大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)測量誤差精華與深化

1、123 物理實(shí)驗(yàn)以測量為基礎(chǔ)，所謂測量，就是用合適的工具或儀器，通過科學(xué)的方法，將反映被測對象某些特征的物理量（被測物理量）與選作標(biāo)準(zhǔn)單位的同類物理量進(jìn)行比較的過程，其比值即為被測物理量的測量值。4 測量誤差：物理量在一定實(shí)驗(yàn)條件下測量值與真值的偏差。 測量誤差存在于一切測量過程中，可以控制得越來越小，不可能為零。二、測 量 與 誤 差真值：物理量在一定實(shí)驗(yàn)條件下物理量在一定實(shí)驗(yàn)條件下 的客觀存在值的客觀存在值。5 測量值 = = 讀數(shù)值讀數(shù)值( (有效數(shù)字有效數(shù)字)+)+單位單位 有效數(shù)字可靠數(shù)字可疑數(shù)字（可靠數(shù)字可疑數(shù)字（1 1位）位）6圖a測量的有效數(shù)字為2.4cm圖b測量的有效數(shù)字為2

2、.43cm “0” 在其他數(shù)字之間或之后為有效數(shù)字，在之前則不是有效數(shù)字。例如：O.3和0.03都是一位有效數(shù)字，而103.00則是五位有效數(shù)字。 2222/8 . 9/00980. 0/80. 9/980smskmsmscm7加、減法：諸量相加（相減）時(shí)，其諸量相加（相減）時(shí)，其和（差）數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后所應(yīng)保留的位和（差）數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后所應(yīng)保留的位數(shù)與諸數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的一個(gè)數(shù)與諸數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的一個(gè)相同。相同。 4.178 + 21.3 25.478 = 25.58乘、除法：諸量相乘（除）后其積（商）諸量相乘（除）后其積（商）所保留的有效數(shù)字，只須與諸因子中有效所保留的有效數(shù)字，只須與

3、諸因子中有效數(shù)字?jǐn)?shù)字最少的最少的一個(gè)相同。一個(gè)相同。 4.178 10.1 4178 4178 421978=42.29其他單變量函數(shù)其他單變量函數(shù)（比如三角函數(shù)）：（比如三角函數(shù)）： 結(jié)果的有效數(shù)字個(gè)數(shù)與自變量有效數(shù)結(jié)果的有效數(shù)字個(gè)數(shù)與自變量有效數(shù)字個(gè)數(shù)相同。字個(gè)數(shù)相同。10 1 1、非十進(jìn)制單位換算對有效數(shù)字的影響、非十進(jìn)制單位換算對有效數(shù)字的影響 非十進(jìn)制單位換算時(shí)，有效數(shù)字位數(shù)可以改變非十進(jìn)制單位換算時(shí)，有效數(shù)字位數(shù)可以改變。例如時(shí)間 min，1.8為兩位有效數(shù)字，誤差位在O.1min=6s位上。若以秒為單位，應(yīng)寫成： s，誤差位仍在秒位上，并未改變數(shù)據(jù)的精度，但108為三位有效數(shù)字。

4、 ) 1 . 08 . 1 (t)6108(t112 2、十進(jìn)制單位換算對有效數(shù)字的影響、十進(jìn)制單位換算對有效數(shù)字的影響 例如例如80.20g80.20g是四位有效數(shù)字，若用千克單位表示則為是四位有效數(shù)字，若用千克單位表示則為O.08020kgO.08020kg，仍為四位有效數(shù)字。但是用毫克單位表示寫，仍為四位有效數(shù)字。但是用毫克單位表示寫成成80200mg80200mg，就有問題了，因?yàn)榘从行?shù)字規(guī)定，最后一，就有問題了，因?yàn)榘从行?shù)字規(guī)定，最后一位是有誤差的數(shù)，原來數(shù)據(jù)位是有誤差的數(shù)，原來數(shù)據(jù)80.20g80.20g有誤差數(shù)是在有誤差數(shù)是在1/100g1/100g位位上，當(dāng)寫成上，當(dāng)寫成8

5、0200mg80200mg時(shí)有誤差數(shù)是在時(shí)有誤差數(shù)是在1/1000g1/1000g位上，則數(shù)據(jù)位上，則數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性變了。的準(zhǔn)確性變了。 為了解決這個(gè)矛盾，應(yīng)使用所謂為了解決這個(gè)矛盾，應(yīng)使用所謂科學(xué)記數(shù)法科學(xué)記數(shù)法，即把數(shù)，即把數(shù)據(jù)寫成小數(shù)點(diǎn)前只有一位，再乘以據(jù)寫成小數(shù)點(diǎn)前只有一位，再乘以lOlO的冪次來表示。如上的冪次來表示。如上述質(zhì)量數(shù)據(jù)可寫成述質(zhì)量數(shù)據(jù)可寫成8.0208.02010104 4mg mg 或或 8.0208.0201010-2-2kgkg，它們，它們都是四位有效數(shù)字，不會(huì)改變有效數(shù)字的位數(shù)。都是四位有效數(shù)字，不會(huì)改變有效數(shù)字的位數(shù)?？茖W(xué)記數(shù)法：6328063286328107

6、.nmmm12例：例：若需保留四位有效數(shù)字若需保留四位有效數(shù)字 4.327494.327 4.327514.328 4.327504.328 4.328504.328“四舍五入”規(guī)則入的機(jī)會(huì)總是大于舍的機(jī)會(huì)，因而不合理?，F(xiàn)在通用的規(guī)則是： “四舍六入五湊偶四舍六入五湊偶”，即被舍位數(shù)字小于五舍大于五入；等于五時(shí)，若保留的末位數(shù)字為奇數(shù)時(shí)，則加1，為偶數(shù)時(shí)則不變，即把保留的末位數(shù)湊為偶數(shù)。131、有效數(shù)字是測量存在誤差現(xiàn)象的粗略表示，沒有數(shù)據(jù)大小，僅用在測量結(jié)果的可靠數(shù)字與可疑數(shù)字作為區(qū)分。2、有效數(shù)字也是測量誤差的基礎(chǔ)表示，所以其規(guī)則可以通用至其他測量誤差的表示上，比如：最后一位數(shù)字為可疑數(shù)字

7、。3、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則總結(jié)：在運(yùn)算過程中可以保留2位可疑數(shù)字，但最終結(jié)果，只能在最后一位為可疑數(shù)字，其他的必須為可靠數(shù)字。14對一個(gè)待測物理量 x而言： 絕對誤差dx 測量結(jié)果 x 真值（通常用多次測量平均值代替真值）相對誤差：是指某一待測物理量的絕對誤差：是指某一待測物理量的絕對誤差與其測量的最佳值之比，它是沒有量綱的與其測量的最佳值之比，它是沒有量綱的，通常寫成百分比的形式，通常寫成百分比的形式。四、絕對誤差與相對誤差-誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算%100 xxEr注意：相對誤差僅保留注意：相對誤差僅保留12位有效數(shù)字位有效數(shù)字。15 定 義：在在對同一被測量的多次測量過程中，絕對值和對同一被測量的多

8、次測量過程中，絕對值和 符號保持恒定或隨測量條件的改變而按確定符號保持恒定或隨測量條件的改變而按確定 的規(guī)律變化。的規(guī)律變化。 產(chǎn)生原因：由于測量儀器、測量方法、環(huán)境帶入。由于測量儀器、測量方法、環(huán)境帶入。 分類及處理方法：1 1 已定系統(tǒng)誤差：必須修正電表、螺旋測微計(jì)的零位誤差；電表、螺旋測微計(jì)的零位誤差； 測電壓、電流時(shí)由于忽略表內(nèi)阻引起的誤差。測電壓、電流時(shí)由于忽略表內(nèi)阻引起的誤差。2 未定系統(tǒng)誤差：要估計(jì)出分布范圍 如：螺旋測微計(jì)制造時(shí)的螺紋公差等。如：螺旋測微計(jì)制造時(shí)的螺紋公差等。誤 差 來 源 分 析16誤 差 來 源 分 析定 義：在對同一量的多次重復(fù)測量中絕對值和符號以在對同一

9、量的多次重復(fù)測量中絕對值和符號以 不可預(yù)知方式變化的測量誤差分量。不可預(yù)知方式變化的測量誤差分量。產(chǎn)生原因：實(shí)驗(yàn)條件和環(huán)境因素?zé)o規(guī)則的起伏變化，實(shí)驗(yàn)條件和環(huán)境因素?zé)o規(guī)則的起伏變化， 引起測量值圍繞真值發(fā)生引起測量值圍繞真值發(fā)生漲落漲落的變化。的變化。 例如：電表軸承的摩擦力變動(dòng)；螺旋測微計(jì)測力在一定范圍內(nèi)隨機(jī)變化；操作讀數(shù)時(shí)的視差影響17 五、不確定度-誤差現(xiàn)象的理論計(jì)算多次測量的隨機(jī)誤差滿足正態(tài)分布，具有以下特點(diǎn)：多次測量的隨機(jī)誤差滿足正態(tài)分布，具有以下特點(diǎn)：（1）對稱性對稱性:正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相同；正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相同； （2）有界性有界性:存在絕對值最大的誤差；存在絕對值最大

10、的誤差； （3）單峰性單峰性:絕對值小的誤差出現(xiàn)概率大，絕對值大的誤差出現(xiàn)絕對值小的誤差出現(xiàn)概率大，絕對值大的誤差出現(xiàn)概率??；概率??； （4）抵償性抵償性:當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率大致相等，可相互抵消：的概率大致相等，可相互抵消： 小xf(x)18 的分布函數(shù)為為標(biāo)準(zhǔn)差為真值xxf)( 1)(21exp21122nxxxxfnii 小xf(x)。19 標(biāo)準(zhǔn)差?。罕硎緶y得值很密集，隨機(jī)誤差分布范圍窄，測量的精密度高； 標(biāo)準(zhǔn)差大：表示測得值很分散，隨機(jī)誤差分布范圍寬，測量的精密度低。 大 小xf(x)20平均值 假定對一個(gè)物理量

11、進(jìn)行了n次測量， 測得的值為xi (i =1, 2，n) 可以用多次測量的算術(shù)平均值作為被測量的最佳估計(jì)值，測量次數(shù)n為無窮大時(shí)，算術(shù)平均值等于真值。nxxnii/ )(121 有限測量時(shí)，算術(shù)平均值不等于真值，它的標(biāo)準(zhǔn)偏差為： 平均值的偏差多次測量可以減小隨機(jī)誤差多次測量可以減小隨機(jī)誤差22不確定度的計(jì)算及測量結(jié)果表達(dá)式不確定度的計(jì)算及測量結(jié)果表達(dá)式 指用統(tǒng)計(jì)的方法計(jì)算出的不確定度分量指用統(tǒng)計(jì)的方法計(jì)算出的不確定度分量不確定度：是指由于測量誤差的存在而對被測量的真值不能肯定的程度。 1)1) 不確定度的不確定度的 類分量類分量 A指用其他方法計(jì)算出的不確定度分量指用其他方法計(jì)算出的不確定度分

12、量2)2) 不確定度的不確定度的 類分量類分量 B本課程中，近似地?。罕菊n程中，近似地?。簝xB233)3) 總不確定度的合成：總不確定度的合成： 2222儀xBAS直接測量直接測量結(jié)果的表示及其總不確定度的計(jì)算結(jié)果的表示及其總不確定度的計(jì)算 測量結(jié)果的表達(dá)式測量結(jié)果的表達(dá)式： xx3cm08. 044. 9）（V2425有效數(shù)字有效數(shù)字絕對絕對/相對誤差相對誤差不確定度不確定度六、三個(gè)層次誤差分析總結(jié)26六、三個(gè)層次誤差分析總結(jié)271)1) 間接測量結(jié)果的一般表示：間接測量結(jié)果的一般表示： ),(),(zyxFFzyxFF則：令：即：間接測量量的平均值等于將各直接測量量的即：間接測量量的平均值

13、等于將各直接測量量的平均值代入函數(shù)關(guān)系式后的結(jié)果。平均值代入函數(shù)關(guān)系式后的結(jié)果。 2)2) 間接測量結(jié)果的總不確定度：間接測量結(jié)果的總不確定度： 222222)()()(zyxFzFyFxF222222)ln()ln()ln(zyxFzFyFxFF28。及其不確定度環(huán)的體積求高度內(nèi)徑的外徑已知金屬環(huán)例VVhDDcm,)004. 0575. 2(cm,)004. 0880. 2(cm,)004. 0600. 3(212222212cm436. 9575. 2)880. 2600. 3(4)(412hDDV環(huán)體積的對數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)為：解：這是間接測量間接測量問題。環(huán)的體積為：hDDVln)ln(4lnln212229hhVDDDDVDDDDV1ln,2ln,2ln212211212222代入上式：6622222222221222122122222109 .6410)4 . 24 .24