數(shù)學模型課件節(jié)水洗衣機問題

1、第十四章賽題選講14.1 節(jié)水洗衣機問題問題（ cumcm1996 b題）我國淡水量有限，節(jié)約用水人人有責，洗衣在家庭用水中占有相當大的份額，目前洗衣機已非常普及，節(jié)約洗衣機用水十分重要，假設在放入衣物和洗滌劑后洗衣機的運行過程為：加水漂水脫水加水漂洗脫水 加水漂洗脫水（稱“加水漂水脫水”為運行一輪）。請為洗衣機設計一種程序， 確定洗滌輪數(shù)以及每一輪的加水量等，使得在滿足一定洗劑效果的條件下， 總的用水量達最少。 選用合理的數(shù)據(jù)進行計算， 對照目前常用的洗衣機的運行情況，對你的模型和結果做出評價。一模型假設1衣物有相同的質(zhì)地，0為一僅與布料有關的參數(shù)， 表示衣服布料的親水性，即在普通的空氣濕度

2、、布料被充分浸濕的前提下，再經(jīng)一定強度（洗衣機）下充分脫水后，（衣物濕重- 衣物干重） / 衣物干重；2假設在放入衣物和洗滌劑（有害物）后洗衣機的運行過程為：加水漂水脫水加水漂洗脫水加水漂洗脫水，即除了首輪洗滌外，不再投放洗滌劑，且洗滌劑的一次投放量足夠多，在首輪洗滌過程中，洗滌劑以及衣物上附著的污物可以得到充分溶解；3w為待洗衣物的（干）重量，所附著污物的質(zhì)量可以忽略，0d為投放洗滌劑的重量， 而).1(ntdt表示經(jīng)連續(xù) t輪洗滌后，殘留在衣物中洗滌劑的量，n表示總的洗滌輪數(shù)；40c為清潔衣物的健康指標， 表示在單位重量的衣物中存留的洗滌劑量的上限，即只有在0/cwdn，方才達到洗滌要求。

3、51vw、).2(ntvt分別表示在首輪、第).2(ntt輪洗滌時的加水量；maxmin,vv分別表示最小、最大加水量，即).1(maxminntvvvt；6經(jīng)每輪洗滌，洗滌劑在水中和衣物中的分配可達到平衡，即經(jīng)充分漂洗；這里假設經(jīng)連續(xù)t輪洗滌后，殘留在衣物中洗滌劑的量td相當于1td完全均勻地溶于tvw，經(jīng)脫水將溶于w的部分殘留在衣物中。二模型建立 ：nnntvvvcwvwwvwwvwwdtsvwmintnntt.1.maxmin02101nnntvvvcwvwwdtsvmintnttntt.1.maxmin0101記w1，000dwcc，則模型可表示為：nnntvvvcvtsvmintnt

4、tntt.111.maxmin011nnntvvvcvtsvmintnttntt.1/1)1(.maxmin011三模型求解定理：在總用水量wv*一定的條件下，平均分配每次加水量，實現(xiàn)的洗滌效果最好。即nvvvvn/.*21為最優(yōu)化問題ntttnttvvvvvvmax1*maxmin1,0)1 (的解。證明：1）若).1(maxminntvvvt，必有max1*minvnvnvvntt，即nvvvvn/.*21為該最優(yōu)化問題的一個可行解；2）0,0tv，0)1(tv；又*1vvntt，vnvntt11； 根據(jù)在算術平均數(shù)一定的有些個正實數(shù)變量，當且僅當它們相等時，它們的幾何平均數(shù)最大，可得本定

5、理結論。因此，本文模型的求解歸結為求解：nnvvvcvtsvnminnmaxmin0/1)1(.顯然，當maxvv需要的洗滌輪數(shù)最少：)1ln(/lnmax0minvct； 當minvv需要的洗滌輪數(shù)最多：)1ln(/lnmin0maxvct（x表示對x上取整）。因此就1,.,1,maxminmintttn， 必 對 應 解 ：1/10ncv， 相 應 的 用 水 量 為1/10ncnvn，而maxtn對應的用水量為maxmintv，從中取最小。四結果分析以下幾個表是直接從當年競賽優(yōu)秀論文中摘抄的，我們在學習其在處理類似問題所采用的形式之余， 同時也應當注意到這種方式以及相應結果的不足對于本例

6、，采用解析的方式加以討論將更加簡潔并可得到更為深入的結果。1）表一：洗滌劑添加量0d的變化對結果的影響，這里3wkg，301005.0c，56.0/1，)40,25(,maxminvv升。0d（克）輪數(shù)（次）每輪用水量（升）總用水量（升）20 3 25 75 25 3 25 75 30 3 26 78 35 3 28 84 40 3 30 90 45 3 31 93 結論： 在其它條件一定的情況下，洗滌劑添加量越少越省水；2）表二：衣物親（吸）水性系數(shù)/1的變化對結果的影響，這里3wkg，301005.0c，300dg，)40,20(,maxminvv升。輪數(shù)（次）每輪用水量（升）總用水量（升

7、）輪數(shù)（次）每輪用水量（升）總用水量（升）0.03 5 20 100 0.60 3 25 75 0.35 4 24 96 0.65 3 23 69 0.40 4 21 84 0.70 3 21 63 0.45 4 20 80 0.75 3 20 60 0.50 4 20 80 0.80 3 20 60 0.55 4 20 80 結論：在其它條件一定的情況下， 親水性越小越省水 （洗滌劑的洗滌效果越大越省水）；3）表三：衣物重量w的變化對結果的影響，這里，301005.0c，300dg，56. 0/1，)40,20(,maxminvv升。w （千克）輪數(shù)（次）每輪用水量（升）總用水量（升） 單位質(zhì)量衣物平均總用水量（升）1 3 20 60 60 2 3 21 63 31.5 3 3 26 78 26 4 4 20 80 20 5 4 21 84 16.8 結論：在其它條件一定的情況下，衣物越多越廢水（衣物集中在一起洗）。五討論（不考慮加水有上下界的限制）：1）用水量為1/10ncnvn，視n為連續(xù)變量，考慮100cfx_d=x*i1?0.05x-1m;plotfxd,8x, 1,100 d;20406080100681012?xfxd-1+0.05-1?x-2.995730.05-1?xxlimitf