=x-sinx在在( ,+ )上單調(diào)上單調(diào)(dndio)增加增加幾何上看：單調(diào)幾何上看：單調(diào)(dndio)區(qū)間的分界點是使區(qū)間的分界點是使f (x)=0的點的點.注注1: 區(qū)間內(nèi)孤立點處導(dǎo)數(shù)為零或不存在區(qū)間內(nèi)孤立點處導(dǎo)數(shù)

2、為零或不存在 , 不影響函數(shù)在區(qū)間上的單不影響函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性調(diào)性.第3頁/共35頁第三頁，共36頁。例例2 2解解注注2:2:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點(y din)(y din)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性第4頁/共35頁第四頁，共36頁。例例3 3解解第5頁/共35頁第五頁，共36頁。二、單調(diào)(dndio)區(qū)間求法問題問題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間如上例，函數(shù)在定義區(qū)間(q jin)(q jin)上不是上不是單

3、調(diào)的，但在各個部分區(qū)間單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間(q jin)(q jin)上單調(diào)上單調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間(q jin)(q jin)內(nèi)內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間是單調(diào)的，則該區(qū)間(q jin)(q jin)稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間間(q jin).(q jin).導(dǎo)數(shù)等于零的點導(dǎo)數(shù)等于零的點和和不可導(dǎo)點不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點界點方法方法: :第6頁/共35頁第六頁，共36頁。例例4 4解解單調(diào)單調(diào)(dndio)區(qū)區(qū)間為間為第7頁/共35頁第七頁，共36頁。 還可以用列表還可以用列表(li bio)的方式討論的方式

4、討論x+y=f(x)列表列表(li bio)：第8頁/共35頁第八頁，共36頁。例例5 5證證注意注意(zh y):區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單不影響區(qū)間的單調(diào)性調(diào)性.例如例如(lr),利用單調(diào)利用單調(diào)(dndio)性證明不等式和判斷方程根性證明不等式和判斷方程根P130例1第9頁/共35頁第九頁，共36頁。例例6 6 證明證明(zhngmng)(zhngmng)當(dāng)當(dāng)x0 x0時，時，證：令證：令 F(x)在在(0,+)內(nèi)單調(diào)內(nèi)單調(diào)(dndio)上升，又上升，又F(0)=0，F(xiàn)(x)在在x=0處連續(xù)，處連續(xù)，利用利用(lyng)單調(diào)性證明不等式和方程根單調(diào)性證明不等

5、式和方程根第10頁/共35頁第十頁，共36頁。三、曲線(qxin)的凹凸性問題問題:如何如何(rh)研究曲線的彎曲研究曲線的彎曲方向方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意圖形上任意(rny)弧段弧段位位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC第11頁/共35頁第十一頁，共36頁。定義定義(dngy)xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x第12頁/共35頁第十二頁，共36頁。四、曲線(qxin)凹凸的判定yo)(xfy yo)(xfy abABabBA定理定理(dngl)1(dngl)1第13

6、頁/共35頁第十三頁，共36頁。分析分析(fnx)( ) , ,( , ),( , )(1)( )0,( ) , ;(2)( )0,( ) , .f xa ba ba bfxf xa bfxf xa b 如如果果在在上上在在內(nèi)內(nèi)一一階階和和階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 若若在在內(nèi)內(nèi)則則在在上上連連的的圖圖形形是是的的則則在在上上的的圖圖形形續(xù)續(xù)具具有有凹凹是是凸凸的的二二定理定理(dngl)1(dngl)1,2)()()2(2121xfxfxxf 第14頁/共35頁第十四頁，共36頁。證證( ) , ,( , ),( , )(1)( )0,( ) , ;(2)( )0,( ) , .f xa ba ba bf

7、xf xa bfxf xa b 如如果果在在上上在在內(nèi)內(nèi)一一階階和和階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 若若在在內(nèi)內(nèi)則則在在上上連連的的圖圖形形是是的的則則在在上上的的圖圖形形續(xù)續(xù)具具有有凹凹是是凸凸的的二二定理定理(dngl)1(dngl)1第15頁/共35頁第十五頁，共36頁。證證第16頁/共35頁第十六頁，共36頁。結(jié)論（結(jié)論（2）可類似得證）可類似得證.教材教材(jioci)上用上用langrange定理證明定理證明!第17頁/共35頁第十七頁，共36頁。例例7 7解解注意注意(zh (zh y)y)到到, ,第18頁/共35頁第十八頁，共36頁。第19頁/共35頁第十九頁，共36頁。五、曲線(qxin)的

8、拐點及其求法1.1.定義定義(dngy)(dngy)注注:拐點拐點(ui din)處的切線必在拐點處的切線必在拐點(ui din)處處穿過曲線穿過曲線.xyoABC第20頁/共35頁第二十頁，共36頁。證證第21頁/共35頁第二十一頁，共36頁。2 2、拐點、拐點(ui din)(ui din)的的求法求法 二階導(dǎo)數(shù)等于零的點和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，二階導(dǎo)數(shù)等于零的點和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，可能可能(knng)是拐點是拐點方法方法(fngf)1:(fngf)1:第22頁/共35頁第二十二頁，共36頁。例例1010解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點(ui din)拐點拐點(ui din)第23頁/

9、共35頁第二十三頁，共36頁。例例1212解解第24頁/共35頁第二十四頁，共36頁。小 結(jié)1.單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理(dngl)的重要應(yīng)的重要應(yīng)用用.2.定理中的區(qū)間換成其它定理中的區(qū)間換成其它(qt)有限或無限區(qū)間，有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立結(jié)論仍然成立.3.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些(mu xi)方程實根的個數(shù)和證明不等式方程實根的個數(shù)和證明不等式.4.曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;5.改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點拐點拐點;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點的求法拐點的求法.第25頁/共35頁第

10、二十五頁，共36頁。思考題思考題1第26頁/共35頁第二十六頁，共36頁。思考題解答思考題解答(jid)不能斷定不能斷定(dundng).例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf但但第27頁/共35頁第二十七頁，共36頁。 )212(1kx當(dāng)當(dāng) 時，時， kx21當(dāng)當(dāng) 時，時，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 點的任何鄰點的任何鄰域內(nèi)，域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增都不單調(diào)遞增k00 x)(xf第28頁/共35頁第二十八頁，共36頁。思考題思考題2第29頁/共35頁第二十九頁，共36頁。思考題解答思考題解答(jid)例例第30頁/共35頁第三十頁，共36頁。 作業(yè)(zuy)： P152：3-（3）、5-（1）（5）、6、7、8-（3）、9-（3）第31頁/共35頁第三十一頁，共36頁。方法方法(fngf)2:(fngf)2:例例解解2 2、拐點、拐點(ui din)(ui din)的的求法求法所以(suy),是拐點.第32頁/共35頁第三十二頁，共36頁。第33頁/共35頁第三十三頁，共36頁。第34頁/共35頁第三十四頁，共36頁。感謝您的觀看(gunkn)！第35頁/共35頁第三十五頁，共36頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)一、單調(diào)性的判定法。幾何(j h)上看：單調(diào)區(qū)間的分界點是使f (x)=0的點.。