高中物理微積分應(yīng)用(完美)

1、.高中物理中微積分思想 偉大的科學(xué)家牛頓，有很多偉大的成就，建立了經(jīng)典物理理論，比如：牛頓三大定律，萬(wàn)有引力定律等；另外，在數(shù)學(xué)上也有偉大的成就，創(chuàng)立了微積分。 微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。微積分是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。微積分最重要的思想就是用"微元"與"無(wú)限逼近"，好像一個(gè)事物始終在變化你很難研究，但通過(guò)微元分割成一小塊一小塊，那就可以認(rèn)為是常量處理，最終加起來(lái)就行。 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱(chēng)。 它是一種數(shù)學(xué)思想，無(wú)限細(xì)分就是微分，無(wú)限求和就是積分。無(wú)限就是極限，極限的思想是微積分的基

2、礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問(wèn)題。微積分堪稱(chēng)是人類(lèi)智慧最偉大的成就之一。在高中物理中，微積分思想多次發(fā)揮了作用。1、解決變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位移問(wèn)題勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，位移和速度之間的關(guān)系x=vt；但變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，那么物體的位移如何求解呢？ 例1、汽車(chē)以10m/s的速度行駛，到某處需要減速停車(chē)，設(shè)汽車(chē)以等減速2m/s2剎車(chē)，問(wèn)從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)走了多少公里？a=-2m/s2【解析】 現(xiàn)在我們知道，根據(jù)勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)速度位移公式 就可以求得汽車(chē)走了0.025公里。但是，高中所謂的的勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移公式是怎么來(lái)的，其實(shí)就是應(yīng)用了微積分思想：把物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間無(wú)限細(xì)分。在每一份時(shí)間微元內(nèi)，速度的變化量很小，

3、可以忽略這種微小變化，認(rèn)為物體在做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，因此根據(jù)已有知識(shí)位移可求；接下來(lái)把所有時(shí)間內(nèi)的位移相加，即“無(wú)限求和”，則總的位移就可以知道。現(xiàn)在我們明白，物體在變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)候的位移等于速度時(shí)間圖像與時(shí)間軸所圍圖形的“面積”，即。【微積分解】汽車(chē)在減速運(yùn)動(dòng)這段時(shí)間內(nèi)速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)的時(shí)間t=5s，  所以汽車(chē)由剎車(chē)到停車(chē)行駛的位移 小結(jié)：此題是一個(gè)簡(jiǎn)單的勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)求位移問(wèn)題。對(duì)一般的變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，只要結(jié)合物理知識(shí)求速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，畫(huà)出vt圖像，找“面積”就可以?；蛘撸枚ǚe分就可解決.v2、解決變力做功問(wèn)題 恒力做功，我們可以利用公式直接求

4、出；但對(duì)于變力做功，我們?nèi)绾吻蠼饽兀?例2：如圖所示，質(zhì)量為m的物體以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運(yùn)動(dòng)，已知物體與豎直圓軌道間的摩擦因數(shù)為，求物體從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，摩擦力做了多少功。.xyOmgmgNANBBA【解析】物體沿豎直圓軌道從最低點(diǎn)勻速率運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，在不同位置與圓環(huán)間的正壓力不同，故而摩擦力為一変力，本題不能簡(jiǎn)單的用來(lái)求。 可由圓軌道的對(duì)稱(chēng)性，在圓軌道水平直徑上、下各取兩對(duì)稱(chēng)位置A和B，設(shè)OA、OB與水平直徑的夾角為。在的足夠短圓弧上，S可看作直線(xiàn)，且摩擦力可視為恒力，則在A、B兩點(diǎn)附近的S內(nèi)，摩擦力所做的功之和可表示為：L（弧長(zhǎng)）=(弧度)x r(半徑

5、) (弧度制)又因?yàn)檐?chē)在A、B兩點(diǎn)以速率v作圓周運(yùn)動(dòng)，所以：F= 圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式綜合以上各式得：故摩擦力對(duì)車(chē)所做的功：【微積分解】物體在軌道上受到的摩擦力，從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)摩擦力所做的功為小結(jié)：這題是一個(gè)復(fù)雜的變力做功問(wèn)題，利用公式直接求功是難以辦到的。利用微積分思想，把物體的運(yùn)動(dòng)無(wú)限細(xì)分，在每一份位移微元內(nèi)，力的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認(rèn)為物體在恒力作用下的運(yùn)動(dòng)；接下來(lái)把所有位移內(nèi)的功相加，即“無(wú)限求和”，則總的功就可以知道。在高中物理中還有很多例子，比如我們講過(guò)的瞬時(shí)速度，瞬時(shí)加速度、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、引力勢(shì)能等都用到了微積分思想，所有這些例子都有它的共性。作為大學(xué)知識(shí)在高中的

6、應(yīng)用，雖然微積分高中不要求，但他的思想無(wú)不貫穿整個(gè)高中物理?！拔⒎e分思想”豐富了我們處理問(wèn)題的手段，拓展了我們的思維。我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候，要學(xué)會(huì)這種研究問(wèn)題的思想方法，只有這樣，在緊張的學(xué)習(xí)中，我們才能做到事半功倍。 一場(chǎng)源點(diǎn)荷為Q,在距Q為r的A點(diǎn)有一點(diǎn)電荷為q,此A處電勢(shì)=kQ/r【例】問(wèn)均勻帶電的立方體角上一點(diǎn)的電勢(shì)是中心的幾倍。分析：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知立方體的八個(gè)角點(diǎn)電勢(shì)相等；將原立方體等分為八個(gè)等大的小立方體,原立方體的中心正位于八個(gè)小立方體角點(diǎn)位置；而根據(jù)電勢(shì)疊加原理，其電勢(shì)即為八個(gè)小立方體角點(diǎn)位置的電勢(shì)之和，即U1=8U2 ；立方體角點(diǎn)的電勢(shì)與什么有關(guān)呢?電荷密度；二立方體的邊長(zhǎng)a；

7、三立方體的形狀；根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式U=及量綱知識(shí)，可猜想邊長(zhǎng)為a的立方體角點(diǎn)電勢(shì)為U=Cka2  ；其中C為常數(shù)，只與形狀（立方體）及位置（角點(diǎn)）有關(guān)，Q是總電量，是電荷密度；其中Q=a3 大立方體的角點(diǎn)電勢(shì)：U0= Cka2 ；小立方體的角點(diǎn)電勢(shì)：U2= Ck（）2=   大立方體的中心點(diǎn)電勢(shì)：U1=8U2=2 Cka2 ；即U0=U1【小結(jié)】我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)物理問(wèn)題，其所求的物理量總是與其他已知物理量相關(guān)聯(lián)，或者用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，所求的物理量就是其他物理量（或者說(shuō)是變量）的函數(shù)。如果我們能夠把這個(gè)函數(shù)關(guān)系寫(xiě)出來(lái)，或者將其函數(shù)圖像畫(huà)出來(lái)，那么定量或定

8、性地理解物理量的變化情況，幫助我們解決物理問(wèn)題。導(dǎo)數(shù) 物理量的變化率tv我們經(jīng)常對(duì)物理量函數(shù)關(guān)系的圖像處理，比如v-t圖像，求其斜率可以得出加速度a，求其面積可以得出位移s，而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，過(guò)v-t圖像中某個(gè)點(diǎn)作出切線(xiàn)，其斜率即a=.下面我們從代數(shù)上考察物理量的變化率：【例】若某質(zhì)點(diǎn)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為上s=3t+2t2,試求其t時(shí)刻的速度的表達(dá)式。（所有物理量都用國(guó)際制單位，以下同）分析：我們知道，公式v=一般是求t時(shí)間內(nèi)的平均速度，當(dāng)t取很小很小，才可近似處理成瞬時(shí)速度。s(t)=3t+2t2 s(t+t)=3(t+t)+2(t+t) 2s=s(

9、t+t)-s(t)=3(t+t)+2(t+t) 2-3t-2t2=3t+4tt+2t2v=3+4t+2t當(dāng)t取很小，小到跟3+4t相比忽略不計(jì)時(shí)，v=3+4t即為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度?！揪殹考僭O(shè)一個(gè)閉合線(xiàn)圈匝數(shù)為100匝，其磁通量為=3t+4t3,求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。【小結(jié)】回顧我們求物理量y=f(t)的變化率瞬時(shí)值z(mì)的步驟：寫(xiě)出t時(shí)刻y0=f(t)的函數(shù)表達(dá)式；寫(xiě)出t+t時(shí)刻y1=f(t+t)的函數(shù)表達(dá)式；求出y=y1- y0=f(t+t)- f(t)；求出z=；注意t取很小，小到與有限值相比可以忽略不計(jì)。 無(wú)窮小當(dāng)t取很小時(shí)，可以用V=求瞬時(shí)速度，也可用i=求瞬時(shí)電流,用=求瞬時(shí)感

10、應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。下面，我們來(lái)理解t：t是很小的不為零的正數(shù)，它小到什么程度呢？可以說(shuō)，對(duì)于我們?nèi)我饨o定一個(gè)不為零的正數(shù)，都比t大，即：>t ?；蛘邚膭?dòng)態(tài)的角度來(lái)看，給定一段時(shí)間t，我們進(jìn)行如下操作：第一次，我們把時(shí)間段平均分為2段，每段時(shí)間t=；第二次，我們把時(shí)間段平均分為3段，每段時(shí)間t=；第三次，我們把時(shí)間段平均分為4段，每段時(shí)間t=；第N次，我們把時(shí)間段平均分為N+1段，每段時(shí)間t=；一直這樣進(jìn)行下去，我們知道，t越來(lái)越小，雖然它不為零，但永遠(yuǎn)逼近零，我們稱(chēng)它為無(wú)窮小，記為t0?；蛘撸脭?shù)學(xué)形式表示為 t=0。其中“”表示極限，意思是t的極限值為0。常規(guī)計(jì)算：（t+C）=C C·

11、;t=0 f(t)=f(0) f(t+t)=f(t) = 1附錄常用等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系（） ； ； ； ； 導(dǎo)數(shù)前面我們用了極限“”的表示方法，那么物理量y的變化率的瞬時(shí)值z(mì)可以寫(xiě)成:z=,并簡(jiǎn)記為z=,稱(chēng)為物理量y函數(shù)對(duì)時(shí)間變量t的導(dǎo)數(shù)。物理上經(jīng)常用某物理量的變化率來(lái)定義或求解另一物理量，如v=、a=、i=、=N等，甚至不限于對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，如F=、Ex=、=等。這個(gè)dt（也可以是dx、dv、dm等）其實(shí)相當(dāng)于微元法中的時(shí)間微元t，當(dāng)然每次這樣用來(lái)求物理量變化率的瞬時(shí)值太繁瑣了，畢竟微元法只是草創(chuàng)時(shí)期的微積分。如果能把常見(jiàn)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的基本規(guī)律弄懂，那么我們可以簡(jiǎn)單快速地求解物理量變化率的瞬時(shí)值（導(dǎo)數(shù)）

12、了。同學(xué)們可以課后推導(dǎo)以下公式： 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 =± = =·v + u· 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=0(C為常數(shù))； =-sint；=ntn-1 (n為實(shí)數(shù))； =et；=cost； 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在數(shù)學(xué)上，把u=u(v(t)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)，即以函數(shù)v(t)為u(x)的自變量。=·復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為鏈?zhǔn)椒▌t。在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，在單位時(shí)間內(nèi)物體完成全振動(dòng)的次數(shù)叫頻率，用f表示，頻率的2倍叫角頻率，即 =2f【練】1、某彈簧振子在X軸上做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其位移x與時(shí)間t的關(guān)系為x=Asint，即，質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)原

13、點(diǎn)附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最大位移為A（A稱(chēng)為振幅），周期為（稱(chēng)為角頻率），物理上把這種運(yùn)動(dòng)叫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)完成以下幾問(wèn)： 求出t時(shí)刻的速度v寫(xiě)出合力F與位移x的關(guān)系驗(yàn)證簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒。PQ【練】2、某矩形線(xiàn)框面積為S，匝數(shù)為N，處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，如圖所示，線(xiàn)框繞PQ軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，從水平位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，在t時(shí)刻：寫(xiě)出磁通量的表達(dá)式求出線(xiàn)框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 三：微分和積分 簡(jiǎn)單問(wèn)題【例】電容器是一種存儲(chǔ)電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電容器放電時(shí)的情況。某電容為C的電容器，其已充電的電量為Q0，若讓該電容與另一個(gè)阻值為R的的電阻串聯(lián)起來(lái)，該電容器將會(huì)放電，其

14、釋放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱（內(nèi)能）。試討論，放電時(shí)流過(guò)電阻R的電流隨時(shí)間t 的變化關(guān)系如何？分析：根據(jù)電荷守恒定律，當(dāng)通過(guò)電阻R的電量為q時(shí)，電容器的電量從Q0變成Q1，滿(mǎn)足Q0=Q1+q ，即q=Q0-Q1 ；Q0Q1q流過(guò)電阻R的電流i與通過(guò)電阻R的電量q 滿(mǎn)足關(guān)系式：i=根據(jù)電容電量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0- CRi ；聯(lián)立上式，有i= - CR進(jìn)行公式變形，令x= - ,則有i= - CR= 同學(xué)們思考一下，i應(yīng)該是什么函數(shù)，才能滿(mǎn)足i= ？，或者說(shuō)什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)本身？我們觀察到，只有y=Cex形式的函數(shù)才滿(mǎn)足i= 關(guān)系，C為待定常數(shù)。故可以知道，i

15、 = Cex = Ce-t/CR當(dāng)t=0 時(shí)，U0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = Ce-t/CR=C；故C=所以，流過(guò)電阻R的電流隨時(shí)間t 的變化關(guān)系為：i = e-t/CR【練】對(duì)于上例電容器放電問(wèn)題，試討論，放電時(shí)電容器的電量Q隨時(shí)間t 的變化關(guān)系如何？微分1、從上面式子可以看出，理論上雖然我們說(shuō)是要經(jīng)過(guò)無(wú)窮長(zhǎng)的時(shí)間電容才放完電，電流為零，但實(shí)際上只需要電流減少足夠小時(shí)，電流計(jì)就檢測(cè)不到有電流了。2、對(duì)于i= - CR或i= ，我們稱(chēng)之為微分方程，最直觀的解決方法是觀察有哪些函數(shù)滿(mǎn)足該微分方程的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)然，我們要注意比如上題中的t=0 之類(lèi)的初始條件。3、一般來(lái)說(shuō)，微

16、積分可以幫助同學(xué)們深刻理解物理概念和公式，但微元法可以幫助同學(xué)們更細(xì)致地明了物理過(guò)程。下面我們用微元法的方式來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題。在t的時(shí)間內(nèi)，通過(guò)電阻R的電量為q。雖然電流隨時(shí)間發(fā)生變化，但在很短的時(shí)間t內(nèi)，可以認(rèn)為電流幾乎不變，當(dāng)成恒定電流處理，故有q= it 。對(duì)電容有Q=CU=CiR，Q=i；由電量守恒，Q= q ，故iti，然后把“”形式改寫(xiě)成微積分語(yǔ)言的“d”形式，就有idtdi （dt和di稱(chēng)之為微分）,數(shù)學(xué)變形為i= - CR，即以上解法中的微分方程。微分與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？對(duì)某自變量為時(shí)間t的函數(shù)F(t)，它的極其微小的變化，我們記它為微分dF，它與時(shí)間微分dt滿(mǎn)足關(guān)系式：dF=d

17、t，其中為F對(duì)t的導(dǎo)數(shù)。下面是常見(jiàn)的微分公式與微分運(yùn)算法則： 積分在上例問(wèn)題中，在t的時(shí)間內(nèi)，通過(guò)電阻R的電量為q= it，q稱(chēng)為電量微元。如果我們把0到t時(shí)間內(nèi)的q加起來(lái)，用求和符號(hào)“”表示，則有：q=it。由于t=Nt,當(dāng)t取無(wú)窮小時(shí)，那么it就有N個(gè)，也就是，我們要把無(wú)窮個(gè)it進(jìn)行相加操作，為了方便，我們用微積分符號(hào)表示q=it=，稱(chēng)為對(duì)i在時(shí)間上求積分。我們來(lái)看一下這么做有什么意義：從幾何上看，對(duì)于i-t 圖像，q=it=就是圖像中的面積。對(duì)于恒定電流，很簡(jiǎn)單，q= it，即小塊矩形面積；對(duì)于變化的電流，用q= it來(lái)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)有一小塊近似三角形面積的誤差，不過(guò)當(dāng)我們?nèi)‘?dāng)t取無(wú)窮小時(shí)，

18、用極限處理后，該誤差會(huì)無(wú)窮逼近零，可以忽略不計(jì)，那么計(jì)算的面積就無(wú)限精確接近實(shí)際面積了。前面我們求導(dǎo)用了i=，積分用了q=?？梢钥闯?，從某種程度上說(shuō)，積分實(shí)際是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-e-t/CR), i = e-t/CR滿(mǎn)足求導(dǎo)和積分的運(yùn)算關(guān)系i=、q=。對(duì)于一般函數(shù)F，如果有f= ，那么就有=F+C。請(qǐng)思考，為什么積分中會(huì)出現(xiàn)常數(shù)C？下面是常見(jiàn)的積分公式，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照求導(dǎo)公式理解： f 現(xiàn)在我們用微積分書(shū)寫(xiě)方式來(lái)來(lái)解答上題。由Q0=Q+q ；Q=Q0-q ；則dQ= - dq = - idt= - dt= - dt ；怎么來(lái)求呢？我們知道=et，令F(t)= et，有t

19、=lnF；則有=F，即=dt=d(lnF) ；那么= = lnQ+C。=？請(qǐng)同學(xué)們自己推導(dǎo)。即 = - dt ；對(duì)等號(hào)兩邊積分： = ；有l(wèi)nQ = - C，或者Q=Ce-t/CR ； 當(dāng)t=0時(shí)，Q(0)=C=Q0 ； 所以電容器電量為Q= Q0e-t/CR 。 定積分【例】某質(zhì)點(diǎn)在X軸上做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其速度v滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系v=3t2,求從t=1s到t=3s時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的位移。分析：在dt時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)可以認(rèn)為做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，即ds=vdt,那么對(duì)等號(hào)兩邊積分，有，則有：s= t3 +C ；現(xiàn)在有問(wèn)題了：當(dāng)t=0時(shí)，S(0)等于多少我們不知道！而且已知條件中的時(shí)間“從t=1s到t=3s”也沒(méi)有用

20、上！下面我們從物理上考察C這個(gè)常數(shù)的意義。t=0時(shí)，s(0)=C。當(dāng)我們令C=0時(shí)，相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)在零時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)；當(dāng)我們令C=1時(shí)，相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)在零時(shí)刻從坐標(biāo)位置X=1m處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)；。tv我們發(fā)現(xiàn)，C這常數(shù)的取值相當(dāng)于選取觀察質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的靜止參考系位置，然而所求的從t=1s到t=3s時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的位移應(yīng)該與所選取的靜止參考系無(wú)關(guān)，也就是對(duì)任意靜止參考系，質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的位移應(yīng)該是一致的，如圖所示。那么我們就隨便選取某一參考系，使質(zhì)點(diǎn)在零時(shí)刻從坐標(biāo)位置X=Cm處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，則位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為：s(t)= t3 +C。題目中所求的1到3秒的位移為：s1=s(3)-s(1)=（33+C）-（1

21、3+C）=8m 。 題目中所要求的位移（速度積分）與積分式=F+C中的C無(wú)關(guān)，當(dāng)要求t=t1到t=t2時(shí)間內(nèi)位移時(shí)，s(t1t2)=s(t2) - s(t2)。這個(gè)相當(dāng)于我們用s=vt來(lái)求v-t圖像中的從t=t1到t=t2范圍內(nèi)的面積。我們用一種簡(jiǎn)單符號(hào)表示這種關(guān)系：=F(b) F(a)。這種積分叫定積分?！揪殹?、已知導(dǎo)線(xiàn)中的電流按I = t3-0.5t+6的規(guī)律隨時(shí)間 t 變化，式中電流和時(shí)間的單位分別為A和s。計(jì)算在t =1s到t =3s的時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)線(xiàn)截面的電荷量?！揪殹?、某質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿，長(zhǎng)為L(zhǎng)，繞其一端點(diǎn)做角速度為的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試求其動(dòng)能。【練】3、某彈簧勁度系數(shù)為K，原長(zhǎng)為L(zhǎng)

22、，若將彈簧從2L長(zhǎng)拉伸至3L長(zhǎng)處，問(wèn)應(yīng)克服彈簧彈力做多少功？【練】4、對(duì)于某電路，通過(guò)電阻R=2的電流i=2t+1(A)，問(wèn)從t=0時(shí)刻開(kāi)始經(jīng)過(guò)4s后，電阻產(chǎn)生的焦耳熱是多少？四：課后習(xí)題1、質(zhì)量為2kg的某物體在平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)，已知其x軸上的坐標(biāo)為x=3+5cos2t，y軸上的坐標(biāo)為y=-4+5sin2t，t為時(shí)間物理量，問(wèn)：物體的速度是多少？物體所受的合外力是多少?該物體做什么樣的運(yùn)動(dòng)？ 能否找出該物體運(yùn)動(dòng)的特征物理量嗎？2、一質(zhì)點(diǎn)在某水平力F的作用下做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，該力做功W與位移x的關(guān)系為W=3x-2x2,試問(wèn)當(dāng)位移x為多少時(shí)F變?yōu)榱恪?、已知在距離點(diǎn)電荷Q為r處點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E=,

23、請(qǐng)驗(yàn)證點(diǎn)處的電勢(shì)公式為：U = 。4、某復(fù)合材料制成的一細(xì)桿OP長(zhǎng)為L(zhǎng)，其質(zhì)量分布不均勻。在桿上距離O端點(diǎn)為x處取點(diǎn)A，令M為細(xì)桿上OA段的質(zhì)量。已知M為x的函數(shù)，函數(shù)關(guān)系為M=kx2，現(xiàn)定義線(xiàn)密度=,問(wèn)當(dāng)x=處B點(diǎn)的線(xiàn)密度為何？5、某彈簧振子的總能量為2×10-5J，當(dāng)振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置振幅處，其勢(shì)能EP= ，動(dòng)能Ek= 。6、取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零。若將對(duì)電容器充電等效成把電荷從無(wú)窮遠(yuǎn)處移到電容器極板上，試問(wèn)，用電壓U對(duì)電容為C的電容器充電，電容器存儲(chǔ)的電能為何？開(kāi)始時(shí)電容器存放的電荷量為零。7、在光滑的平行導(dǎo)軌的右端連接一阻值為R的電阻，導(dǎo)軌寬度為L(zhǎng)，整個(gè)導(dǎo)軌水平放置在方向豎直向

24、下的磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。有一導(dǎo)體棒ab垂直軌桿并停放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌有良好的接觸。在t=0時(shí)刻，給導(dǎo)體棒一水平向左的初速度V0，若其他電阻不計(jì)，則 求導(dǎo)體棒的速度v隨時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式； 求導(dǎo)體棒從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停下為止，其滑行的總位移S；求導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I隨時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系； 求全過(guò)程中流過(guò)導(dǎo)體棒的總電荷Q。一、變力做功在功的問(wèn)題中，恒力做功是最簡(jiǎn)單的，公式為“以常代變”，功的微元應(yīng)該通過(guò)恒力做功公式得到的例831 一壓簧，原長(zhǎng)1，把它每壓縮1時(shí)所用的力為0.05問(wèn)在彈性范圍內(nèi)把它由1（如圖831）壓縮到60（如圖832）所做的功圖831圖832解令起點(diǎn)為原點(diǎn)，

25、壓縮的方向?yàn)檩S的正方向當(dāng)把彈簧自原點(diǎn)壓縮至之間的任意點(diǎn)處時(shí)（如圖833）圖833由胡克定律知所承受的彈簧的壓力為在此力的作用下，再繼續(xù)壓縮一點(diǎn)點(diǎn)，即壓縮至處由于很小，這個(gè)壓縮過(guò)程可認(rèn)為力不變，即恒力做功則由恒力做功公式得功的微元積分得例832 在原點(diǎn)處有一帶電量為的點(diǎn)電荷，在它的周?chē)纬闪艘粋€(gè)電場(chǎng)現(xiàn)在處有一單位正電荷沿軸正方向移至處，求電場(chǎng)力所做的功又問(wèn)若把該電荷繼續(xù)移動(dòng)，移動(dòng)至無(wú)窮遠(yuǎn)處，電場(chǎng)力要做多少功解點(diǎn)電荷在任意點(diǎn)處時(shí)所受的電場(chǎng)力為（為常數(shù)）電場(chǎng)力做功的微元為點(diǎn)電荷由任意點(diǎn)處移動(dòng)至處時(shí)電場(chǎng)力所做的功即則移至處電場(chǎng)力做的功；移至無(wú)窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)力做的功（物理學(xué)中稱(chēng)此值為電場(chǎng)在處的電位）例833 一圓臺(tái)形水池，深15，上下口半徑分別為20和10，如果把其中盛滿(mǎn)的水全部抽干，需要做多少功?解水是被“一層層”地抽出去的，在這個(gè)過(guò)程中，不但每層水的重力在變，提升的高度也在連續(xù)地變化圖834其中抽出任意一層水（處厚為的扁圓柱體，如圖834陰影部分）所做的功為抽水做功的微元此處常用符號(hào)是，表示水的密度，計(jì)算時(shí)為1000 kg/m3即則二、物體質(zhì)量對(duì)于密度均勻的物體的質(zhì)量或、，這時(shí)密度是常量；但對(duì)于密度不均勻（密度是變量）的物體的質(zhì)量就不能直接用上述公式了，而應(yīng)該用微元法例834 一半圓形金屬絲，其上