2005-2006《高等數(shù)學(xué)Ⅰ(1)》試題及參考答案

1、2005-2006 學(xué)年高等數(shù)學(xué)I （1）參考答案-2 -2005-2006學(xué)年高等數(shù)學(xué)I （1） »參考答案、填空題（每小題3分，共15分）1、lim(1 -)2ne2 .n n 2、設(shè) y xcos(x2),貝U dyr ,2、 c 2. ,2、 ,cos(x ) 2x sin(x )dx3、設(shè)y y（x）由方程y exy確定，則曲線y y（x）在點(diǎn)x 0處的切線方程為y x 14、 ln ta2nxdxtan xln tanx tan x Ccos x 5、曲線y x3、直線y 1與y軸所圍區(qū)域的面積為3/4二、選擇題（每小題3分，共15分）1 .1、設(shè) f （x） arcta

2、n-,則點(diǎn) x 0為 f （x）的（B ） x（A）可去間斷點(diǎn).（B） 跳躍間斷點(diǎn).（C） 第二類(lèi)間斷點(diǎn).（D） 連續(xù)點(diǎn).2x2、當(dāng) x 0 時(shí)，x 為 0 1n（1 sin t）dt 的（C ）無(wú)窮小.（A）高階 （B） 低階 （C）同階但不等價(jià)（D） 等價(jià)3、設(shè)函數(shù)y y（x）由參數(shù)方程x 2t2 t , 3確定，則要 y 3t 2tdx(A) 3/2.(B)1/2.4、下列結(jié)論正確的是(D )(A)7Ardx 0.(B)1 x(C)3.(D)0.e 1-dx 0.e r(C)萬(wàn)(ex ex)sinxdx 0.(D)21。J x(x 1)( x 1)dx 0 .5、設(shè)a, b為兩個(gè)單位向量

3、，a 2b a,則a與b的夾角為（C ）-2(A) 3.(B)6.(C)IT(D)2005-2006 學(xué)年高等數(shù)學(xué)I (1)參考答案2三、(本題滿分10分)證明不等式：ex 1 x , x 0.22解：令 f (x) 1 x e x,則 f (0) 02f (x)1 x e x且 f (0) 0f (x) 1 e x 0, x (0,)則f (x)單調(diào)增加，有f (x) f (0) 0x2故f (x)單調(diào)增加，有f(x) f (0) 0,即ex 1 x 成立.2四、(本題滿分12分)設(shè)f (x)g(x)/x, xa, x0,其中g(shù)(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且0,-7 -g(0) g (0) 0

4、, g (0) 1.(1)求常數(shù) a,使“*)在(，)內(nèi)連續(xù)；(2)問(wèn) f (x)在點(diǎn)x解:0處是否連續(xù)？(1)顯然，“*)在(，0)和(0,)內(nèi)連續(xù)，要使£陵)在(x 0處連續(xù).故 a f(0) lim f(x) lim-g(x lim g(x)g(0)X0x0x x x 0當(dāng) x 0 時(shí)，f(x) xg(x)2 g(x),x當(dāng)x 0時(shí)，f (x) f (0) g(x) g (x) g (x)f (0) limlim lim limx 0 x 0 x 0 x2x 0 2x x 02)內(nèi)連續(xù)，只需在g(0) 0.2gxg (x) g(x)故 f (x)2x則 limf(x) limx

5、g(x) 2 g(x) limg(x) xg (x) g(x) x 0x 0x2x 02xlim g (x)g(0)1f(0)x 0 222即f(x)在x 0處連續(xù).五、(本題滿分10分)求常數(shù)a,b使點(diǎn)(1,2)為曲線y ax3 bx2的拐點(diǎn)，并求y ax3 bx2的極值.解：y 3ax2 2bx, y 6ax 2b,由(1,2)為曲線yax3 bx2的拐點(diǎn)得:八、a b 26a 2b 0故 yx3 3x2, y得駐點(diǎn)：x3x2又 y (0) 6 0,y (2)66x, y 6x 6 ,2.0,所以有極小值y(0) 0 .極大值y(2)4.(本題滿分16分)求解下列各積分:f- arctan

6、 xx(1 x)V1 sin 2xdx ;(3)利用積分換元法證明4t sin x ,2 7 dx萬(wàn)1 exx4-e sin xdx,并計(jì)算I4t sin x , 27 dx.工1 exarctan x解：(1) -dxx(1 x)arctan xd( x) 1 xarctan xd(arctan x) (arctan x)2 C.sin 2xdx0 | sin x cosx | dx/4° (cosx sin x)dx /4(sin x cosx)dx令xt ,則 dx一時(shí)，t242 sin x ,2 x dx2 1 e(sin x cosx/40cosx sin x) /4 2

7、2 .dt一;當(dāng)x 一時(shí), 222 sin4td t(2 1 edt)sin41dtt - 4 .2 e sin tdtx.42 e sin xdxx故 2I 2x sin xdx21 e2 02 sin4 xdx316f (x)dx ; (2)求曲線 y f (x)與3 11七、(本題滿分10分)設(shè)f(x) x2 - 0 f(t)dt,(1)求0直線yx 1所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積A、1解：(1)設(shè) 0 f (x)dx a ,則 f (x)兩邊同取定積分得：a10 f (x)dxdxa,解得a4(2)由(1)得:f (x) x2 1 .則Vx1 20(x 1)2dx1 2 20(

8、x2 1)2dx715八、(本題滿分分)設(shè) f(x)在0,1上可導(dǎo)，f(0)f(1)0 ,證明：存在(0,1),使2f( ) f ()0.證：由 f (x)在0,1上可導(dǎo)，知 f(x) C0,1,又 f(0)f(1)0,由零點(diǎn)定理知：至少存在一點(diǎn)(0,1), f( ) 0.設(shè)F(x) x2f(x)，則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且F(0) F(0,由羅爾定理知：至少存在一點(diǎn) (0, ) (0,1), F ( ) 0,即 2 f ( )2f ( ) 0,亦即 2f ( ) f ( ) 0 .九、(本題滿分6分)設(shè)f(x)在1,)上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且0 f (x) 1/x2, f(1) 0,(1)證明 lim f (n)存在； (2) 若 f(x)還滿足 f(x) 1 1/五，求 lim f (n).nnxx解及證：(1) 0 f (x) 1/x2, f(1) 01 f (t)dt 1 1/t2dt,1得 f(x) 1