反三角函數(shù)與最簡三角方程專題精選(知識(shí)總結(jié)與試題)

1、- 1 - 反三角函數(shù)與最簡三角方程專題1、反三角函數(shù)：概念： 把正弦函數(shù)sinyx，,22x時(shí)的反函數(shù)，成為反正弦函數(shù)，記作xyarcsin. sin ()yx xr，不存在反函數(shù). 含義 ：arcsin x表示一個(gè)角；角,22；sinx. 反余弦、反正切函數(shù)同理，性質(zhì)如下表. 其中： （1） 符號(hào) arcsinx可以理解為 2，2 上的一個(gè)角 ( 弧度 ) ，也可以理解為區(qū)間 2，2 上的一個(gè)實(shí)數(shù)；同樣符號(hào) arccosx可以理解為 0 ， 上的一個(gè)角 ( 弧度 ) ，也可以理解為區(qū)間0 ， 上的一個(gè)實(shí)數(shù)；（2） yarcsinx等價(jià)于 sinyx, y 2，2, yarccosx等價(jià)于

2、cosyx, x0, , 這兩個(gè)等價(jià)關(guān)系是解反三角函數(shù)問題的主要依據(jù)；（3） 恒等式 sin(arcsinx) x, x1, 1 , cos(arccosx) x, x 1, 1, arcsin(sinx) x, x 2，2, arccos(cosx) x, x0, 的運(yùn)用的條件；（4） 恒等式 arcsinxarccosx2, arctanxarccotx2的應(yīng)用。2、最簡單的三角方程方程方程的解集axsin1azkakxx,arcsin2|1azkakxxk,arcsin1|axcos1azkakxx,arccos2|名稱函數(shù)式定義域值域奇偶性單調(diào)性反正弦函數(shù)xyarcsin1 , 1增2

3、,2奇函數(shù)增函數(shù)反余弦函數(shù)xyarccos1 ,1減, 0 xxarccos)arccos(非奇非偶減函數(shù)反正切函數(shù)arctanyxr 增2,2奇函數(shù)增函數(shù)反余切函數(shù)cotyarcxr 減, 0cot()cotarcxarcx非奇非偶減函數(shù)- 2 - 1azkakxx,arccos2|tan xa|arctan ,x xka kzcot xa|cot ,x xkarca kz其中： （1） 含有未知數(shù)的三角函數(shù)的方程叫做三角方程。解三角方程就是確定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2） 解最簡單的三角方程是解簡單的三角方程的基礎(chǔ)，要在理解三角方程的基礎(chǔ)上，熟練地寫出最簡單的三角

4、方程的解；（3） 要熟悉同名三角函數(shù)相等時(shí)角度之間的關(guān)系在解三角方程中的作用；如：若sinsin，則sin( 1)kk；若coscos，則2k；若tantan，則ak；若cotcot，則ak；（4） 會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)思想進(jìn)行含有參數(shù)的三角方程的解的情況和討論?！纠}】例 1. 函數(shù)，的反函數(shù)為（）yxxsin232例 2.函數(shù)，的圖象為（）yxxarccos(cos)2222-2-2o 2o 2-2（a ）（ b）1 1 -2-2o 2o 2-1 （c）（ d）例 3.求值： (1)3sin 2arcsin5 (2)11tanarccos23例 4. 畫出下列函數(shù)的圖像（1）)arcs

5、in(sin xy函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)當(dāng)2,2x時(shí)，xx)arcsin(sin當(dāng)23,2x時(shí)，xx)arcsin(sin其圖像是折線，如圖所示：（2）1 , 1),sin(arccosxxy,0arccosxyx- 3 - )1(1)(arccoscos122xxxy其圖像為單位圓的上半圓（包括端點(diǎn)）如圖所示：例 5. 已知)23,(,135sin),2,0(,2572cos求（用反三角函數(shù)表示）例 6. 已知函數(shù)2( )arccos()f xxx（1）求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間；（2）解不等式：( )(21)f xfx簡單的三角方程例 1. 寫出下列三角方程的解集(1)2sin()

6、82x; (2)2cos310 x; (3)cot3x例 2. 求方程tan(3)34x在0,2上的解集 .例 3. 解方程22sin3cos10 xx例 4.解方程3sin2cos0 xx222sin3sincos2cos0 xxxx例 5. 解方程： (1)3sin 2cos21xx (2)5sin 312cos36.5xx例 6. 解方程22sin3cos0 xx例 7. 解方程：tan()tan()2cot44xxx例 8. 已知方程sin3cos0 xxa在區(qū)間0,2上有且只有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。例 9. 若方程cos22sin10 xxm存在實(shí)數(shù)解，求m的取值范圍例

7、10. 求方程sin2cos()xx的解集【鞏固練習(xí)】反三角函數(shù)1.3arctan(tan)5的值是 ( c ) a.35 b. 25 c.25 d.352. 下列關(guān)系式中正確的是 ( c ) a. 55cos cos44arc b. sin arcsin33- 4 - c. cos coscoscos44arcarc d.1tan( 2)cot()2arcarc3. 函數(shù)( )arcsin(tan )f xx的定義域是 ( b ) a.,4 4 b.,44kkkzc.,(1)44kkkz d.2,244kkkz4. 在31,2上和函數(shù)yx相同的函數(shù)是 ( b ) a.arccos(cos )

8、yx b.arcsin(sin )yx c.sin(arcsin)yx d.cos(arccos )yx5. 函數(shù)arctan2xy的反函數(shù)是 . 6. 求sinyx在3,22上的反函數(shù) . 7. 比較5arccos4與1cot()2arc的大小 . 51arccoscot()42arc8. 研究函數(shù)2arccosyxx的定義域、值域及單調(diào)性. 9. 計(jì)算 :45cos arccosarccos51310. 求下列函數(shù)的定義域和值域： (1) yarccosx1; (2) yarcsin(x2x); (3) yarccot(2x1), 11. 求函數(shù)y(arccosx)23arccosx的最值及相應(yīng)的x的值。- 5 - 簡單的三角方程1. 解下列方程 . (1)2tan1x (2)sin 5s