偏微分方程考試題

1、數(shù)學(xué)物理方程及數(shù)值解 復(fù)習(xí)提要一、偏微分方程的建立CH1 典型方程和定解條件【內(nèi)容提要】1. 方程的建立(步驟:確定物理量;微元法建立等式;化簡得方程)主要方法：微元法；泛定方程:(1) 波動(dòng)方程(雙曲型)：弦振動(dòng)方程：傳輸線方程：電磁場方程: (2) 熱傳導(dǎo)方程/擴(kuò)散方程（拋物型）: 導(dǎo)熱桿（無熱源）， 導(dǎo)熱片（無熱源）(3) 穩(wěn)恒方程(橢圓型): Poisson方程：Laplace方程： 2.定解條件：初始條件及邊界條件 邊界條件(1)第一類邊界條件(Dirichlet條件): (2) 第二類邊界條件(Neumann條件): (3) 第三類邊界條件(Robin條件): 3.定解問題的提法：

2、 4.線性偏微分方程的基本性質(zhì)（1）.線性迭加原理 (2.) 齊次化原理（沖量原理） Duhamel原理：設(shè)是方程的解，Þ是方程的解?！镜湫土?xí)題】 1：長為的均勻桿，側(cè)面絕緣,一端溫度為零，另一端有恒定熱流進(jìn)入（即單位時(shí)間內(nèi)通過單位截面積流入的熱量為），桿的初始溫度分布是，試寫出相應(yīng)的定解問題解：初始條件：， 桿的初始溫度分布是，邊界條件： 由桿的一端溫度為零 ，桿的另一端有恒定熱流q，）（Fourier實(shí)驗(yàn)定律故定解問題為： 該定解問題為齊次方程第二類非齊次邊界條件的混合問題3：長為的弦兩端固定，開始時(shí)在受沖量的作用，試寫出相應(yīng)的定解問題解：設(shè)弦的兩端為：，由題意有弦的振動(dòng)方程為

3、邊界條件為：初始條件為：在點(diǎn)，取小段 （是無窮小量），由沖量定理有 ，(沖量=動(dòng)量改變量) ； 于是， 故定解問題為 該定解問題為齊次方程第一類齊次邊界條件的混合問題5、 若是兩個(gè)任意二次連續(xù)可微函數(shù)，驗(yàn)證 滿足方程 解：由題意有 及 及可得 二、偏微分方程的精確解求法1. 分離變量法（有界區(qū)域內(nèi)/齊次邊界；周期邊界）Bessel函數(shù)及Legendre函數(shù)2. 行波法（針對波動(dòng)方程，無界區(qū)域內(nèi)）3. 積分變換法（Fourier變換Laplace變換）Fourier變換:針對整個(gè)空間 ，奇：正弦變換 偶：余弦變換Laplace變換：針對半空間4. Green函數(shù)及基本解法1、 分離變量法，有界區(qū)

4、域內(nèi)（1） 齊次方程+齊次邊界條件分離變量法步驟：（i）分離變量：設(shè)方程試探解,代入方程 （ii）求解本征值問題 （iii）疊加原理求通解 （iv）初始條件求定解常用的本征值問題： 題型： （2） 非齊次方程+齊次邊界條件分離變量法1) 本征函數(shù)法2) 沖量定理法（非齊次波動(dòng)<擴(kuò)散>方程；定解條件都是齊次）設(shè)是方程的解，則是方程的解。（3） 周期性條件的定解問題的分離變量法 （4） 非齊次邊界條件分離變量法-函數(shù)代換設(shè)滿足 1)2)3)4)【例題23】 求解一端固定，一端作周期運(yùn)動(dòng)的弦的振動(dòng)問題 解 令取 將原問題邊界條件齊次化 用分離變量法解齊次方程第一類齊次邊界定值問題（i）變

5、量分離，令代入方程，得將上式分離變量，有 ，（ii）求解本征值問題：由方程可知它滿足邊界條件：，即得一族非零解將代入方程中，得其通解為（iii）由疊加原理，得通解。由疊加原理得弦振動(dòng)方程的精確解為（iv）由初始條件求定解，代入初始條件： 則 ，其中原定解問題的解為 【例題25.】解定解問題解1：(i)變量分離:令 (ii)求解本征值問題: 本征值；本征函數(shù)(iii)求T(t)，得通解： (iv)代入初值,求定解: 原方程的解【例20】在扇形區(qū)域內(nèi)求下列定解問題 的解。解：采用極坐標(biāo)表示即 ，(i) 變量分離將代入方程及邊界條件，得 (ii) 求解本征值問題 本征值問題 （3）（1）得通解為 （

6、4） 由（3）可得 本征值為 （5）和本證函數(shù) （6）(iii) 求R(r)，得通解(疊加原理) 將（5）代入（2）得這是Euler方程，令，得其通解為 （7）由自然條件，取 ，于是問題的本征解為一般解為本征解的迭加 （8）(iv) 利用初值求定解由邊界條件，得 （9）代入（8），得定解問題的解為：【例13，】求解定解問題解：(本征函數(shù)法)(i)對應(yīng)齊次方程本征值問題 本征值：；本征值函數(shù)：(ii)將未知函數(shù)和自由項(xiàng)按特征函數(shù)系展開 （1） （2）其中(iii)由初始條件求定解將（1）（2）代入到方程,得 從而（5）Bessel函數(shù)和Legendre函數(shù) Bessel方程：其解 正、負(fù)n階第一

7、類貝塞爾函數(shù) 第二類Bessel函數(shù)Bessel函數(shù)的母函數(shù)Bessel函數(shù)的積分表達(dá)式 當(dāng)n為整數(shù)時(shí)： 貝塞爾函數(shù)的遞推公式 ，n 階整數(shù)階貝塞爾函數(shù)有： 貝塞爾函數(shù)系 正交性貝塞爾級數(shù)展開定理：設(shè)在區(qū)間0,R上至多有有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，則f(x)在(0,R)連續(xù)點(diǎn)處的貝塞爾級數(shù)收斂與該點(diǎn)的函數(shù)值，在間斷點(diǎn)處收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值 其中 Ex8試證是方程 的一個(gè)解。Ex9試證是方程的一個(gè)解。Ex15利用遞推公式證明：（1）（2）證明：（1）由Bessel函數(shù)的降階公式 （2）由有： 2.行波法（針對波動(dòng)方程，無界區(qū)域內(nèi)） 1）二階線性偏微分方程的分類 特征方程：； 特征曲線：特征方程的積分

8、曲線 ，標(biāo)準(zhǔn)形:/ ，標(biāo)準(zhǔn)形: ，標(biāo)準(zhǔn)形:2）一維波動(dòng)方程<用行波法/Fourier積分法> 無界弦自由振動(dòng),其解為 -DAlembert公式無界弦強(qiáng)迫振動(dòng),其解為 -Kirchhoff公式【例】（2）判斷類型，并將其化簡i)判斷：，方程是雙曲型的，ii)求變換：特征方程為特征線為 和。令特征變換iii)化簡： 另若令特征變換 （3）判斷方程類型，并將其化簡i) 判斷：因?yàn)?，所以該方程是橢圓型的，ii)求變換其特征方程為 特征線為 即。故可令iii)化簡原方程代入原方程，得：【例】用行波法求解定解問題：解：特征方程，它有兩族特征曲線，作變換，方程變?yōu)椋合葘Ψe分一次得再對積分一次得：

9、其中是具有任意連續(xù)可微函數(shù)，將原自變量代回得原方程的通解為 ， （1） （2）對（2）從到x積分得： （3）（1）+（3），（1）-（3）得 【例】用行波法求解定解問題：解：特征方程： 特征曲線： 特征變換 代入方程得方程標(biāo)準(zhǔn)形，其通解代入初值得 解得即 原初值問題的解3.積分變換法（Fourier變換Laplace變換）1）Fourier變換:針對整個(gè)空間 奇：正弦變換 偶：余弦變換【定義】如果f(x)在(-,+)上絕對可積,它的Fourier變換 Fourier逆變換為: 【性質(zhì)】線性，卷積，乘積，微分，象導(dǎo)數(shù)，積分，延遲，位移 【存在Th】 【應(yīng)用】利用Fourier變換解微分方程2）L

10、aplace變換：針對半空間 【定義】f(x)的Laplace變換： f(x)的Laplace積分(逆變換): 【存在Th】 【性質(zhì)】線性，微分，積分，延遲，伸縮，卷積，【應(yīng)用】利用Laplace變換解微分方程例1 Fourier積分變換法求解定解問題：解：（i）對自變量x作Fourier變換,并記（ii）求象函數(shù)通解：（iii）為求u(x,t) 作Fourier逆變換 P113E1：試用Fourier變換求解上來平面狄氏問題解：(I)讓未知函數(shù)關(guān)于變量作Fourier變換有對原方程的兩邊和定解條件兩邊作Fourier變換有(II)求象函數(shù)通解將（7）代入（6）有：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)所以(iii) 為

11、求u(x,t) 作Fourier逆變換而例E5 Laplace變換法求解方程解：(i)對該問題作關(guān)于t的拉普拉斯變換，記(ii)求象函數(shù),通解:其中為常數(shù)。將邊界條件代入上式，可得將邊界條件代入上式，可得(iii)求原象函數(shù)。等式兩邊作關(guān)于p的Laplace逆變換例6：求解無界偏微分方程解：(1)對該問題作關(guān)于t的拉普拉斯變換，記(2)求象函數(shù),通解其中為常數(shù)。將邊界條件代入上式，可得將邊界條件代入上式，可得(3)求原象函數(shù)。等式兩邊作關(guān)于p的Laplace逆變換 4.Green函數(shù)及基本解法 （1）Green公式向量形式： 第一Green公式: 第二Green公式: （2）調(diào)和函數(shù)()的積分

12、表達(dá)式 （3）Green函數(shù) 1） 定義： 2）結(jié)論： （5） 應(yīng)用舉例 例：用Green函數(shù)法解Laplace方程在球域的Dirichlet問題:解：（1） 求Green函數(shù)。在球域內(nèi)任取一點(diǎn)，并放置一單位正電荷,連接并延長至，使得，在放置電量為q負(fù)電荷,使得兩電荷所產(chǎn)生的電位在球面上抵消，即即在放置電量為負(fù)電荷，它所產(chǎn)生的電位易知在球域內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，球域內(nèi)Green函數(shù)為(2)計(jì)算(3)確定函數(shù)值其中P125 Ex6用Green函數(shù)法解Laplace方程在上半平面的Dirichlet問題:解：（1） 求Green函數(shù)。在上半平面y>0任取一點(diǎn)M0(x0,y0),

13、并放置一單位正電荷,作關(guān)于x軸對稱點(diǎn)，并放置一單位負(fù)電荷,則兩電荷所產(chǎn)生的電位在x軸上抵消，就是Green函數(shù)(2)計(jì)算(3)確定函數(shù)值三、偏微分方程的數(shù)值解法 （基本理論；拋物雙曲橢圓型方程數(shù)值解）（一）基本理論： 1 差分格式構(gòu)造法：Taylor公式；差商；已有差分格式 2 差分格式性質(zhì)：相容性、穩(wěn)定性、收斂性1) Lax-Th: 2) 穩(wěn)定性：(1)(2)3 差分格式穩(wěn)定性判定 Th1Th2 Th3 （二）拋物雙曲橢圓型方程數(shù)值解 1拋物型方程差分格式 (1) (2) (3) (4) (5) 2 .一階線性常系數(shù)雙曲型方程 (1) (2) (3) (4) (5) 差分格式收斂的必要條件C

14、ourant-Friedrichs-Lewy條件，簡稱C.F.L條件: 差分格式的依賴區(qū)域包含偏微分方程初值問題的的依賴區(qū)域3 二階線性常系數(shù)雙曲型方程 (1) (2) 4 橢圓型方程 (1) (2) 【典型習(xí)題】一、 截?cái)嗾`差4.試討求解差分格式: 的精度解: 又3.討論擴(kuò)散方程差分格式：的截?cái)嗾`差解： 截?cái)嗾`差二、 差分格式及穩(wěn)定性1、波動(dòng)方程的定值問題：（變量分離方法解析解）給出定解問題的顯式差分格式，并討論其穩(wěn)定性解 取空間步長，時(shí)間步長，網(wǎng)格比，利用顯示差分格式計(jì)算。波動(dòng)方程的顯示差分格式為從而可以得到定解問題的差分格式:差分格式是三層格式，為了利用Fourier判別其穩(wěn)定性，差分格式