專題31第6章四邊形之與正方形有關(guān)的垂線備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）（解析版）

1、31第6章四邊形之與正方形有關(guān)的垂線一、單選題1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)分別在軸的正半軸上，則四邊形的面積為（ ）ABCD【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)P作，證明，再根據(jù)面積計(jì)算即可；【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作，點(diǎn)的坐標(biāo)為，PM=PN，又，故答案選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四邊形與坐標(biāo)系結(jié)合，全等三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確判斷計(jì)算是解題的關(guān)鍵2如圖，點(diǎn)，點(diǎn)在射線上勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中以為對(duì)稱中心，為一個(gè)頂點(diǎn)作正方形，當(dāng)正方形的面積為40時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）ABCD【答案】D【分析】作軸于，軸于E，根據(jù)的坐標(biāo)求得直線的斜率，進(jìn)一步得出直線的斜率為，通過(guò)證得，得出，可設(shè)，則，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得

2、直線的斜率為，整理得，然后根據(jù)勾股定理得出，代值求解即可【詳解】解：作軸于，軸于E，設(shè)直線的解析式為，點(diǎn)四邊形是正方形，直線的斜率為又，又，設(shè)，則設(shè)直線的解析式為，解得：整理得：正方形面積為40在中，即：解得：故答案選B【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)直線的斜率列出方程是解題的關(guān)鍵二、填空題3如圖，正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，則四邊形的面積為：_【答案】9【分析】根據(jù)SAS判斷，從而得到四邊形EBFD的面積=正方形ABCD的面積，計(jì)算即可；【詳解】四邊形ABCD是正方形，四邊形EBF

3、D的面積=正方形ABCD的面積=9故答案是9【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵4正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)（0，4），B點(diǎn)的坐標(biāo)（3，0），則點(diǎn)D的坐標(biāo)是_【答案】（4，1）【分析】過(guò)點(diǎn)D作DEy軸于E，由“AAS”可證ABODAE，可得AEOB，DEOA，即可求解【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DEy軸于E，BAO+DAEADE+DAE90°，BAOADE，在ABO和DAE中，ABODAE（AAS），AEOB，DEOA，A（0，4），B（3，0），OA4，OB3，OE431，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1）【點(diǎn)評(píng)】本

4、題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵5如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)B作BGAE于G，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F使CFB45°，延長(zhǎng)FC、AE交于點(diǎn)M，連接DF、BM，若C為FM中點(diǎn)，BM5，則FD的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【分析】過(guò)C點(diǎn)作CHBF于H點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BKCM于K，過(guò)D作DQMF交MF延長(zhǎng)線于Q，只要證明AGBBHC，BKCCQD即可解決問(wèn)題【詳解】解：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CHBF于H點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BKCM于K，過(guò)D作DQMF交MF延長(zhǎng)線于QCFB45°CHHF，ABG+BAG90°，F(xiàn)BE+AB

5、G90°，BAGFBE，AGBF，CHBF，AGBBHC90°，在AGB和BHC中，AGBBHC，BAGHBC，ABBC，AGBBHC（AAS），AGBH，BGCH，BHBG+GH，BHHF+GHFG，AGFG；CHGF，CHGM，C為FM的中點(diǎn)，CHGM，BGGM，BM5，BG，GM2，AG2，AB5，HF，CF×，CM，CKCMCF，BK，在BKC和CQD中，CBKDCQ，BKCCQD90°，BCCD，BKCCQD（AAS），CQBK，DQCK，QFCQCF，DQQF，DF×故答案為【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判

6、定及性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)和正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵6如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上，若點(diǎn)在正方形的某一邊上，滿足，且與的交點(diǎn)為則_【答案】或【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，點(diǎn)F在AD上或點(diǎn)F在AB上，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，即可得到CM的長(zhǎng)【詳解】解：分兩種情況：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，由CF=BE，CD=BC，BCE=CDF=90°可得，RtBCERtCDF（HL），DCF=CBE，又BCF+DCF=90°，BCF+CBE=90°，BMC=90°，即CFBE，BC=4，CE=3，BCE=9

7、0°，BE=5，CM=；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，同理可得，RtBCFRtCBE（HL），BF=CE，又BFCE，四邊形BCEF是平行四邊形，又BCE=90°，四邊形BCEF是矩形，CM=BE=×5=故答案為：或【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件7如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作交CE的延長(zhǎng)線于先證明，得到，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)定義即可求解【詳解】解：如圖，

8、過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作交CE的延長(zhǎng)線于，四邊形是正方形，易求又，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵8如圖在直線上一次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S12S22S3S4=_【答案】6【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到ABD=90°，AB=DB，再根據(jù)等角的余角相等得到CAB=DBE，則可根據(jù)“AAS”判斷ABCBDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=B

9、D2，代換后有DE2+AC2=BD2，根據(jù)正方形的面積公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同樣方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通過(guò)計(jì)算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6【詳解】解：如圖，圖中的四邊形為正方形，ABD=90°，AB=DB，ABC+DBE=90°，ABC+CAB=90°，CAB=DBE，在ABC和BDE中， ，ABCBDE（AAS），AC=BE，DE2+BE2=BD2，DE2+AC2=BD2，S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，S1+

10、2S2+2S3+S4=1+2+3=6故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)9如圖，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的邊長(zhǎng)分別為2，3，H為線段DF的中點(diǎn)，則BH_【答案】【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理可以求得DF的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到DBF的形狀，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到BH的長(zhǎng)【詳解】解：延長(zhǎng)DC交FE于點(diǎn)M，連接BD、BF，正方形ABCD，BEFG的邊長(zhǎng)分別為2，3，DM5，MF1，DMF90&

11、#176;，DF，BD、BF分別是正方形ABCD，BEFG的對(duì)角線，DBC=GBF=90，DBF90°，DBF是直角三角形， 點(diǎn)H為DF的中點(diǎn)，BHDF，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答10如圖，直線l1/l2/l3，正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在l1、l2、l3上，l1、l2之間的距離是3，l2、l3之間的距離是4，則正方形ABCD的面積為_(kāi)【答案】25【分析】畫(huà)出1到2，2到3的距離，分別交2，3于E，F(xiàn)，通過(guò)證明ABEBCF，得出BF=AE，再由勾股定理即可得出結(jié)論

12、【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AEl2，過(guò)點(diǎn)C作CFl2，CBF+BCF=90°，四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，DAB=ABC=BCD=CDA=90°，ABE+CBF=90°，ABE=BCF，在ABE和BCF中，ABEBCF（AAS）BF=AE，123，且l1、l2之間的距離是3，l2、l3之間的距離是4，BF=AE=3，CF=4,BF2+CF2=BC2，BC2=42+32=25故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形面積的求解方法證得ABEBCF是解題的關(guān)鍵11如圖所示，直線a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A

13、，分別過(guò)正方形的頂點(diǎn)B、D作BFa于點(diǎn)F，DEa于點(diǎn)E，若DE8，BF5，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】13【分析】本題是典型的一線三角模型，根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形兩個(gè)銳角互余以及等量代換可以證得AFBAED；然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知AFDE、BFAE，所以EFAF+AE13【詳解】解：ABCD是正方形（已知），ABAD，ABCBAD90°；又FAB+FBAFAB+EAD90°，F(xiàn)BAEAD（等量代換）；BFa于點(diǎn)F，DEa于點(diǎn)E，在RtAFB和RtAED中， ，AFBDEA（AAS），AFDE8，BFAE5（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），EFAF+AEDE+BF8+51

14、3故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及熟悉一線三角模型是解本題的關(guān)鍵12如圖，邊長(zhǎng)一定的正方形ABCD，Q為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ交BD于點(diǎn)M，過(guò)M作MNAQ交BC于點(diǎn)N，作NPBD于點(diǎn)P，連接NQ，下列結(jié)論：AMMN；MPBD；BNDQNQ；為定值一定成立的是_【答案】【分析】如圖1，連接AC、AN，AC交BD于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得A，B，N，M四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可得ANMNAM45°，于是可判斷；由余角的性質(zhì)可得HAMPMN，從而可利用AAS證明RtAHMRtMPN，可得MPAH，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可判斷；如圖2，將ADQ繞點(diǎn)

15、A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ABR，使AD和AB重合，連接AN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和SAS可推得RANQAN，進(jìn)而可得RN=QN，進(jìn)一步即可判斷；如圖3，作MSAB于S，MWBC于W，由題意易得四邊形SMWB是正方形，進(jìn)一步即可推出AMSNMW，可得ASNW，進(jìn)而得ABBN2BW，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷，于是可得答案【詳解】解：如圖1，連接AC、AN，AC交BD于點(diǎn)H，四邊形ABCD是正方形，ACBD，AC=BD，AH=CH，DBCABD45°，AMNABC90°，A，B，N，M四點(diǎn)共圓，NAMDBC45°，ANMABD45°，ANMNAM4

16、5°，AMMN，故正確；MAH+AMH=90°，PMN+AMH=90°，HAMPMN，AHMMPN=90°，AMMN， RtAHMRtMPN（AAS），MPAHACBD，故正確；如圖2，將ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ABR，使AD和AB重合，連接AN，則AR=AQ，BAR=DAQ，ABR=ADQ=90°，R、B、N三點(diǎn)在同一直線上，BANQADNAQ45°，RAN=QAN=45°，又AN=AN，RANQAN（SAS），RN=QN，即BNDQNQ，故正確；如圖3，作MSAB，垂足為S，作MWBC，垂足為W，點(diǎn)M是對(duì)

17、角線BD上的點(diǎn)，四邊形SMWB是正方形，有MSMWBSBW，AMN=SMW=90°，AMS=NMW，又ASM=NWM=90°，AMSNMW（ASA），ASNW，ABBNSBBW2BW，BW：BM1，故正確故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題是正方形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)和判定、四點(diǎn)共圓、圓周角定理的推論、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)、具有相當(dāng)?shù)碾y度，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵三、解答題13如圖，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接A

18、E，BG（1）試猜想線段BG和AE的關(guān)系（直接寫(xiě)出答案，不用證明）；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) （0°60°），判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)利用圖證明你的結(jié)論；（3）若BCDE4，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，AE最大？并求出此時(shí)AF的值【答案】（1）BGAE，BGAE，見(jiàn)解析；（2）結(jié)論成立，BGAE，BGAE，見(jiàn)解析；（3）當(dāng)為270°時(shí)，AE最大，AF【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出ADEBDG就可以得出結(jié)論（2）如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出ADEBDG就可以得出結(jié)論（3）由（2）可知B

19、G=AE，當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結(jié)論【詳解】解：（1）結(jié)論：BGAE，BGAE理由：如圖1，延長(zhǎng)EA交BG于KABC是等腰直角三角形，BAC90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，ADBC，BDCD，ADBADC90°四邊形DEFG是正方形，DEDG在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），BGAE，BGDAED，GAKDAE，AKGADE90°，EABG（2）結(jié)論成立，BGAE，BGAE理由：如圖2，連接AD，延長(zhǎng)EA交BG于K，交DG于O在RtBAC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，ADBD，ADBC，ADG+GDB90°四邊形EFGD為正

20、方形，DEDG，且GDE90°，ADG+ADE90°，BDGADE在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），BGAE，BGDAED，GOKDOE，OKGODE90°，EABG（3）BGAE，當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270°時(shí)，BGAEBCDE4，BG2+46AE6在RtAEF中，由勾股定理，得AF，AF【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵14如圖1，已知正方形和正方形，點(diǎn)在同一直線上，連接，

21、與相交于點(diǎn)（1）求證：（2）如圖2，是邊上的一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且求證：；若，直接寫(xiě)出的值【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出BC=CD，CE=CF，BCE=DCF=90°，由SAS證明BCEDCF，得出對(duì)應(yīng)邊相等BE=FD；（2）由正方形的性質(zhì)得出CD/GE，得出，從而得到，再結(jié)合已知條件利用比例的性質(zhì)即可得證由得出，結(jié)合可得，從而即可得出的值【詳解】解：（1）四邊形ABCD和四邊形CEGF是正方形，BC=CD=AB，CE=CF，BCE=DCF=90°BCEDCF（SAS），BE=FD；（2）四邊形ABCD和四邊形CEGF是正方形，CD/GE

22、，GF=EC，BC=CDAB=CD【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、相全等三角形的性質(zhì)和判定，得出是解題的關(guān)鍵15如圖，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點(diǎn)，DEAG于點(diǎn)E，BFDE，且交AG于點(diǎn)F（1）求證：；（2）求證：DEBFEF；（3）若AB2，BG1，求線段EF的長(zhǎng)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得ABAD，ABCBAD90°，根據(jù)DEAG，利用直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得BAFADE，利用AAS即可證明ADEBAF；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=AF，BF=AE，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得結(jié)論；（3

23、）利用勾股定理可求出AG的長(zhǎng)，利用面積法可求出BF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理可求出AF的長(zhǎng)，根據(jù)BF=AE，EF=AF-AE即可得答案【詳解】（1）四邊形ABCD是正方形，ABAD，ABCBAD90°，DEAG，AEDDEF90°，BFDE，AFBDEFAED90°，BAFDAEADEDAE90°BAFADE在ABF和DAE中，ADEBAF（2）DAEABF，AEBF，DEAFAFAEEF，DEBFEF（3）ABC90°，AG2AB2BG212225，SABG，在RtABF中，AF2AB2BF222，AF=，AE=BF，EF=AF-AE，【點(diǎn)評(píng)】本

24、題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明ABFDAE，此題難度一般16如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF與DE相交于點(diǎn)M，且BAFADE（1）如圖1，求證：AFDE；（2）如圖2，AC與BD相交于點(diǎn)O，AC交DE于點(diǎn)G，BD交AF于點(diǎn)H，連接GH，試探究直線GH與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在（1）（2）的基礎(chǔ)上，若AF平分BAC，且BDE的面積為4+2，求正方形ABCD的面積【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）GHAB，見(jiàn)解析；（3）12+8【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明BAF+AED90°即可解

25、決問(wèn)題（2）證明ADFBAF（ASA），推出AEBF，由AECD，推出，由BFAD，推出，由AEBF，CDAD，推出可得結(jié)論（3）如圖21中，在AD上取一點(diǎn)J，使得AJAE，連接EJ設(shè)AEAJa利用三角形的面積公式構(gòu)建方程求出a即可解決問(wèn)題【詳解】（1）證明：如圖1中，四邊形ABCD是正方形，DAEABF90°，ADEBAF，ADE+AEDBAF+AED90°，AME90°，AFDE（2）解：如圖2中結(jié)論：GHAB理由：連接GHADAB，DAEABF90°，ADEBAF，ADEBAF（ASA），AEBF，AECD，BFAD，AEBF，CDAD，GHAB（

26、3）解：如圖21中，在AD上取一點(diǎn)J，使得AJAE，連接EJ設(shè)AEAJaAF平分BAC，BAC45°，BAFADE22.5°，AEAJa，EAJ90°，AJE45°，AJEJED+JDE，JEDJDE22.5°，EJDJa，ABADa+a，AEAJ，BEDJa，SBDE4+2，×a×（a+a）4+2，解得a24，a2或2（舍棄），AD2+2，正方形ABCD的面積12+8【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)和平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵17如圖

27、，在正方形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，、分別在、上，且，連接、，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)及SAS定理證AOEDOF，得出AE=DF即可；（2）由AOEDOF得出OEA=OFD，證出OAE+OFD=90°，得出AMF=90°，即可得出結(jié)論【詳解】（1）四邊形是正方形， 又，即， 在和中， ； （2）由（1）得：， ， ，【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)全等的證明和利用等角代換解題，屬于中考?？碱}型18如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，E

28、是邊CD上一點(diǎn)，DE=6， BFAE于點(diǎn)F (1)求證：ADEBFA；(2)求BF的長(zhǎng)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和垂直的定義可證D=AFB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可證ABF=DAE，從而可證ADEBFA；（2）先根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求解即可【詳解】解：（1）四邊形ABCD是正方形，D=BAD=90°，DAE+BAF=90°，BFAE，AFB=90°，D=AFB，ABF+BAF=90°，ABF=DAE，ADEBFA；（2）AD=8，DE=6，AE=，ADEBFA，BF=【點(diǎn)評(píng)】本題

29、主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵19四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)在邊所在的直線上，連接，以為直角頂點(diǎn)在右側(cè)作等腰，連接（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，且三點(diǎn)共線時(shí)，_；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，且時(shí)，求的長(zhǎng)：（3）若點(diǎn)在邊所在直線上，且，求的長(zhǎng)【答案】（1）6；（2）；（3）1或3【分析】（1）易證得四邊形CDMF和四邊形ANEM都是矩形，證得RtEMNRtFCM，得到MF= NE=BF=2，EM=FC=4，即可求得BN的長(zhǎng)；（2）易證得四邊形CDGH和四邊形ANHG都是矩形，證得RtCDMRtMGN，求得NH=，BH=AG=

30、AM+MG，利用勾股定理即可求得BN的長(zhǎng)；（3）分點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)、點(diǎn)M在點(diǎn)D右側(cè)、點(diǎn)M在線段AD上三種情況討論，分別利用勾股定理構(gòu)造方程即可求解【詳解】（1）過(guò)M作EFAB，過(guò)N 作NEEF于E，延長(zhǎng)CB交EF于F，如圖所示：又四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，四邊形CDMF和四邊形ANEM都是矩形，MF=CD=2，NE=BF，BN=EF，NMC=90，MN=MC，NMC=NEM=MFC=90，EMN+CMF=90，F(xiàn)CM +CMF=90，EMN=FCM，RtEMNRtFCM，MF= NE=2，則NE=BF=2，EM=FC=BF+BC=2+2=4，BN=EF=EM+MF=4+2=6；（2）過(guò)N作GHAB

31、，延長(zhǎng)AD、BC交GH于G、H，如圖所示：又四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，四邊形CDGH和四邊形ABHG都是矩形，GH=CD=2，AG=BH，DG=CH，AM=，DM=，同理可證得RtCDMRtMGN，GN=DM=，MG=CD=2，NH= GH-GN=2-，BH=AG=AM+MG=，BN=；（3）點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)，過(guò)M作EFAB，過(guò)N 作NEEF于E，延長(zhǎng)CB交EF于F，延長(zhǎng)BA交NE于G，如圖所示：又四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，四邊形CDMF、四邊形BFEG和四邊形AMEG都是矩形，MF=CD=2，AG=ME，EG=FB=AM，同理可證得RtNEMRtMFC，MF= EN=2，EM=FC，設(shè)，則，在中，

32、整理得：，(舍去)，；點(diǎn)M在點(diǎn)D右側(cè)，過(guò)N作EFAB，延長(zhǎng)AD、BC交EF于F、E，如圖所示：同理可得：EF=CD=2，BE=AF，同理可證得RtCDMRtMFN，F(xiàn)N=DM，MF=CD=2，設(shè)，則，在中，整理得：解得：(舍去)，；點(diǎn)M在線段AD上，過(guò)M作EFAB，過(guò)N 作NEEF于E，延長(zhǎng)BA交NE延長(zhǎng)線于H，如圖所示：同理可得：MF=CD=2，HE=AM=BF，BH=EF，同理可證得RtEMNRtFCM，EN=MF=2，F(xiàn)M=FC，設(shè)，則，F(xiàn)C=BC-BF=,，在中，解得：(舍去)，(舍去)，綜上所述AM的值為1或3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，

33、等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵20在正方形中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，于，交直線于點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)(如圖1)，線段與的數(shù)量關(guān)系是_（2）若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，（1）探究的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明：如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖3，將邊長(zhǎng)為的正方形折疊，使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)、分別在邊、上，請(qǐng)直接寫(xiě)出折痕的長(zhǎng)【答案】（1）EF=AG；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）利用ASA證明ABEDAG全等即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作FMAE，垂足為M，利用ASA證明ADGFME，即可得到結(jié)論；

34、（3）過(guò)點(diǎn)Q作QHAD于H，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得PQAM，然后求出APQ=AMD，再利用“角角邊”證明ADMQHP，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得QP=AM，再利用勾股定理列式求出AM，從而得解【詳解】解：（1）四邊形ABCD是正方形，BAE=ADG=90°，AB=AD，ABE+AEB=90°，EFAG，AEB+DAG=90°，ABE=DAG，ABEDAG（ASA），EF=BE=AG；（2）成立，理由是：過(guò)點(diǎn)F作FMAE，垂足為M，四邊形ABCD是正方形，BAE=ADG=90°，AD=CD，MF=CD=AD，EMF=90°，E+EFM=90&#

35、176;，EFAH，HAE+E=90°，HAE=EFM，ADGFME（ASA），EF=AG；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QHAD于H，則四邊形ABQH中，HQ=AB，由翻折變換的性質(zhì)得PQAM，APQ+DAM=90°，AMD+DAM=90°，APQ=AMD，四邊形ABCD是正方形，AD=AB，HQ=AD，在ADM和QHP中，ADMQHP（AAS），QP=AM，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，DM=CD=3，在RtADM中，由勾股定理得，AM=，PQ的長(zhǎng)為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換的問(wèn)題，折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵21在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.當(dāng)點(diǎn)落在該拋物線上時(shí)，求的值；（3）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作圖示一側(cè)的正方形，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小與位置也隨之改變，當(dāng)頂點(diǎn)或恰好落在軸上時(shí)，求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）.（2）或.（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，.【分析】（1）將和點(diǎn)代入解析式解方程即可；（2）將的坐標(biāo)表示，把坐標(biāo)代入解析式求m即可；（3）利用正方形性質(zhì)和一線三直角幾何模型，找到全等三角形，根據(jù)直角邊解方程即可.【詳解】（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).得，解得拋物線的解析式為.（2）與關(guān)于