(完整word版)全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽金牌教練高中奧數(shù)輔導(dǎo)：聯(lián)賽訓(xùn)練之集合函數(shù)不等式

1、1全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽金牌教練員講座蘭州一中數(shù)學(xué)組第十一講: 聯(lián)賽訓(xùn)練之集合 函數(shù) 不等式一,基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)引,集合1,集合的性質(zhì)集合中的元素是確實(shí)的，互異的，無序的.2,集合的表示方法列舉法：如1,2,3,4描述法：如S x P(x).3,集合的元素個(gè)數(shù)有限集合 A 的元素個(gè)數(shù)記作A，我們有下面的容斥原理(1)AU B A B AI B(2)AUBUC A B C AI B BI C CI A AI BI C4,最小數(shù)原理(1) 設(shè) M 是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集，則 M 中必有最小數(shù)(2) 設(shè) M 是實(shí)數(shù)集的一個(gè)有限的非空子集，則 M 中必有最小數(shù) 函數(shù)1,函數(shù)的圖象(1)函數(shù)的圖象的平移變換與伸縮

2、變換：平移變換:y向右平移a個(gè)單位向上平移 b 個(gè)單位f(x a)伸縮變換:y f(“x伸長到原來的 A A 倍丄y y 伸長到原來的 B 倍 Bf (丄X)(A0,B0)A(2)函數(shù)的圖象的對(duì)稱變換與翻折變換對(duì)稱變換：通過點(diǎn)對(duì)稱進(jìn)行研究，翻折變換：y保留 y 軸右邊的圖像，去掉 y 軸左邊的圖像x再作關(guān)于 y 軸對(duì)稱的圖像_ 保留 X 軸上方的圖像_y f(x)并將 x 軸下方的圖像翻折到 X 軸上方去y1,函數(shù)的性質(zhì)f(x)2奇偶性：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f( x) f(x)(偶)或f( x)f(x)(奇)單調(diào)性：Xix2f(Xi) f(X2)(增)或f(Xi)f(x2)(減)周期性：對(duì)于

3、T 0有f(x T) f (x),2,函數(shù)的最大值與最小值(1)對(duì)于定義域 D 內(nèi)的任意X,存在XoD,使得f (x) f(xo),則fmax(x)f(X)；對(duì)于定義域 D 內(nèi)的任意X,存在xoD,使得f(x)f (Xo),則fmin(x)f (Xo)f (x)在閉區(qū)間a, b內(nèi)連續(xù)，則f(x)必有最大值與最小值f(x) g(x)恒成立fmin(X)gman(x)或f (x) g(x)min0. .三, ,不等式(1),均幕不等式鏈設(shè)ai,a2, ,anR, ,則-嚴(yán)嚴(yán)- ( (調(diào)和平均) ) ( (幾何平均) )aia2an(2),柯西不等式設(shè)ai,a2, ,an與db, bnR,則(3),

4、排序不等式i,2,n 的任一排列,則有aa?n222aia2anik ( (平方平均) )k_ _生一生一kan(k次方平均，k 2)，等號(hào)成立的條件是a2an.(aibi a2b2anbn)2(ai22a2an2)(bi2b22bn2)等號(hào)成立的條件是aa?b2biabn設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組：aia2an；bib2bn-ii,i2, in是空空( (算術(shù)平均) )3aibia2b2+anbn(同序和)aibha22+anbin(亂序和)aibna2bn i+ +anb(反序和)4當(dāng)且僅當(dāng)aia2=an或 db?=bn時(shí),等號(hào)成立.二,解題思想與方法導(dǎo)引.的所有a的集合是A,是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)

5、C,既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)B,是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)D,既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù) 填空題7,次函數(shù)f(x) ax b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(10,13),它與x軸的交點(diǎn)為(0,q),其中p是質(zhì)數(shù),q是正整數(shù)，則滿足條件的所有一次函數(shù)為A,a 1 a 9B,a 6 a9C,a a9D,4,設(shè)f (x)是個(gè)函數(shù)，使得對(duì)所有整數(shù)x和y，都有f (xy)f(x) f(y)6xy 1和f (x)f ( x)則f等于A,265,函數(shù)f (x)B,27x x1 2x2C,52D,536,若對(duì)任何x 0,1,不等式1kx1 lx恒成立，則一定有A,k 0,l-3B,k 0,112；2D,k丄212 .28,函數(shù)f (x)x

6、2a在區(qū)間1,1上的最大值M(a)1,函數(shù)與方程思想5,換元法三,習(xí)題導(dǎo)引選擇題2,數(shù)形結(jié)合思想.6,配方法3,分類討論思想.7,判別式法4,轉(zhuǎn)化8,局部調(diào)整法.1,設(shè)全集I(x, y)x,y R,集合M(x, y)1,N(x, y) yx 1,那么CIM ICIN等于A,B,(2,3)C,(2,3)D,(x,y)y x12,函數(shù)f (x)log1(x22x23)的單調(diào)遞增區(qū)間是A,(, 1)B,(,1)C,(1,D,(3,3,若非空集合A x2a 1x 3a5,Bx333,則能使A (AI B)成立(p,0)，與y軸的交點(diǎn)為5x)上的音調(diào)遞增函數(shù)，且滿足f(6)1,f (x) f (y) f

7、()y(x 0, y 0),則不等式f(x 3)f(-)2的解集是x10,設(shè)x,y,z,t滿足1 xx zy zt100,則7 T的最小值為11,已知A x x24x 3 0,x若A B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是2 212,使不等式sin x acosx aR,B x21 xa 0,x22(a 7)x 5 0,x R.1 cosx對(duì)一切x R恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是_ 解答題13,是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)x22ax a的定義域?yàn)?,1,值域?yàn)?,2.若存在,求a的值;若不存在，說明理由214,設(shè)二次函數(shù)f(x) axbx c(a,b, c R, a 0)滿足條件：(1)當(dāng)x R時(shí),f (x

8、 4)f (2 x),且f (x) x;x 1當(dāng)x (0,2)時(shí),f(x)(丁)2；f(x)在 R 上的最小值為 0.求最大的m(m 1),使得存在t R,只要x 1,m,就有f (x t) x.9,已知f(x)是定義域在(0,615,求方程丄丄丄4的正整數(shù)解x y z 5四,解答導(dǎo)引1, B M 表示直線y x 1上除去點(diǎn)(2,3)的部分，C|M表示點(diǎn)(2,3)和除去直線y x 1的部 分,CIN表示直線y x 1上的點(diǎn)集，所以QMICIN表示的點(diǎn)集僅有點(diǎn)(2,3),即(2,3).2, Af(x)的定義域?yàn)?，1)U (3,),而u x22x 3 (x 1)24在(，1)上單調(diào)遞減，在(3,

9、)上單調(diào)遞增，所以，f (x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(3,)上單調(diào)遞減.2a33,B由A(Al B)知AB,所以3a5 22，解得6 a9.3a5 2a14,A令xy 0,得f (0)1,令yx,得f(x)3x21，所以f (3)26.5,Af(1)33，f(1)-.有2f(1)f( 1)6,D由(1 kx) . 1 x 1,得(1x)(1kx)21,于;是k2x22kx 1 k2x32kx2x 1又x0,1，有k2x2(k22k)x1 2k0得k1728要使A B,只需f(x),g(x)在(1,3)上的圖象均在x軸的下方 側(cè)f(1)0,f (3)0,1 12 2 2 2 2由-1 lx,得

10、1 2 lx 12x2，有l(wèi)x(I 2l)x 1 210,1 x1 x1x0,11-=.2 V27,f(x) 13x 143或f(x) x 23.由題意得10q 13p pq,有(p 10)(q 13)130.p只能是 11,23當(dāng)p11 時(shí),q=143;當(dāng)p23 時(shí),q23.a,當(dāng) a8,數(shù)形結(jié)合,分類討論.a, 當(dāng) a9,x 0 x.1由f(x 3) f() 2f (6)及單調(diào)性，知f (x(x 3)f(6)xx(x 3)6f，得610,5x zz t 100, 要最小，則xy t1,t100,y盡量大,z盡量小,于是y1002100,這時(shí)x 1,xy 10,t100.11,4 a1.可得

11、A x1 x 3,設(shè)f (x)21 xa,g(x) x22(a 7)x 5g(1)0,g(3)0,由此可解得結(jié)果.12,a2.原不等式可化為(cosxcosx 1，a 0，口，口20知當(dāng)cosx 1時(shí)，函數(shù)y (cosx有最大值(1(12或a 1(舍去).13,解：f (x)(x a)2a2a，對(duì)稱軸是49于是存在a1,使f(x)的定義域?yàn)?,1,值域?yàn)?,2.14,解:由f (x 4) f (2 x),x R,可知二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x 1,又由知，二次函數(shù)f(x)的開口向上，即a 0,于是可設(shè)f(x) a(x 1)2(a 0)1 12由(1)知f (1) 1,由知f (1)(三)1,

12、所以f (1) 1,得1a(1 1)2,有a丄，412所以得f(x) (x 1)2.412因?yàn)閒(x) (x 1)的圖象開口向上，而y f (x t)的圖象是由y f (x)的圖象平移4t個(gè)單位得到要在區(qū)間1,m上，使得y f(x t)的圖象在y x的圖象的下方，且m最大,則 1 和m應(yīng)當(dāng)是關(guān)于x的方程12(x t 1)2x4的兩個(gè)根令x 1代入方程,得t 0或t 4.當(dāng)t 0時(shí),方程的解為x1x21,這與m 1矛盾！當(dāng)t 4時(shí),方程的解為x11,x29,所以m 9.又當(dāng)t 4時(shí),對(duì)任意x 1,9,恒有12(x 1)(x 9)0,即一(x 4 1)2x也就是f(x 4) x,(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)在1,1上是減函數(shù),f( 1)f(1)22,得a當(dāng)01時(shí), ,有心心) )2, ,得af( 1) 2當(dāng)a 0時(shí)，有伽，有伽2, ,得af(1) 21;當(dāng)a1時(shí)，f (x)在1,1上是增函數(shù)f( 1) f(1)22，得10所以,m的最大值為 9.15,解 :由對(duì)稱性，不妨設(shè)x y，得xy z 515又x是正整數(shù)，所以x1 或 2 或 3.(1)若x 1,1y1無正整數(shù)解，5若x 2,則y13，得210203y是正整數(shù)，且y2,于是y345,6當(dāng)y 3時(shí), ,z30（舍去）;當(dāng)y4時(shí), ,z20;當(dāng)y 5時(shí),2114