高考總復(fù)習(xí)之解析幾何提高講義及例題.doc

1、高中數(shù)學(xué)解析幾何公式 優(yōu)盟教育中心 數(shù)學(xué)教研組高中解析幾何提高講義 第一部分:直線第二部分：圓第三部分：離心率、軌跡方程和圓錐曲線的重要性質(zhì)(常見結(jié)論)第四部分：極坐標(biāo)與參數(shù)方程第五部分:圓錐曲線的綜合問題第一部分：直線（一）兩點式，點斜式，斜截式，一般式，截距式,第六種直線方程；（二)斜率與含參線性規(guī)劃問題;（三）點到直線的距離，平行線的距離,直線中的最值;（四）對稱的一般原理和特殊情況(）；（五）直線系問題：過兩交點的直線系；平行直線系；垂直直線系；(一）兩點式，點斜式，斜截式,一般式，截距式，第六種直線方程；基本解釋：（1）傾斜角：一直線向上的方向與軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾

2、斜角，范圍為.(2）斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是900時，稱其正切值為該直線的斜率，即。當(dāng)直線的傾斜角等于900時，直線的斜率不存在，然而很多解析幾何大題的最值問題偏偏是當(dāng)直線的斜率不存在的時候取得，用第六種直線方程很好的解決了這個問題，既能避免分類討論又可以簡化計算。（3）用截距式解題要注意防止由于“零截距”造成丟解的情況.當(dāng)出現(xiàn)“截距相等”“截距互為相反數(shù)”時容易丟解.（4）點斜式體現(xiàn)的方程思想（點和斜率代表兩個未知量），一般式溝通點到直線的距離,截距式與均值不等式有聯(lián)系.例1.直線經(jīng)過點，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，求直線的方程。解析:方法1：設(shè)所求直線的方程為，直線過點即.又由已知有即

3、，解方程組得：或故所求直線的方程為:或。即或解法2：設(shè)直線方程為，時時又，解得或點評：要求直線方程，已知一個點的前提下，用點斜式更方便思考,相當(dāng)于由已知條件構(gòu)造一個關(guān)于的方程。例2.與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有( ）A2條 B.3條 C。4條 D。6條解析：在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩類:直線過原點時，有兩條與已知圓相切；直線不過原點時，設(shè)其方程為，也有兩條與已知圓相切.選C例3若AB是過橢圓中心的弦,為橢圓的焦點，則面積的最大值為_解析：設(shè)AB方程為，代入橢圓方程得，。當(dāng)?shù)忍柍闪?。?.已知點A(2,3)，B(5，2)，若直線l過點P(1,6)，且與線段AB相交，則該直線傾斜

4、角的取值范圍是_解析:如圖所示,kPA1 直線PA的傾斜角為，kPB1 直線PB的傾斜角為，從而直線的傾斜角的范圍是點評：以為界，斜率都關(guān)于傾斜角單調(diào)遞增。例5.已知直線的傾斜角為,且0°135°，則直線的斜率取值范圍是_解析：以為界，對應(yīng)的斜率為,對應(yīng)的斜率為。（二）斜率與含參線性規(guī)劃問題；例1如左下圖，若滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)僅在點（1，0）處取得最小值，則的取值范圍是( ）A B C D 解析：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率非負時，需滿足，解得；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率為負時，需要滿足解得。綜上， 例2。已知平面區(qū)域D由以A(1,3）、B（5,2）、C（3，1）為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成

5、。若在區(qū)域D內(nèi)有無窮多個點可使目標(biāo)函數(shù)取得最小值,則（ ）A. B. C.1 D.4解析:由A（1，3）、B（5，2）、C（3,1）的坐標(biāo)畫右上圖（1）若，只有一個點為最小值，不合題意;（2)若，目標(biāo)函數(shù)的斜率為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與直線AC重合時有無窮多個點可使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，故；同時當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與直線AB重合時有無窮多個點可使目標(biāo)函數(shù)取得最大值.與題意矛盾，舍去.（3)若，目標(biāo)函數(shù)的斜率為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與直線BC重合時有無窮多個點可使目標(biāo)函數(shù)取得最大值.與題意矛盾，舍。綜上可知,。（三)點到直線的距離,平行線的距離,直線中的最值;（1）點到直線的距離設(shè),則到的距離例1。已知點A,B,C，求三角形A

6、BC的面積。解析：設(shè)AB邊上的高為，則，,AB邊上的高就是點C到AB的距離。AB邊所在直線方程為，即。，例2.求過點，且與原點的距離等于的直線方程解析:當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為,不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程為：即，由題意：，解得或所以所求直線方程為:或點評：本題設(shè)直線方程時一定要先考慮直線的斜率是否存在. （2）平行線的距離若，則：。例1。若直線與直線平行且距離為,求直線的方程解析：因為直線與平行，所以斜率相等，可以設(shè)直線為由題意可得,解得或者，所以所求直線方程為：或例2若直線被兩平行線與所截線段的長為，則直線的傾斜角可以是_（寫出所有正確答案的序號) 解析:兩平行線間的距離，故直

7、線與的夾角為,的傾斜角為，所以直線的傾斜角等于。答案是(3）直線中的最值.原理：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。例1.已知A(8,6）, B（2,2），在直線：上有點P,可使|PA|+PB|最小,則點P坐標(biāo)為（ )解析:點B關(guān)于直線的對稱點是C,連接AC交直線，交點即點P。直線AC方程是，聯(lián)立，解得點P例2。已知點A（1,3）, B(5,2），在軸上取點P,使PA|PB|最大，則點P坐標(biāo)為 解析：點B關(guān)于軸的對稱點C是，延長直線AC交軸，交點即點P.直線AC的方程是，于是點P為.例3.求函數(shù)y=+的最小值。解析：即軸上的點P(x，0）與兩定點A（0，3)、B（4,3)的距離之和，

8、y的最小值就是|PA+PB|的最小值.取A關(guān)于x軸的對稱點為C（0,3），則PA+PB|的最小值等于|BC|，即.所以（四）對稱的一般原理和特殊情況（）例1。求直線：關(guān)于直線l：對稱的直線的方程.解析:聯(lián)立直線和直線l解得交點E ，E點也在上。方法一：在直線：上找一點A（2，0）,設(shè)點A關(guān)于直線l：的對稱點B的坐標(biāo)為（x0,y0)，解得B.由兩點式得直線b的方程為，即方法二：設(shè)直線b上的動點P關(guān)于：的對稱點Q，則有解得Q（x0,y0）在直線：上，則，化簡得.點評:方法二即著名的設(shè)而不求。例2。曲線C：關(guān)于直線對稱的曲線的方程_解析:如果關(guān)于對稱的直線的斜率是，則可以直接用結(jié)論.以本題為例，點評

9、：凡是關(guān)于對稱的直線斜率為，直接代入即可。證明很簡單,略.例3。已知圓C與圓關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為( ）A. B。 C. D. 解析：由得到 選C補充練習(xí)：已知圓：，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為_例4.已知點M，在直線：和y軸上各找一點P和Q，使MPQ的周長最小。解析：可求得點M關(guān)于的對稱點M1，同樣容易求得點M關(guān)于y軸的對稱點M2。由M1及M2兩點可得到直線M1M2的方程為令，得到M1M2與軸的交點Q 解方程組得交點P 故點P、Q即為所求.例5。已知動圓過定點，且與直線相切，其中.（I）求動圓圓心的軌跡的方程；(II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和,當(dāng)

10、變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)解析：（I）如圖，設(shè)為動圓圓心，記為，過點作直線的垂線,垂足為,由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等,由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準(zhǔn)線,所以軌跡方程為(II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達定理知（1）當(dāng)時，即時，所以,所以由知:所以直線可表示為，即,所以直線恒過定點（2）當(dāng)時，由得=將式代入上式整理化簡可得:，所以，此時直線的方程可表示為即所以直線恒過定點所以由（1)（2）知，當(dāng)時，直線恒過定點，當(dāng)時直線恒過定點(五）直線系問題：過兩交點的直線系；平行直線系；

11、垂直直線系.（1）兩條直線的方程分別為、在直線都有斜率的條件下，平行的充要條件是(2)兩條直線的方程分別為、，則兩直線垂直的充要條件是（3）設(shè)直線,，經(jīng)過的交點的直線方程為（除去）；注意：可以推廣到過曲線與的交點的方程為：。例1。對于兩條直線下列說法中不正確的是（ ） A若，則 B若,則 C若，則 D若，則解析:A選項兩條直線可能重合，不正確。選A例2。求過直線：與直線：的交點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.解析:設(shè)所求直線方程為：，當(dāng)直線過原點時，則=0，則=1，此時所求直線方程為：；當(dāng)所求直線不過原點時,令=0，解得=，令=0，解得=，由題意得，=，解得，此時，所求直線方程為：.綜上所述

12、，所求直線方程為：或。例2。已知圓C：及直線求證:無論為任何實數(shù)，直線恒與圓C相交.證明：由易證直線過定點M，且,即點M在圓C內(nèi)，點M又在直線上,故不論為任何實數(shù)，直線與圓C相交。例3。求證:無論為何值，直線與點P的距離都小于4證明：將直線方程按參數(shù)整理得，易得直線恒過定點M，求得|PM|，所以。而過點M且垂直PM的直線方程為又無論為何值,題設(shè)直線系方程都不可能表示直線 第二部分：圓（一）圓的方程；（二)點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；(三)圓的性質(zhì)：單位圓，切線方程，圓系；（一）圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程與一般式其實都是三個未知數(shù)，參數(shù)方程更多考小題，以某線段為直徑的圓的方程經(jīng)常出現(xiàn)在大題中。（1

13、）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2)一般式：(3）以線段為直徑的圓的方程：設(shè)線段AB的端點分別是AB，則以線段AB為直徑的圓的方程是：（4）圓的參數(shù)方程：例1.求與軸相切，圓心在直線上,且被直線截得的弦長等于的圓的方程。解析:因圓心在直線上,故可設(shè)圓心為.又圓與軸相切,，此時可設(shè)圓方程為又圓被直線截得的弦長為。考慮由圓半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形，弦心距 ，解得當(dāng)時，圓方程為當(dāng)時，圓方程為例2。求經(jīng)過兩已知圓和的交點，且圓心在直線：上的圓的方程.解析：設(shè)所求圓的方程為:即，圓心為C又C在直線上,，解得，代入所設(shè)圓的方程得例3已知ABC的三個項點坐標(biāo)分別是A，B ，C ，求ABC外接圓的方程.解析：設(shè)圓的

14、方程為將三點A,B ，C 分別代入圓的方程得到: 解得所以，圓的方程是.例4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.(1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2)設(shè)P為平面上的點,滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線,它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).解析：（1）直線的斜率肯定存在，設(shè)直線方程是,由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形算出斜率即可.或，故直線方程是(2）方法1：設(shè)點P坐標(biāo)為,直線、的方程分別為： ，即:因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,且兩圓半徑相等。故圓心到直線的距離與直線的距離相等。 即：

15、，即或化簡得：或關(guān)于的方程有無窮多解當(dāng)且僅當(dāng)或解之得：點P坐標(biāo)為或。方法2：點P在C1C2中垂線上，且與圓C1、圓C2構(gòu)成等腰直角三角形，設(shè)P點坐標(biāo)為計算可得點P為或例6.若直線與曲線有公共點,則的取值范圍是（ ）A。 B. C。 D。解析:曲線方程可化簡為，即表示圓心為半徑為的半圓，依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線與此半圓相切時須滿足圓心到直線距離等于，解得，因為是下半圓故（舍）。當(dāng)直線過時，解得，故例7。已知直線及,求它們所圍成的三角形的外接圓方程。解析：因為直線與的斜率分別為和，所以兩條直線互相垂直，即此三角形為直角三角形.由及，可求得直角三角形的斜邊所在的兩個頂點分別為。故所求三角形的外接圓即為以

16、A（2，2）和B（8，8）為直徑端點的圓,其方程為，化簡即例8.在直角坐標(biāo)系中,以為圓心的圓與直線相切（1)求圓的方程;(2）圓與軸相交于兩點,圓內(nèi)的動點使成等比數(shù)列，求的取值范圍解:（1)設(shè)圓的半徑為，等于原點到直線的距離，即得圓的方程為（2）不妨設(shè)由即得設(shè)，由成等比數(shù)列,得，即由于點在圓內(nèi),故 由此得所以的取值范圍為例9。已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標(biāo)原點,向量，滿足.設(shè)圓的方程為(I）證明線段是圓的直徑(II)當(dāng)圓的圓心到直線距離的最小值為時，求P的值。解析：（I）證明1：整理得設(shè)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則即整理得:,故線段是圓的直徑。(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為,則

17、又因 所以圓心的軌跡方程為.設(shè)圓心C到直線的距離為,則當(dāng)時，有最小值,由題設(shè)得。解法2：同解法1求得圓心的軌跡方程為設(shè)直線到直線的距離為，則因為與無公共點，所以當(dāng)與有且僅有一個公共點時，該點到直線距離的最小值為.故 消去得 點評：平面向量只起到敘述條件的作用，主要是方程思想的考察.（二）點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系主要是判斷點在圓上,圓內(nèi)還是圓外;直線與圓基本上是考慮圓心到直線的距離與半徑大小的比較；兩圓相交,兩圓作差即交線所在的直線方程，由圓心距來判斷圓與圓的位置關(guān)系.例1。已知圓及直線.當(dāng)直線被截得的弦長為時，則（ ）A B C D解析:圓心到直線的距離等于半徑，解得

18、例2。設(shè)直線與圓相交于P、Q兩點，O為坐標(biāo)原點，若,求的值。解析：圓過原點，并且，是圓的直徑，圓心的坐標(biāo)為，又在直線上，評注：注意運用題中的幾何性質(zhì)。例3.已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形的面積的最大值為 解析：設(shè)圓心到的距離分別為，則四邊形的面積例4.已知圓的方程為設(shè)該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為( ）A. B C D解析:圓心坐標(biāo)是，半徑是,圓心到點的距離為,根據(jù)題意最短弦和最長弦（即圓的直徑)垂直,故最短弦的長為，所以四邊形的面積為。例5。點A是圓C: 上任意一點,A關(guān)于直線的對稱點也在圓C上，則實數(shù)的值為_解析：圓心在直線上，于是例6。已知直線（是非零

19、常數(shù)）與圓有公共點，且公共點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（ ）A 60條 B 66條 C 72條 D 78條解析:直線的斜率存在且不等于0，同時直線不過原點;在圓上橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點有共12個.直線與圓的交點可能為一個，這時候是過這12個點的切線方程，但要舍去4個與坐標(biāo)軸平行的切線；當(dāng)有兩個交點的時候，有,去掉過原點的4條，去掉10條與坐標(biāo)軸平行的.故一共60條.例7。已知圓：,圓：當(dāng)為何值時:(1)圓與圓外切；（2）圓與圓內(nèi)含。解析：圓即，圓即（1）如果圓與圓，則有解得或（2）如果圓與圓內(nèi)含，則有,解得例8。在平面直角坐標(biāo)系中,過定點作直線與拋物線（）相交于兩點.(1）若點

20、是點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，求面積的最小值；（2)是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在,求出的方程；若不存在，說明理由.解析：（1)點的坐標(biāo)為，設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得 于是，當(dāng)時，（2)假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將代入得，設(shè)直線與以為直徑的圓的交點為,則有令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線(三)圓的性質(zhì)：單位圓，切線方程,圓系；（1）若點在圓上,則過點點的切線方程為:；若點在圓上,則過點點的切線方程為:若點在圓在上，則過點點的切線方程為:；(2）經(jīng)過兩個圓與的交點的圓系方程是，當(dāng)時

21、,表示過兩個圓交點的直線，換句話說,兩相交圓作差得到相交直線的方程；（3）經(jīng)過直線與圓的交點的圓系方程是；（4）圓系：設(shè)O1:，O2: 兩圓相交于A、B兩點，兩圓作差即公共弦所在直線方程.經(jīng)過兩圓的交點的圓系方程為（不包括O2方程）例1。已知圓：和點，則過A且與圓相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于 解析：先判斷點在圓上，故切線方程是，從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和，所以所求面積為例2。若圓與圓的公共弦長為,則解析：兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為，利用圓心到直線的距離及，解得例3。已知兩圓和相交于兩點，則直線的方程是_解析：兩圓作差即可?；喌美?.已知兩點P ，Q ，

22、則的最大值為( ）A B C 4 D不存在解析：P、Q是單位圓上的兩點，故最大值是直徑。選B例5.已知圓M：，直線：，下面四個命題：A對任意實數(shù)與，直線和圓M相切；B對任意實數(shù)與,直線和圓M有公共點；C對任意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線與圓M相切；D對任意實數(shù),必存在實數(shù),使得直線與圓M相切。其中真命題的代號是_（寫出所有真命題的代號)解析：圓M即以單位圓上任意一點為圓心,半徑為1的動圓。且圓M和直線都過原點.故A錯,B對。當(dāng)動圓運動到以為圓心的時候，與圓M相切的直線是軸，此時斜率不存在，故C錯，D對。例6.設(shè)直線系，對于下列四個命題：中所有直線均經(jīng)過一個定點 存在定點不在中的任一條直線上對于任

23、意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號是 （寫出所有真命題的代號)解析：直線系即單位圓的切線方程系向上平移兩個單位.故A錯，B對,且中的任一條直線上都不過圓內(nèi)的點，C對，正三邊形，正方形，正六邊形都可以輕松畫圖得到，D錯，因為所有直線能圍成無數(shù)大小不一的正三角形。第三部分:離心率、軌跡方程和圓錐曲線的重要性質(zhì)（常見結(jié)論）(一）離心率(二)軌跡方程(三）橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)（四）拋物線的幾何性質(zhì)（一）離心率總論：解決與離心率相關(guān)的題，一個是找到的關(guān)系,另外就是平面幾何圖形數(shù)量關(guān)系的代數(shù)化,不管是求離心率，還是離心率的取值范圍,本質(zhì)上都是一樣

24、的，即解一元方程或一元不等式。POF1F2例1、如圖，橢圓內(nèi)有一個正六邊形，是焦點，其余四個點在橢圓上，求橢圓的離心率.解析：連接，設(shè)，由正六邊形的性質(zhì)知，為直角三角形,，例2.如上圖，在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的焦距為,以為圓心，為半徑作圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 解析：過點作圓的兩切線互相垂直，說明是等腰直接三角形，即圓心到點的距離等于圓的半徑的倍,即，故例3。橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且,求離心率的取值范圍解析：橢圓的焦三角形中,當(dāng)點位于上下頂點時，取得最大值,依題意知:例4。過雙曲線的右頂點作斜率為的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為若，則雙曲線的離心率是(

25、)網(wǎng) A B C D解析：由題意知直線方程為，直線與兩漸近線的交點為B,C，則有,因例5。已知雙曲線的左、右焦點分別為，若雙曲線上存在一點使,則該雙曲線的離心率的取值范圍是 解析：在中，由正弦定理得，結(jié)合已知得。且，代入化簡得到，即，因為，解得例6.若雙曲線的右支上到原點和右焦點距離相等的點有兩個,則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A. B。 C。 D。解析：由題意,原點和右焦點的中垂線要在右頂點的右邊,即,故。例7.斜率為的直線過中心在原點，焦點在軸上的雙曲線的右焦點，與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率的范圍是（ ）A。 B。 C。 D。解析：設(shè)雙曲線為，當(dāng)直線與漸進線平行

26、時與雙曲線只有一個交點；若，直線與雙曲線的右支有兩個交點;若，直線與雙曲線的兩支各一個交點。題意知：。例8。已知梯形ABCD中，點E滿足，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點,當(dāng)時，求雙曲線離心率的A O B DCE取值范圍.解析：如圖建立坐標(biāo)系，這時CD軸，因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于軸對稱。依題意,記，,其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高。由，即得:, 設(shè)雙曲線的方程為，離心率由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線的方程得：消去整理得。由已知得，解得.所以雙曲線的離心率的取值范圍是。（二）軌跡方程主要介紹求軌跡方程的幾種基本方法直接計

27、算、定義、設(shè)而不求、參數(shù)等。難點主要有兩個：一是取值范圍的界定，解決方法注意直線斜率的討論和代數(shù)式的范圍的界定（理解為函數(shù)的定義域）；二是抽象代數(shù)式計算的把握。除了最簡單的與各圓錐曲線定義相關(guān)的軌跡方程的題外，其它所有的解題方法無一例外是考代數(shù)式的計算能力。NOAMlBP例1.如圖，已知圓的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點,線段AN的垂直平分線為，垂足B，交MA于點P.則（1）點B的軌跡方程是_；（2)點P的軌跡方程是_.解析：（1)設(shè)，（2）,故P點的軌跡方程是橢圓例2已知，求圓心的軌跡方程。解析：由,當(dāng)且僅當(dāng)時，即時,方程表示一個圓。設(shè)圓心坐標(biāo)為，則。消參數(shù),為所求圓心軌跡方程。點評：簡單的判斷

28、定義域，簡單的消參求軌跡方程.例3.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點,是雙曲線上不同的兩個動點。求直線與交點的軌跡的方程.解析：方法1由已知。由為雙曲線的左右頂點知：設(shè)直線，解得代入化簡得到.及知且，綜上的方程是（且)方法2：由為雙曲線的左右頂點知：設(shè)直線，兩式相乘，因為點在雙曲線上，所以,即，故，所以，即直線與交點的軌跡的方程為.點評:方法1和方法2都是設(shè)而不求,方法1更傳統(tǒng)，且方便求得自變量的取值范圍;方法2不易被學(xué)生掌握，且不方便求得自變量的取值范圍。例4.已知橢圓，通過點引一弦，使弦在這點被平分，求弦所在直線方程。解析：與中點有關(guān)的題首選點差法，在橢圓任取兩點作差得到，把中點代入得0即

29、。從而直線方程是。點評：點差法的本質(zhì)還是兩點確定一條直線，此題將橢圓變?yōu)殡p曲線、拋物線都是同一方法。例5.如圖，P是拋物線C：上一點,直線過點P且與拋物線C交于另一點Q。若直線與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程;解析：設(shè)依題意知.由得，過點P的切線的斜率為，直線的斜率直線的方程為，由得則將上式代入并整理，得PQ中點為M的軌跡方程為例6。已知雙曲線方程。過點的直線與雙曲線交于兩點及，求線段的中點P的軌跡方程。解析:設(shè)，代入方程得,.兩式相減得。設(shè)中點，將,代入，當(dāng)時得.又，代入得.當(dāng)弦斜率不存在時，其中點的坐標(biāo)也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是即.例7.(北京）在平面直角坐標(biāo)系中,點

30、B與點關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于。求動點P的軌跡方程；解析：因點B與關(guān)于原點對稱，得B點坐標(biāo)為。設(shè)點的坐標(biāo)為顯然,由題意知，化簡得。即動點的軌跡方程為.例8。如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.求APB的重心G的軌跡方程。解析：設(shè)切點A、B坐標(biāo)分別為和，切線AP的方程為:,切線BP的方程為:解得P點的坐標(biāo)為：.所以APB的重心G的坐標(biāo)為所以，由點P在直線上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：即例9.設(shè)橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足，點N的坐標(biāo)為，當(dāng)繞點M旋

31、轉(zhuǎn)時,求:（1)動點P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以 作差得即當(dāng)時有即當(dāng)時,點A、B的坐標(biāo)為、，這時點P的坐標(biāo)是原點，也滿足方程,所以點P的軌跡方程為即(2)解：由點P的軌跡方程知所以故當(dāng)，取得最小值，最小值為時,取得最大值，大值為 點評:第一問向量只起到敘述條件的作用，顯然A、B、P、M四點共線,P為AB中點.點差法.第二問考慮自變量的范圍和消元意識.與立體幾何相關(guān)的軌跡:例10.平面的斜線交于點，過定點的動直線與垂直,且交于點，則動點的軌跡是( ）A一條直線 B一個圓 C一個橢圓 D雙曲線的一支解析：動直線的集合即過且與直線垂直的平面，平面與平

32、面的交線即動點的軌跡.選A.例11.AB是平面的斜線段，A為斜足,若點P在平面內(nèi)運動，使得ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（ ）A圓 B橢圓 C一條直線 D兩條平行直線解析：ABP的面積為定值,線段AB是定長,所以點P到直線AB的距離為定值，所以點P在以AB為軸半徑為的圓柱側(cè)面上，因為AB是平面的斜線段，所以點P的軌跡是橢圓。（三）橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)橢圓雙曲線切線方程(注意結(jié)合圓的切線方程一起理解）若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.若在雙曲線上，則過的雙曲線的切線方程是焦點三角形 (點與短軸端點重合時取最大值） 對偶性質(zhì)1。橢圓的兩個頂點為,，與軸平行的直線交橢圓于時，與交點的軌跡方程

33、是。2。過橢圓上任一點作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且1.雙曲線的兩個頂點為,，與軸平行的直線交雙曲線于時,與交點的軌跡方程是。2.過雙曲線上任一點作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且證明如下：(1）若在橢圓上,則過的橢圓的切線方程是。證明：求導(dǎo)可得: 切線方程： （2）若在雙曲線上,則過的雙曲線的切線方程是.證明：求導(dǎo)可得：，切線方程（3）橢圓的左右焦點分別為，點P為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則； 證明:設(shè)，則。由余弦定理,.（4)雙曲線的左右焦點分別為，點P為雙曲線上異于頂點任意一點，,則;.證明:設(shè)，,（5）橢圓的兩個頂點為,，與

34、軸平行的直線交橢圓于時，與交點的軌跡方程是.證明：設(shè)交點，,，又即（6)雙曲線的兩個頂點為,與軸平行的直線交雙曲線于時，與交點的軌跡方程是證明：設(shè)交點，又，即（7）過橢圓上任一點作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且證明：設(shè)兩直線與橢圓交于點。由題意得 ，展開 得：（定值）(8）過雙曲線上任一點作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B，C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.證明：設(shè)兩直線與雙曲線交于點，則由題意得展開F1 O F2 TMP（定值）例1。如圖，從雙曲線的左焦點F1引圓的切線，切點為T，延長F1T交雙曲線右支于P點。設(shè)M為線段F1P的中點，O為坐標(biāo)原點.則=_；=_解

35、析：例2.若直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C。 D。 解析：焦點在軸上；直線恒過，故例3。已知直線和雙曲線及其漸近線的交點從左到右依次為A、B、C、D.求證：。證明：設(shè)，AD中點為,先考慮不過原點且與軸不垂直的情況，設(shè)直線的斜率為，則 -得 設(shè)中點為,則 得 由、知、均在直線上，而、又在直線上，即、分別位于兩條不同的直線上，故、為兩直線的交點，即、重合。若過原點，則B、C重合于原點,命題成立;若與軸垂直，則由對稱性知命題成立；若不過原點且與軸不垂直，則與重合.例4已知雙曲線和,一條直線順次與它們相交于A、B、C、D四點,試證。證明：設(shè)直線方程為，代入雙曲

36、線方程弦中點坐標(biāo)與無關(guān)與也無關(guān)與無關(guān)，同理視作的特殊情況，弦中點坐標(biāo)也是且即故例5.已知橢圓和（），一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，試證。證明：設(shè)直線方程為，弦中點坐標(biāo)與無關(guān)。與也無關(guān) 中點與無關(guān)同理視作的特殊情況，弦中點坐標(biāo)也是且即故點評：例3，例4，例5都是證明同一條直線上的四點之間的數(shù)量關(guān)系，本質(zhì)上結(jié)合弦長公式即證明。反過來聯(lián)立直線和圓錐曲線算中點坐標(biāo).例6.以知F是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為 解析：左焦點轉(zhuǎn)化到右焦點,利用三角形兩邊之和大于第三邊輕松求解.設(shè)右焦點，例7.已知點在圓上移動，點在橢圓上移動，求的最大值.解析:取最值一定過圓的圓心，,設(shè),則

37、例8。是雙曲線的右支上一點，分別是圓和上的點,則的最大值為（ ）A 6 B 7 C 8 D 9解析:設(shè)雙曲線的兩個焦點分別是與,這兩點正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點與三點共線以及與三點共線時所求的值最大，此時.（四）拋物線的幾何性質(zhì)（1)拋物線上一點處的切線方程是（2）過拋物線焦點的直線與拋物線交于和兩點,有以下性質(zhì)：1。,；2.；3.證明如下：1。設(shè)直線的方程是，代入整理得2和3。設(shè)直線AB的傾斜角為(不妨設(shè)），過作垂直準(zhǔn)線與則 同理可得當(dāng)時是通徑，由知,通徑是所有焦點弦中最短的.例1.直線與拋物線只有一個公共點，則的值為_解析：考慮與對稱軸平行的直線以及相切的情況.容易解得或例2。點A為定點

38、，點F是拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，若取得最小值，求點P的坐標(biāo)。解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè)到準(zhǔn)線的距離為,則=。要使取得最小值，由圖3可知過A點的直線與準(zhǔn)線垂直時,取得最小值,把代入，得。OAPxyB例3。如圖，過拋物線上一定點（），作兩條直線分別交拋物線于，.（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點到其焦點的距離；（2）當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補時，求的值,并證明直線的斜率是非零常數(shù)。解析：（1）當(dāng)時,，又拋物線的準(zhǔn)線方程為.由拋物線定義得，所求距離為。（2）設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為,顯然 由，相減得.故。同理可得. 由PA，PB傾斜角互補知，即,所以 故。設(shè)直線AB的斜率為，由，

39、相減得,所以。將代入得，所以是非零常數(shù)。第四部分：極坐標(biāo)與參數(shù)方程直線過點的參數(shù)方程：圓的參數(shù)方程：橢圓的參數(shù)方程：（為參數(shù))雙曲線的參數(shù)方程： （為參數(shù)）拋物線的參數(shù)方程：或（為參數(shù)，例1。在橢圓上求一點M，使點M到直線的距離最小，并求出最小距離解析：由橢圓參數(shù)方程可設(shè)點M的坐標(biāo)為，則點M到直線的距離為 故點M到直線的最小距離是本題也可作平行線用算最值.例2。已知橢圓，為坐標(biāo)原點，為橢圓上兩動點，且.試證：（1)(2）的最小值為(3）的最小值是解析：將代入化簡得設(shè)（1)（2）（3)例3.已知雙曲線，為坐標(biāo)原點，為雙曲線上兩動點，且。試證：(1)（2）的最小值為(3）的最小值是解析：將代入,有

40、.設(shè) （1)（2）（3)例4.過點引傾斜角為的直線交拋物線于、兩點，若成等比數(shù)列,求的值。解析：設(shè)直線的參數(shù)方程為代入得，由參數(shù)的幾何意義，得,，根據(jù)題意得，于是即,又,得。例5。過雙曲線的右焦點作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點，則的值為_解析：設(shè)直線的參數(shù)方程為代入得到，則第五部分：圓錐曲線的綜合問題向量的作用：敘述條件;最值：通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式求最值；定值問題：通常結(jié)合代數(shù)式的計算化簡后用待定系數(shù)做；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式聯(lián)立方程；猜想探索題型特殊化算值,然后是代數(shù)式的推導(dǎo)；存在性問題與恒成立問題基本方向是轉(zhuǎn)化到函數(shù).所有一切的核

41、心是計算。什么叫簡化計算？就是合理的把題目中的條件用最科學(xué)的方程呈現(xiàn)。方程思想是王道和核心.弦長公式例1.設(shè)斜率為1的直線與橢圓相交于不同的兩點A、B,則使為整數(shù)的直線共有（ ）A。4條 B.5條 C。6條 D。7條 答案：C解析：設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓得到，因為 要為整數(shù)，注意可以取正負，共6條直線滿足條件.AF2xyBO例2.已知橢圓的右焦點為,是橢圓上的點，求直線的斜率.解析：一個方程解一個未知數(shù)，設(shè)直線斜率可以,兩點算斜率也可以。方法1:設(shè),直線的方程為，由得，所以，由得是這個方程的兩個根，所以，由，可解得，,代入得，即，所以.方法2：設(shè)，由得,聯(lián)立 與解得，,所以.例3。已知拋物線上

42、存在關(guān)于直線對稱的相異兩點，求P的取值范圍。解析：設(shè)拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點是，設(shè)直線的方程為代入拋物線方程得：.則，則的中點P的坐標(biāo)為.因為點P在直線上，所以，即。相異兩點,將代入解得:例4.已知橢圓的方程，試確定的取值范圍，使得對于直線,橢圓上有不同兩點關(guān)于直線對稱.解析:橢圓上兩點，代入橢圓方程，相減得。又,，代入得。由解得交點,交點在橢圓內(nèi)，則有得.例5.橢圓的離心率為,長軸端點與短軸端點間的距離為（1)求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，為坐標(biāo)原點,若為直角三角形，求直線的斜率.解析：（1)，,又，解得,橢圓的方程為.（2)根據(jù)題意，過點滿足題意的直線斜率存在,設(shè)，由得解得.設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，（)當(dāng)為直角時，即結(jié)合得到即，解得.（）當(dāng)或為直角時，不妨設(shè)為直角，則,即，化簡得，又,將代入消去得，解得或（舍去）,將代入，得，所以, 綜上，的值為和。例6.已知橢圓的中心在原點，焦點為,離心率。(1)求橢圓的方程；(2)直線（與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同