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1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。(1)已知集合,則ab= (a) (b) (c) (d) 考點(diǎn):交集及其運(yùn)算分析:先解出集合b,再求兩集合的交集即可得出正確選項(xiàng)解答:解:a=2,0,2,b=x|x2x2=0=1,2,ab=2故選: b點(diǎn)評(píng):本題考查交的運(yùn)算,理解好交的定義是解答的關(guān)鍵(2) () (a) (b) (c) (d) 考點(diǎn):復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算分析:分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)1+i化簡(jiǎn)即可解答:解:化簡(jiǎn)可得=1+2i故選: b點(diǎn)評(píng):本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的化簡(jiǎn),分子分母同乘以
2、分母的共軛復(fù)數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題(3)函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)存在,若是的極值點(diǎn),則() (a)是的充分必要條件 (b)是的充分條件,但不是的必要條件 (c)是的必要條件,但不是 的充分條件 (d) 既不是的充分條件,也不是的必要條件考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論解答:函數(shù)f(x)=x3的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x2,由f(x0)=0,得x0=0,但此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,無(wú)極值,充分性不成立根據(jù)極值的定義和性質(zhì),若x=x0是f(x)的極值點(diǎn),則f(x0)=0成立,即必要性成立,故p是q
3、的必要條件,但不是q的充分條件,故選: c點(diǎn)評(píng):本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ)(4)設(shè)向量,滿足,則a·b= ()(a)1 (b) 2 (c)3 (d) 5考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算分析:將等式進(jìn)行平方,相加即可得到結(jié)論解答:|+|=,|=,分別平方得,+2+=10,2+=6,兩式相減得4=106=4,即=1,故選: a點(diǎn)評(píng):本題主要考查向量的基本運(yùn)算,利用平方進(jìn)行相加是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ)(5)等差數(shù)列的公差為2,若,成等比數(shù)列,則的前n項(xiàng)= () (a) (b) (c) (d) 考點(diǎn):等差數(shù)列的性質(zhì)分析:由題意可
4、得a42=(a44)(a4+8),解得a4可得a1,代入求和公式可得解答:由題意可得a42=a2a8,即a42=(a44)(a4+8),解得a4=8,a1=a43×2=2,sn=na1+d,=2n+×2=n(n+1),故選: a點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式,屬基礎(chǔ)題(6) 如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1cm),圖中粗線畫(huà)出的是某零件的三視圖,該零件由一個(gè)底面半徑為3cm,高為6c m的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為()(a) (b) (c) (d) 考點(diǎn):由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:由三視圖判斷幾何體的形狀,通
5、過(guò)三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可解答:幾何體是由兩個(gè)圓柱組成,一個(gè)是底面半徑為3高為2,一個(gè)是底面半徑為2,高為4,組合體體積是:322+224=34底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯的體積為:32×6=54切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為:=故選:c點(diǎn)評(píng):本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系,幾何體的體積的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力(7) 正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,d為bc中點(diǎn),則三棱錐的體積為()(a)3 (b) (c)1 (d)考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:由題意求出底面b1dc1的面積,求出a到底面的距離,即可求解三棱錐的體積解答:正三
6、棱柱abca1b1c1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,d為bc中點(diǎn),底面b1dc1的面積:=,a到底面的距離就是底面正三角形的高:三棱錐ab1dc1的體積為:=1故選:c點(diǎn)評(píng):本題考查幾何體的體積的求法,求解幾何體的底面面積與高是解題的關(guān)鍵(8)執(zhí)行右面的程序框圖,如果如果輸入的x,t均為2,則輸出的s= () (a)4 (b)5 (c)6 (d)7考點(diǎn):程序框圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:根據(jù)條件,依次運(yùn)行程序,即可得到結(jié)論解答:若x=t=2,則第一次循環(huán),12成立,則m=,s=2+3=5,k=2,第二次循環(huán),22成立,則m=,s=2+5=7,k=3,此時(shí)32不成立,輸出s=7,故選:d點(diǎn)評(píng):本題主要考查
7、程序框圖的識(shí)別和判斷,比較基礎(chǔ)(9)設(shè)x,y滿足的約束條件,則的最大值為() (a)8 (b)7 (c)2 (d)1考點(diǎn):簡(jiǎn)單線性規(guī)劃分析:作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識(shí),通過(guò)平移即可求z的最大值解答:作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,由z=x+2y,得y=,平移直線y=,由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)a時(shí),直線y=的截距最大,此時(shí)z最大由,得, 即a(3,2),此時(shí)z的最大值為z=3+2×2=7,故選:b點(diǎn)評(píng):本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法 (10)設(shè)f為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)f且傾斜角為的直線交于c于兩點(diǎn),則= () (a) (b)6 (c)12
8、 (d)考點(diǎn):拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)分析:求出焦點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)斜式求出直線的方程,代入拋物線的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,由弦長(zhǎng)公式求得|ab|解答:由y2=3x得其焦點(diǎn)f(,0),準(zhǔn)線方程為x=則過(guò)拋物線y2=3x的焦點(diǎn)f且傾斜角為30°的直線方程為y=tan30°(x)=(x)代入拋物線方程,消去y,得16x2168x+9=0設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2)則x1+x2=,所以|ab|=x1+x2+=+=12故答案為:12點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,運(yùn)用弦長(zhǎng)公式是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵(11)若函數(shù)在區(qū)間(1,+)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是
9、() (a) (b) (c) (d)考點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)分析:由題意可得,當(dāng)x1時(shí),f(x)=k0,故 k10,由此求得k的范圍解答:函數(shù)f(x)=kxlnx在區(qū)間(1,+)單調(diào)遞增,當(dāng)x1時(shí),f(x)=k0,k10,k1,故選:d點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題 (12)設(shè)點(diǎn),若在圓上存在點(diǎn)n,使得,則的取值范圍是() (a) (b) (c) (d) 考點(diǎn):直線和圓的方程的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論解答:由題意畫(huà)出圖形如圖:點(diǎn)m(x0,1),若在圓o:x2+y2=1上存在點(diǎn)n,使得omn=45°
10、;,圓上的點(diǎn)到mn的距離的最大值為1,要使mn=1,才能使得omn=45°,圖中m顯然不滿足題意,當(dāng)mn垂直x軸時(shí),滿足題意,x0的取值范圍是1,1故選:a點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓的位置關(guān)系,直線與直線設(shè)出角的求法,數(shù)形結(jié)合是快速解得本題的策略之一第卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題第21題為必考題,每個(gè)考試考生都必須做答。第22題第24題為選考題,考生根據(jù)要求做答。2、 填空題:本大題共4小題,每小題5分。(13)甲、已兩名元?jiǎng)訂T各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服種選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為_(kāi).考點(diǎn):相互獨(dú)立事件的概率乘法公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:所有的選
11、法共有3×3=9種,而他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的選法共有3種,由此求得他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率解答: 有的選法共有3×3=9種,而他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的選法共有3種,故他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為 =,故答案為:點(diǎn)評(píng):本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,屬于基礎(chǔ)題(14)函數(shù)的最大值為_(kāi).考點(diǎn):三角函數(shù)的最值分析:展開(kāi)兩角和的正弦,合并同類項(xiàng)后再用兩角差的正弦化簡(jiǎn),則答案可求解答:解:f(x)=sin(x+)2sincosx=sinxcos+cosxsin2sincosx=sinxcossincosx=sin(x)f(x)的最大值為1故答案為:1點(diǎn)評(píng):本題考查兩角
12、和與差的正弦,考查了正弦函數(shù)的值域,是基礎(chǔ)題(15)已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則_.考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的性質(zhì)專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析:根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的性質(zhì),得到f(x+4)=f(x),即可得到結(jié)論解答:解:因?yàn)榕己瘮?shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,所以f(2+x)=f(2x)=f(x2),即f(x+4)=f(x),則f(1)=f(1+4)=f(3)=3,故答案為:3點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,利用函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的性質(zhì)得到周期性f(x+4)=f(x)是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ)(16)數(shù)列滿足,則=_.考點(diǎn):數(shù)列遞推式分析:根據(jù)a8=2,令n=7代入遞推公式an+1=,求得
13、a7,再依次求出a6,a5的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,求出a1的值解答:由題意得,an+1=,a8=2,令n=7代入上式得,a8=,解得a7=;令n=6代入得,a7=,解得a6=1;令n=5代入得,a6=,解得a5=2;根據(jù)以上結(jié)果發(fā)現(xiàn),求得結(jié)果按2,1循環(huán),8÷3=22,故a1=故答案為:點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)列遞推公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,即給n具體的值代入后求數(shù)列的項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題3、 解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明過(guò)程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分)四邊形abcd的內(nèi)角與互補(bǔ),ab=1,bc=3, cd=da=2.()求和;()求四邊形abcd的面積。解:()由題設(shè)及余弦定理得 由,得,故()四邊
14、形的面積(18)(本小題滿分12分)如圖,四凌錐中,底面為矩形,面,為的中點(diǎn)。()證明:平面;()設(shè)置,三棱錐的體積,求a到平面pbd的距離。解: ()設(shè)bd與ac的交點(diǎn)為,連接因?yàn)閍bcd為矩形,所以為bd的中點(diǎn),又因?yàn)閑為pd的中點(diǎn),所以eo/pb平面,平面,所以平面()由題設(shè)知,可得做交于由題設(shè)知,所以,故,又所以到平面的距離為(19)(本小題滿分12分)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況,隨機(jī)訪問(wèn)了50位市民。根據(jù)這50位市民甲部門乙部門35 9440 4 4 89 751 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9 9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 060 1 1 2 3 4
15、6 8 8 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 070 0 1 1 3 4 4 9 6 6 5 5 2 0 081 2 3 3 4 5 6 3 2 2 2 090 1 1 4 5 6100 0 0 ()分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙部門評(píng)分的中位數(shù);()分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分做于90的概率;()根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)價(jià)。解:()由所給莖葉圖知,50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故樣本中位數(shù)為75,所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75.50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到
16、大排序,排在第25,26位的是66,68,故樣本中位數(shù)為,所以該市的市民對(duì)乙部門品分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.()由所給莖葉圖知,50位市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的比率分別為,故該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的概率的估計(jì)值分別為0.1,0.16.()由所給莖葉圖知,市民對(duì)甲部門的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的中位數(shù),而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差,說(shuō)明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致,對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差異較大(注:考生利用其他統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析,結(jié)論合理的同樣給分。)(20)(本小題滿分12分)設(shè)分別是橢圓:(a>b>
17、;0)的左右焦點(diǎn),m是上一點(diǎn)且與軸垂直,直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為n。()若直線mn的斜率為,求的離心率;()若直線mn在y軸上的截距為2且|mn|=5|f1n|,求a,b。解:()根據(jù)及題設(shè)知將代入,解得(舍去)故的離心率為()由題意,原點(diǎn)為的中點(diǎn),軸,所以直線與軸的交點(diǎn)是線段的中點(diǎn),故,即 由得設(shè),由題意知,則即代入的方程,得 將及代入得解得,故(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.()求a;()證明:當(dāng)時(shí),曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)。解:(),曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為由題設(shè)得,所以()由()知,設(shè)由題設(shè)知當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以在有唯一實(shí)根。當(dāng)時(shí),令,則 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以所以在沒(méi)有實(shí)根綜上在r由
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