第六節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系PPT課件

1、第六節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 一、一、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)二、由調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)三、小結(jié)與思考機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2一、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)一、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)1. 兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系 ,)( 內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)解解析析函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)Divuzfw . , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 從而從而根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理, 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3 , 數(shù)數(shù)具具有有任任意意階

2、階的的連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)與與 vu, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu從而從而, 0 2222 yvxv同理同理機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4定義定義. ),( 0, , ),( 2222內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域那末稱那末稱并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具內(nèi)具在區(qū)域在區(qū)域如果二元實(shí)變函數(shù)如果二元實(shí)變函數(shù)DyxyxDyx 拉普拉斯拉普拉斯另外另外2222yx 是一種運(yùn)算符號(hào)，稱為是一種運(yùn)算符號(hào)，稱為拉普拉斯算子拉普拉斯算子.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 52. 共軛調(diào)和

3、函數(shù)的定義共軛調(diào)和函數(shù)的定義 定理定理 函數(shù)函數(shù) f (z) = u + iv 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析的充分必內(nèi)解析的充分必要條件是要條件是v(x, y)是是u(x, y)的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù).定義定義設(shè)設(shè)u(x, y), v(x, y)都是區(qū)域都是區(qū)域 D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，若若 u(x, y), v(x, y) 滿足滿足C-R方程，方程，則稱則稱v(x, y)是是u(x, y)的的共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 61. 偏積分法偏積分法 利用利用CR方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù) v, 從而構(gòu)從而構(gòu)成

4、一個(gè)解析函數(shù)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi. 這種方法稱為這種方法稱為偏積分法偏積分法.解解例例1 . ),( , 3),( 23數(shù)數(shù)和和由由它它們們構(gòu)構(gòu)成成的的解解析析函函共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)并并求求其其為為調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)證證明明yxvxyxyxu ,6 xyyu 因?yàn)橐驗(yàn)?6 22xyu ,33 22yxxu ,6 22xxu 二、由調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)二、由調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7, 0 2222 yuxu于是于是 . ),( 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)故故yxu,33 22yxxuyv 因?yàn)橐驗(yàn)?yyxyxvd)33(),(22),(332

5、xyyx ),(6xxyxv yuxv 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤y6 )(6xxy 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8,)( Cx 故故,3),(32cyyxyxv 得一個(gè)解析函數(shù)得一個(gè)解析函數(shù))3(3)(3223Cyyxixyxivuzf .3iCz 答案答案課后練習(xí)課后練習(xí). , 236),( 3223并求其共軛調(diào)和函數(shù)并求其共軛調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)為為證明證明yxyyxxyxu .263),(3322cxyxyyxyxv ) (為任意常數(shù)為任意常數(shù)C機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 92. 不定積分法不定積分法. , ),( ),( 不不定

6、定積積分分法法求求解解析析函函數(shù)數(shù)的的方方法法稱稱為為用用不不定定積積分分或或已已知知調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)yxvyxu不定積分法的實(shí)施過(guò)程不定積分法的實(shí)施過(guò)程: , )( )( 仍為解析函數(shù)仍為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù)zfivuzf xxivuzf )( 且且yxiuu xyivv , 來(lái)表示來(lái)表示用用與與把把zivviuuxyyx ),()(zUiuuzfyx ),()(zVivvzfxy 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 10將上兩式積分將上兩式積分, 得得,d)()(czzUzf ,d)()(czzVzf , )( zfu求求適用于已知實(shí)部適用于已知實(shí)部

7、 , )( zfv 求求適用于已知虛部適用于已知虛部機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11例例2 2).( 1)( , )( , . , 22zfifivuzfvkyxuk的的并求并求為解析函數(shù)為解析函數(shù)使使再求再求為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)使使值值求求 解解根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得, 1 k,2 xxu 因?yàn)橐驗(yàn)? 2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu yxiuuzUzf )()( 因?yàn)橐驗(yàn)閗yix22 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12kyix22 yix22 ,2z zzzfd2)( 根據(jù)不定積分法根據(jù)不定積

8、分法,2cz , 1)( if由由 , 0 c得得所求解析函數(shù)為所求解析函數(shù)為.2)(222zxyiyxzf 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 13用不定積分法求解解析函數(shù)用不定積分法求解解析函數(shù) yxiuuzUzf )()()2(322yxyixi ,32iz zizzfd3)(2,13ciz .3),( 23yxyyxu 實(shí)部實(shí)部答案答案 ) ( 為任意實(shí)常數(shù)為任意實(shí)常數(shù)c).()( 3czizf 故故)(zf練習(xí)：練習(xí)：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 14例例3 3 解解.)( ),(2)4)( 22ivuzfyxyxyxyxvu 試

9、確定解析函數(shù)試確定解析函數(shù)已知已知, 2)42)()4(22 yxyxyxyxvuxx兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù), 2)24)()4(22 yxyxyxyxvuyy , , xvyuyvxu 且且所以上面兩式分別相加減可得所以上面兩式分別相加減可得機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 15, 23322 yxvy,6xyvx xyivvzf )(xyiyx623322 , 232 z zzzfd)23()(2.23czz ) ( 為任意實(shí)常數(shù)為任意實(shí)常數(shù)c機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 16三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了調(diào)和函數(shù)的概念、解析函數(shù)本節(jié)我們學(xué)習(xí)了調(diào)和函數(shù)的概念、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系以及共軛調(diào)和函數(shù)的概念與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系以及共軛調(diào)和函數(shù)的概念.應(yīng)應(yīng)注意注意的是的是: 1. 任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u與與v所構(gòu)成的所構(gòu)成的函數(shù)函數(shù)u+iv不一定是解析函數(shù)不一定是解析函數(shù). 2. 滿足柯西滿足柯西黎曼方程黎曼方程ux= vy, vx= uy,的的v稱為稱為u的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù), u與與v注意的是地位不能顛倒注意的是地位不能顛倒.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .作業(yè)：作業(yè)：P48 17 (1) (3)機(jī)