2022年2022年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)37：不等關(guān)系

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,細(xì)心整編吐血舉薦、 如如有用請(qǐng)打賞支持,感謝不盡！初 中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)37不等關(guān)系一.內(nèi)容提要1. 不等式三個(gè)基本性質(zhì)： 不等式兩邊都加上 或減去 同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變； 不等式兩邊都乘 或除以 同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變； 不等式兩邊都乘 或除以 同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向轉(zhuǎn)變；2. 一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集；設(shè) a>b、 不等式組精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xa 的解集為 x>a xbxa 的解集為 x&

2、lt;b xb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xb 的解集為 b<x<a xaxa的解集為空集x b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3. 幾何中證明線段或角的不等關(guān)系常用以下定理 三角形任意邊兩邊的和大于第三邊,任意兩邊的差小于第三邊； 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和； 在一個(gè)三角形中,大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊；直角三角形中,斜邊大于任始終角邊； 有兩組邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形中假如這兩邊的夾角大,那么第三邊也大；假如第三邊大,那么它所對(duì)的角也大；任意多邊形的每一邊都小于其他各邊的和二.例題例 1.已

3、知： x2,求以下代數(shù)式的取值范疇：73x、 x1x解： x 2,兩邊乘以 3,得3x 6兩邊加上 7,得73x7673x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) x1 y、x+1=xy、y 1x=1x=1 xy2,1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在兩邊乘以 y1 時(shí),依據(jù)不等式基本性質(zhì)2 和 3,得不等式組：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y 1012 y1y10或12 y1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y1y1y3或y322y1.5或 y<1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 x1 1.5 或xx1 1x精品學(xué)習(xí)資

4、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2. 設(shè)實(shí)數(shù) a、b 滿意不等式a ab aab ,試打算 a、b 的符號(hào)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：不等式兩邊都為非負(fù)數(shù),兩邊平方不等號(hào)方向不變兩邊平方得, a2 2 a a+b+a+b2<a22aa+b+a+b2化簡(jiǎn),得 a （a+b） >a ab , 可知a0,a+b 0a ab兩邊除以 a 得, a+b>a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載明顯不等式要成立,只有aa1 , 故 a<0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由此得 a+b

5、> ab ,明顯只有 a+b>0、又 a<0、故 b>0a、b 的符號(hào)為： a<0、 b>0例 3. 已知： o為 abc內(nèi)的一點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證：1 oaoboc 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載.2abbcca分析：此題實(shí)質(zhì)為要證明2（oa oaoc） abbc ca且 oa obocab bcca精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明： oa obabaob ocbcdoc oacaoc2（oa oboc） abbc cab延長(zhǎng) bo交 ac于 d,abadob od,oddcocabaco

6、b oc,同理 abbcoaoc, bccaoa ob即 2（ab bcca） 2（oaoboc） 1 oaoboc 1.2abbcca例 4. 求證直角三角形兩條直角邊的和,小于斜邊與斜邊上的高的和已知： abc中, acbrt , cd ab于 d求證： cacb abcd證明：設(shè) cd h、a、b、c為 a, b, c的對(duì)邊依據(jù)勾股定理, a2+b2=c2、a2 +b2c2 h2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載依據(jù)三角形面積公式1 ab= 1 ch2ab2ch精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22：（ a+b）2<c+h 2ca+b>0、c+h>

7、;0ba ha+b<c+hadbc又證明：（用求差法）假設(shè)同上精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 ab=ch、 得 h= abcabacbcc 2abaccb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a+b c+h=a+bccccc>0、a c<0、c b>0 直角三角形中斜邊大于任始終角邊 a+b c+h 0 a+bc+h再證明：學(xué)完四點(diǎn)共圓后,可證ca cdabcb在 ab上截取 be bc,在 ac上取 cfcd,c兩等腰 bce和 cdff1頂角 b=dcf2aedb底角 2 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載四邊形 cdef為圓

8、內(nèi)接四邊形efa cde rtaf<ae,即 af cf<abbe ,accd<ab cbcacbab cd例 5. 已知： abc中, d, e 分別在 bc,ac上, b 1 2假如 abc, adc, ebd的周長(zhǎng)依次為 m、n、p求證： np5m4證明：設(shè) bca,acb,abca 1 2,de ac,1e abc ebd dac 2b2dc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 dcac ac ,即 dc bbca精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2bd bcdca baa 2b 2=a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pbda 2b

9、 2nb2,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mbcanpba2b 2bma22bb155精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載maa21aaa244精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 6. 已知： abc中, abac,d為三角形內(nèi)的一點(diǎn), adb adc求證： dbc dcb分析：為使已知條件 adb adc集中在一起,把 abd圍著點(diǎn) a 旋轉(zhuǎn),使 ab和 ac重合,即作abd的全等三角形ace證明：作 cae abd,使 aead,連結(jié) ce,de那么 ace abd,ace bd, ace adb adc ade aed, dec edc,dedc

10、ce,即 dc bd dbc dcbbc三.練習(xí) 37精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1. 已知 a2. 已知 b=5 ,那么9 6a的值為3a2 、當(dāng) a3 時(shí), b 的取值范疇為a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3. 已知 a<0、且 ax2a就 x 的取值范疇為x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4. 四邊形 abcd中, ab=2, bc=4, cd=7,就 ad的適合范疇為5. 等邊 abc的邊長(zhǎng)為 1,點(diǎn) p 為三角形內(nèi)一點(diǎn)求證 1.5 papbpc 26. 已知梯形 abcd中, ab

11、cd,ad>bc, 求證 a< b7. 已知 abc中,三條角平分線ad,be,cf相交于一點(diǎn) o,作 ohbc于 h,求證 coh> cao8. 已知： ad,be,cf三條高相交于一點(diǎn)h,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證： 12adbecf1 bccaab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9. 已知： abc中, a>90 ,ab<ac,邊 ab, ac的中垂線,分別交bc于 d 和 e求證： bd<ce10 四邊形 abcd中, ab=cd, c>b,就 a> d11. 在 abc中, 如 ad為中線,就 da

12、c>dab 如 ad為角平分線,就ab+cd>ac+bd12. 已知： abc中 ab=ac,點(diǎn)這點(diǎn) p 為三角形內(nèi)的一點(diǎn), pbc> pcb求證： pab<pac apb> apc13. 已知： abc中 m為 bc的中點(diǎn), d,e 分別在 ab,ac上,dme=rt求證 ：bd+ce de14. abc中, ac2ab,就 b>2c15. 已知：正有理數(shù)a1 為3 . 的一個(gè)近似值,設(shè)a2=1+2a11求證 ：3 介于 a1 和 a2 之間提示：設(shè)3 > a 1證3 <a2 ；再設(shè)3 >a2證3 <a1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載練習(xí) 37 參考答案：1.兩邊乘以 6,再加上 9 得 96a 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.仿例 1,1 a<13. x>-24. 1<ad<133a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5. 由 pa+pb>ab、pb+pc>bc、pc+pa得>apca pbpc1.5過(guò)點(diǎn) p 作 efbc, aep afp ape, pa ae pbbeep, pccffp6. 作 ce ad交 a