雙曲線知識點總結(jié)例題

1、（二）雙曲線知識點及鞏固復習1.雙曲線的定義 如果平面內(nèi)一個動點到兩定點距離之差的絕對值等于正的常數(shù)（小于兩定點間的距離），那么動點的軌跡是雙曲線 若一個動點到兩定點距離之差等于一個常數(shù)，常數(shù)的絕對值小于兩定點間的距離，那么動點的軌跡是雙曲線的一支F1，F(xiàn)2為兩定點，P為一動點，(1)若|PF1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|則動點P的軌跡是 2a=|F1F2|則動點P的軌跡是 2a=0則動點P的軌跡是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|則動點P的軌跡是 2a=|F1F2|則動點P的軌跡是 2a=0則動點P的軌跡是 2.雙曲線的標準

2、方程 3.雙曲線的性質(zhì) （1）焦點在x軸上的雙曲線標準方程 x,y的范圍 頂點 焦點 對稱軸 對稱中心 實半軸的長 虛半軸的長 焦距 離心率e= 范圍 e越大雙曲線的開口越 e越小雙曲線的開口越 準線 漸近線 焦半徑公式|PF1|= |PF2|= (F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右兩焦點，P為橢圓上的一點)（1） 焦點在y軸上的雙曲線 標準方程 x,y的范圍 頂點 焦點 對稱軸 對稱中心 實半軸的長 虛半軸的長 焦距 離心率e= 范圍 e越大雙曲線的開口越 e越小雙曲線的開口越 準線 漸近線 焦半徑公式|PF1|= |PF2|= (F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的下上兩焦點，P為橢圓上的一點)1. 等軸雙

3、曲線：特點實軸與虛軸長相等漸近線互相垂直離心率為 2. 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線特點有共同的漸近線四焦點共圓 雙曲線的共軛雙曲線是 6.雙曲線系（1） 共焦點的雙曲線的方程為(0<k<c2,c為半焦距)（2） 共漸近線的雙曲線的方程為例題在運用雙曲線的定義時，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支考點1、雙曲線定義例1、已知動圓M與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程【例2】若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF

4、1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【例3】已知雙曲線與點M（5，3），F(xiàn)為右焦點，若雙曲線上有一點P，使最小，則P點的坐標為考點2、求雙曲線的方程求雙曲線標準方程的方法1定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應(yīng)a、b、c即可求得方程2待定系數(shù)法(2)待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線方程可表示為t(t0)；若雙曲線的漸近線方程是y±x，則雙曲線的方程可表示為t(t0)；與雙曲線1共焦點的方程可表示為1(b2ka2)；過兩個已知點的雙曲線的標準方程可表示為1(mn0)；與橢圓1(ab0)有共同焦點的雙曲線方程可表示為1(b2

5、a2)例4、求下列條件下的雙曲線的標準方程(1)與雙曲線1有共同的漸近線，且過點(3，2)；(2)與雙曲線1有公共焦點，且過點(3，2)1.在雙曲線的標準方程中，若x2的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上，且對于雙曲線，a不一定大于b.2若不能確定雙曲線的焦點在哪條坐標軸上，可設(shè)雙曲線方程為：mx2ny21(mn0)，以避免分類討論考點3、雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)與代數(shù)中的方程、平面幾何的知識聯(lián)系密切，解題時要深刻理解確定雙曲線的形狀、大小的幾個主要特征量，如a、b、c、e的幾何意義及它們的相互關(guān)系，充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程例5、(12

6、分)雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0)，若C上存在一點P，使·0，求此雙曲線離心率的取值范圍例6、【活學活用】 3.(2012北京期末檢測)若雙曲線1(a0，b0)的兩個焦點分別為F1、F2，P為雙曲線上一點，且|PF1|3|PF2|，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_【例7】直線過雙曲線的右焦點，斜率k=2.若與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是 （ ） A.e> B.1<e< C.1<e< D.e>【例8】設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ）A B C. D【評

7、注】解題中發(fā)現(xiàn)PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，這一美妙的結(jié)果不是每個考生都能臨場發(fā)現(xiàn)的.將最美的結(jié)果隱藏在解題過程之中以鑒別考生的思維能力，這正是命題人的高明之處.漸近線雙曲線與直線相約天涯對于二次曲線，漸近線為雙曲線所獨有. 雙曲線的許多特性圍繞著漸近線而展開.雙曲線的左、右兩支都無限接近其漸近線而又不能與其相交，這一特有的幾何性質(zhì)不僅很好地界定了雙曲線的范圍.由于處理直線問題比處理曲線問題容易得多，所以這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于有關(guān)解題之中.【例9】過點（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線.根據(jù)這一點，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為，而無須考慮其實、虛

8、軸的位置. 共軛雙曲線 虛、實易位的孿生弟兄將雙曲線的實、虛軸互易，所得雙曲線方程為：.這兩個雙曲線就是互相共軛的雙曲線.它們有相同的焦距而焦點的位置不同；它們又有共同的漸近線而為漸近線所界定的范圍不一樣；它們的許多奇妙性質(zhì)在解題中都有廣泛的應(yīng)用.【例10】兩共軛雙曲線的離心率分別為，證明：=1.設(shè)而不求與借舟棄舟同理減少解析幾何計算量的有效方法之一便是設(shè)而不求.請看下例：【例11】雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. “設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它.但是，“設(shè)而不

9、求”的手段應(yīng)當慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：【例12】在雙曲線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會有如下解法：練習1(2011安徽高考)雙曲線2x2y28的實軸長是( )A2 B2 C4 D42(2011山東高考)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為( )A.1 B.1 C.1 D.13.(2012嘉興測試)如圖，P是雙曲線y21右支(在第一象限內(nèi))上的任意一點，A1，A2分別是左、右頂點，O是坐標原點

10、，直線PA1，PO，PA2的斜率分別為k1，k2，k3，則斜率之積k1k2k3的取值范圍是( )A(0,1) B(0，) C(0，) D(0，)4(金榜預(yù)測)在平面直角坐標系xOy中，已知ABC的頂點A(5,0)和C(5,0)，頂點B在雙曲線1上，則為( )A. B. C. D.5P為雙曲線1的右支上一點，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為( )A6 B7 C8 D96(2012南寧模擬)已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的兩個焦點，P為該曲線上一點，若PF1F2為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為( )A.1 B.1 C2 D27方程1表示雙曲線那

11、么m的取值范圍是_8(2012大連測試)在雙曲線4x2y21的兩條漸近線上分別取點A和B，使得|OA|·|OB|15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點的軌跡方程是_9雙曲線1(a0，b0)的離心率是2，則的最小值是_10(2012肇慶模擬)已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(3,0)，一條漸近線的方程是 x2y0.(1)求雙曲線C的方程；(2)若以k(k0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍11(文用)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)(1)求雙曲線C的方程；(2)若

12、直線：ykxm(k0，m0)與雙曲線C交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A(0，1)，求實數(shù)m的取值范圍12已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 13已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。14已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線于A、B兩點，且（1）求直線AB的方程；（2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩

13、點，且，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？ （二）雙曲線知識點及鞏固復習1.雙曲線的定義 如果平面內(nèi)一個動點到兩定點距離之差的絕對值等于正的常數(shù)（小于兩定點間的距離），那么動點的軌跡是雙曲線 若一個動點到兩定點距離之差等于一個常數(shù)，常數(shù)的絕對值小于兩定點間的距離，那么動點的軌跡是雙曲線的一支F1，F(xiàn)2為兩定點，P為一動點，(1)若|PF1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|則動點P的軌跡是 2a=|F1F2|則動點P的軌跡是 2a=0則動點P的軌跡是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|則動點P的軌跡是 2a=|F1F2|則動點P的

14、軌跡是 2a=0則動點P的軌跡是 2.雙曲線的標準方程 3.雙曲線的性質(zhì) （1）焦點在x軸上的雙曲線標準方程 x,y的范圍 頂點 焦點 對稱軸 對稱中心 實半軸的長 虛半軸的長 焦距 離心率e= 范圍 e越大雙曲線的開口越 e越小雙曲線的開口越 準線 漸近線 焦半徑公式|PF1|= |PF2|= (F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右兩焦點，P為橢圓上的一點)（2） 焦點在y軸上的雙曲線 標準方程 x,y的范圍 頂點 焦點 對稱軸 對稱中心 實半軸的長 虛半軸的長 焦距 離心率e= 范圍 e越大雙曲線的開口越 e越小雙曲線的開口越 準線 漸近線 焦半徑公式|PF1|= |PF2|= (F1，F(xiàn)2分別為

15、雙曲線的下上兩焦點，P為橢圓上的一點)3. 等軸雙曲線：特點實軸與虛軸長相等漸近線互相垂直離心率為 4. 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線特點有共同的漸近線四焦點共圓 雙曲線的共軛雙曲線是 6.雙曲線系（3） 共焦點的雙曲線的方程為(0<k<c2,c為半焦距)（4） 共漸近線的雙曲線的方程為考點1。雙曲線的定義及應(yīng)用在運用雙曲線的定義時，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支考點1、雙曲線定義例1、已知動圓M與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程【自主

16、解答】設(shè)動圓M的半徑為r，則由已知|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根據(jù)雙曲線定義知，點M的軌跡是以C1(4,0)、C2(4,0)為焦點的雙曲線的右支a，c4，b2c2a214，點M的軌跡方程是：1(x)【例1】若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【解析】橢圓的長半軸為雙曲線的實半軸為，故選A.【評注】嚴格區(qū)分橢圓與雙曲線的第一定義，是破解本題的關(guān)鍵.【例2】已知雙曲線與點M（5，3），F(xiàn)為右焦點，若雙曲線上有一點P

17、，使最小，則P點的坐標為【分析】待求式中的是什么？是雙曲線離心率的倒數(shù).由此可知，解本題須用雙曲線的第二定義.【解析】雙曲線的右焦點F（6，0），離心率右準線為.作于N，交雙曲線右支于P，連FP，則.此時為最小.在中，令，得取.所求P點的坐標為. 考點2、求雙曲線的方程求雙曲線標準方程的方法1定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應(yīng)a、b、c即可求得方程2待定系數(shù)法(2)待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線方程可表示為t(t0)；若雙曲線的漸近線方程是y±x，則雙曲線的方程可表示為t(t0)；與雙曲線1共焦點的方程可表示為1(b2ka2)；過兩個已知點的

18、雙曲線的標準方程可表示為1(mn0)；與橢圓1(ab0)有共同焦點的雙曲線方程可表示為1(b2a2)例2、求下列條件下的雙曲線的標準方程(1)與雙曲線1有共同的漸近線，且過點(3，2)；(2)與雙曲線1有公共焦點，且過點(3，2)【自主解答】(1)解法一：經(jīng)檢驗知雙曲線焦點在x軸上，故設(shè)雙曲線的方程為1，由題意，得解得a2，b24，所以雙曲線的方程為1.(2)解法一：設(shè)雙曲線方程為1，由題意易求c2，又雙曲線過點(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28. 1.解法二：設(shè)所求雙曲線方程為(0)，將點(3,2)代入得.所以雙曲線方程為，即1.解法二：設(shè)雙曲線方程為1，且16k0,4k0

19、.將點(3，2)代入得k4，且滿足上面的不等式，所以雙曲線方程為1.1.在雙曲線的標準方程中，若x2的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上，且對于雙曲線，a不一定大于b.2若不能確定雙曲線的焦點在哪條坐標軸上，可設(shè)雙曲線方程為：mx2ny21(mn0)，以避免分類討論考點3、雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)與代數(shù)中的方程、平面幾何的知識聯(lián)系密切，解題時要深刻理解確定雙曲線的形狀、大小的幾個主要特征量，如a、b、c、e的幾何意義及它們的相互關(guān)系，充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程例3、(12分)雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0

20、)，若C上存在一點P，使·0，求此雙曲線離心率的取值范圍【規(guī)范解答】設(shè)P點坐標為(x，y)，則由·0，得APPQ，即P點在以AQ為直徑的圓上，(x)2y2()2.又P點在雙曲線上，得1.(a2b2)x23a3x2a4a2b20.即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0.6分當xa時，P與A重合，不符合題意，舍去當x時，滿足題意的P點存在，需xa，化簡得a22b2，即3a22c2，.10分離心率e(1，).12分例4、【活學活用】 3.(2012北京期末檢測)若雙曲線1(a0，b0)的兩個焦點分別為F1、F2，P為雙曲線上一點，且|PF1|3|PF2|，則該雙曲線的離心率e

21、的取值范圍是_解析：依題意得，由此解得|PF2|aca，即c2a，e2，即該雙曲線的離心率不超過2.又雙曲線的離心率大于1，因此該雙曲線的離心率e的取值范圍是(1,2【例5】直線過雙曲線的右焦點，斜率k=2.若與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是 （ ） A.e> B.1<e< C.1<e< D.e>【分析】就題論題的去解這道題，確實難以下手，那就考慮轉(zhuǎn)換吧.其一，直線和雙曲線的兩支都有交點不好掌握，但是和兩條漸近線都有交點卻很好掌握.其二，因為已知直線的斜率為2，所以雙曲線的兩條漸近線中，傾斜角為鈍角的漸近線肯定與之相交，只須考慮

22、傾斜角為銳角的漸近線也與之相交.故有如下妙解.【解析】如圖設(shè)直線的傾斜角為，雙曲線漸近線的傾斜角為.顯然。當時直線與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上.由. 雙曲線中，故取e>.選D. 【例6】設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ）A B C. D【解析】雙曲線的實、虛半軸和半焦距分別是：.設(shè)；于是，故知PF1F2是直角三角形，F(xiàn)1P F2=90°.選B.【評注】解題中發(fā)現(xiàn)PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，這一美妙的結(jié)果不是每個考生都能臨場發(fā)現(xiàn)的.將最美的結(jié)果隱藏在解題過程之中以鑒別考生的思維能力，這正是命題人的高明之處.漸近線雙曲線與直線

23、相約天涯對于二次曲線，漸近線為雙曲線所獨有. 雙曲線的許多特性圍繞著漸近線而展開.雙曲線的左、右兩支都無限接近其漸近線而又不能與其相交，這一特有的幾何性質(zhì)不僅很好地界定了雙曲線的范圍.由于處理直線問題比處理曲線問題容易得多，所以這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于有關(guān)解題之中.【例7】過點（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【解析】設(shè)所求雙曲線為點（1，3）代入：.代入（1）：即為所求.【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線.根據(jù)這一點，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為，而無須考慮其實、虛軸的位置. 共軛雙曲線 虛、實易位的孿生弟兄將雙曲線的實、虛軸互易，所得雙曲線方程為：.這兩個雙曲線就是互相共軛的雙曲線.它們有相同的焦

24、距而焦點的位置不同；它們又有共同的漸近線而為漸近線所界定的范圍不一樣；它們的許多奇妙性質(zhì)在解題中都有廣泛的應(yīng)用.【例8】兩共軛雙曲線的離心率分別為，證明：=1.【證明】雙曲線的離心率；雙曲線的離心率. 考點5、直線與雙曲線位置關(guān)系 設(shè)而不求與借舟棄舟同理減少解析幾何計算量的有效方法之一便是設(shè)而不求.請看下例：【例9】雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 【解析】設(shè)弦的兩端分別為.則有：.弦中點為（2，1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而

25、不必真地去求它.但是，“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：【例10】在雙曲線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會有如下解法：【錯解】假定存在符合條件的弦AB，其兩端分別為：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）為弦AB的中點，故存在符合條件的直線AB，其方程為：.這個結(jié)論對不對呢？我們只須注意如下兩點就夠了：其一：將點M（1，1）代入方程，發(fā)現(xiàn)左式=1-1，故點M（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線AB的斜率，而雙曲線的漸近線為.這里，說明所求直

26、線不可能與雙曲線相交，當然所得結(jié)論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點的條件.【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應(yīng)當加以驗證.由這里，故方程（2）無實根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點：只有當時才可能求出k=2.若.說明這時直線與雙曲線只有一個公共點，仍不符合題設(shè)條件.結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線. 練習1(2011安徽高考)雙曲線2x2y28的實軸長是( )A2 B2 C4 D4解析：2x2y28化為標準形式：1，a24.a2.實軸長2a4.2(2011山東高考)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓

27、心，則該雙曲線的方程為( )A.1 B.1 C.1 D.1解析：由題意得，1(a0，b0)的兩條漸近線方程為y±x，即bx±ay0，又圓C的標準方程為：(x3)2y24，半徑為2，圓心坐標為(3,0)a2b2329，且2，解得a25，b24.該雙曲線的方程為1.3.(2012嘉興測試)如圖，P是雙曲線y21右支(在第一象限內(nèi))上的任意一點，A1，A2分別是左、右頂點，O是坐標原點，直線PA1，PO，PA2的斜率分別為k1，k2，k3，則斜率之積k1k2k3的取值范圍是( )A(0,1) B(0，) C(0，) D(0，)解析：設(shè)P(x，y)，則(0，)，且x244y2(x0

28、，y0)，k1k2k3(0，)4(金榜預(yù)測)在平面直角坐標系xOy中，已知ABC的頂點A(5,0)和C(5,0)，頂點B在雙曲線1上，則為( )A. B. C. D.解析：由題意得a4，b3，c5. A、C為雙曲線的焦點，|BC|BA|8，|AC|10.由正弦定理得.5P為雙曲線1的右支上一點，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為( )A6 B7 C8 D9解析：易知兩圓圓心為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)由雙曲線方程知a3，b4，則c5，故兩圓心恰好為雙曲線的兩個焦點|PM|PN|的最大值為如圖所示的情況，即|PM|PN|PF1|F1M|(|PF

29、2|NF2|)|PF1|2|PF2|12a32×339.6(2012南寧模擬)已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的兩個焦點，P為該曲線上一點，若PF1F2為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為( )A.1 B.1C2 D2解析：不妨設(shè)P點在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a.PF1F2是等腰直角三角形，只能是PF2F190°，|PF2|F1F2|2c，|PF1|2a|PF2|2a2c，(2a2c)22·(2c)2，即c22aca20，兩邊同除以a2，得e22e10.e1，e1.7方程1表示雙曲線那么m的取值范圍是_解析：注意分兩種情況一是實軸在x軸上，二是實軸在y

30、軸上依題意有或得m3或3m2.8(2012大連測試)在雙曲線4x2y21的兩條漸近線上分別取點A和B，使得|OA|·|OB|15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點的軌跡方程是_解析：雙曲線4x2y21的兩條漸近線方程為2x±y0，設(shè)A(m,2m)，B(n，2n)，AB中點M(x，y)，則即所以4x2y24mn.由|OA|·|OB|×|m|×|n|15，得|mn|3，所以AB中點的軌跡方程是4x2y2±12，即±1.9雙曲線1(a0，b0)的離心率是2，則的最小值是_解析：24a2b24a23a2b2，則a2，當a，即a時取最

31、小值. 10(2012肇慶模擬)已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(3,0)，一條漸近線的方程是 x2y0.(1)求雙曲線C的方程；(2)若以k(k0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為1(a0，b0)，由題設(shè)得5解得所以雙曲線C的方程為： (2)設(shè)直線l的方程為：1. ykxm(k0)，則點M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐標滿足方程組得1，整理得(54k2)x28kmx4m2200.此方程有兩個不等實根，于是54k20，且(8km)24(54k2)(4m220)0，整理

32、得m254k20.由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點坐標(x0，y0)滿足x0，y0kx0m，從而線段MN的垂直平分線的方程為y(x)此直線與x軸，y軸的交點坐標分別為(，0)，(0，)，由題設(shè)可得|·|，整理得m2，k0.將上式代入式得54k20，整理得(4k25)(4k2|k|5)0，k0，解得0|k|或|k|.所以k的取值范圍是(，)(，0)(0，)(，)10(文用)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線：ykxm(k0，m0)與雙曲線C交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A(0，1)，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)由已知得a