控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及時(shí)間響應(yīng)概述

1、第四章第四章 控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) ( (時(shí)間響應(yīng)）時(shí)間響應(yīng)）數(shù)學(xué)模型-采用不同的分析方法來(lái)分析系統(tǒng)的性能。 時(shí)域分析法時(shí)域分析法-系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下，其輸出響應(yīng)隨時(shí)間變化規(guī)律的方法。 對(duì)于任何一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，輸出響應(yīng)含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量。 瞬態(tài)分量瞬態(tài)分量 由于輸入和初始條件引起的，隨時(shí)間的推移而趨向消失的響應(yīng)部分，它提供了系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程中的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能的信息。 穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量 過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后,系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能或誤差。 時(shí)域響應(yīng)時(shí)域響應(yīng)：系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下，其輸系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下，其輸出隨時(shí)間的變化過(guò)程，即為系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)出隨時(shí)間的

2、變化過(guò)程，即為系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。 瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在輸入信號(hào)的作用下其系統(tǒng)在輸入信號(hào)的作用下其 輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在輸入信號(hào)的作用下，系系統(tǒng)在輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)在時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)的輸出狀態(tài)統(tǒng)在時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)的輸出狀態(tài)。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也稱也稱靜態(tài)靜態(tài)，瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)也稱為也稱為過(guò)渡過(guò)程過(guò)渡過(guò)程在分析時(shí)域響應(yīng)時(shí)，選擇典型輸入信號(hào)的好處：在分析時(shí)域響應(yīng)時(shí)，選擇典型輸入信號(hào)的好處：數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單。給定典型系統(tǒng)下的性能指標(biāo)，便數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單。給定典型系統(tǒng)下的性能指標(biāo)，便于分析、設(shè)計(jì)系統(tǒng)。于分析、設(shè)計(jì)系統(tǒng)。典型輸入的響

3、應(yīng)往往可以作為分析復(fù)雜輸入時(shí)的典型輸入的響應(yīng)往往可以作為分析復(fù)雜輸入時(shí)的系統(tǒng)性能的依據(jù)。系統(tǒng)性能的依據(jù)。便于進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。便于進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。 總結(jié)：選擇哪種函數(shù)作為典型輸入信號(hào)，應(yīng)總結(jié)：選擇哪種函數(shù)作為典型輸入信號(hào)，應(yīng)視不同系統(tǒng)的具體工作條件而定。視不同系統(tǒng)的具體工作條件而定。 控制系統(tǒng)的輸入量隨時(shí)間變化控制系統(tǒng)的輸入量隨時(shí)間變化斜坡函數(shù)斜坡函數(shù) 導(dǎo)彈發(fā)射導(dǎo)彈發(fā)射脈沖函數(shù)脈沖函數(shù) 往復(fù)運(yùn)動(dòng)往復(fù)運(yùn)動(dòng)正弦正弦 突然閉合斷點(diǎn)突然閉合斷點(diǎn)階躍階躍4-14-1、一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)、一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階能夠用一階微分方程描

4、述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。它的典型形式是一階慣性環(huán)節(jié)，即系統(tǒng)。它的典型形式是一階慣性環(huán)節(jié)，即 T T為時(shí)間常數(shù)為時(shí)間常數(shù)，T0T0( )1( )1OiXsX sTs一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 進(jìn)行拉氏反變換，得進(jìn)行拉氏反變換，得( )1( )ix tt1( )iX ss11111( )111oTXsTsssTsssT1( )1tTox te txo(t)T5T斜率=1/T0.6322T3T4T0.6320.8650.950.9820.993當(dāng)初始條件為零時(shí)，單位階躍響應(yīng)的變化函數(shù)是單調(diào)上升的指數(shù)曲線；1為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量 （衰減系數(shù)為 1/T）；當(dāng)t時(shí) ，瞬態(tài)分量衰

5、減為零；不會(huì)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值1。-非周期響應(yīng)。TtetC1)()0( tTte響應(yīng)曲線的初始（t=0時(shí)）斜率為 .如果系統(tǒng)保持初始響應(yīng)的變化速度不變，則當(dāng)t=T時(shí)，輸出量就能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。響應(yīng)曲線的斜率是不斷下降的，t=T，輸出量c(t)從零上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%;t=3T4T，c(t)將分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%98%。-時(shí)間常數(shù)T反應(yīng)了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，T越小，輸出響應(yīng)上升越快，響應(yīng)過(guò)程的快速性也越好。 T1斜率T11C(t)0.95T3T0.632 由c(t)表達(dá)式可知，只有當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)，響應(yīng)的瞬態(tài)過(guò)程才能結(jié)束，在實(shí)際應(yīng)用中，常以輸出量達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%或98%的時(shí)間作為系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間（即調(diào)節(jié)時(shí)

6、間），這時(shí)輸出量與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差為5%或2%。 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可用實(shí)驗(yàn)的方法確定，將測(cè)得的曲線與圖4-2的曲線作比較，就可以確定該系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)或等效為一階系統(tǒng)。 用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零值開始到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時(shí)間，就可以確定系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T。單位脈沖響應(yīng)為由此可見，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉氏變換。 TsTTsSC1111)(TteTtC1)(T1T121T 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)下降的指數(shù)曲線，曲線的初始斜率為 ，輸出量的初始值為 。t時(shí)，輸出量c()零，所以它不存在穩(wěn)態(tài)分量。一般認(rèn)為在t=3T4T時(shí)過(guò)渡過(guò)程結(jié)束，故系統(tǒng)過(guò)度過(guò)程的

7、快速性取決于T的值，T越小，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性也越好。一階系統(tǒng)的特權(quán)性由參數(shù)T來(lái)表述，響應(yīng)時(shí)間為T；在t=0時(shí)，單位階躍響應(yīng)的斜率和單位脈沖響應(yīng)的幅值均為1/T 。 21TT1 式中，t-T為穩(wěn)態(tài)分量 為瞬態(tài)分量，當(dāng)t時(shí)，瞬態(tài)分量衰減到零。TsTsTssTssC11111)(22)1 ()(TtTteTtTeTttCTtTe21)(ssR系統(tǒng)的響應(yīng)從t=0時(shí)開始跟蹤輸入信號(hào)而單調(diào)上升，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，它與輸入信號(hào)同速增長(zhǎng)，但它們之間存在跟隨誤差?？梢?，當(dāng)t，誤差T，即：系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，在任一時(shí)刻，輸出量c(t) 將小于輸入量r(t)一個(gè)T的值，時(shí)間常數(shù)T越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差也越

8、小。)1 ()()()(TteTtctrteTtet)(lim 由上可見，由上可見，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)響數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。而系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分。而系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)響的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)響應(yīng)的積分。積分常數(shù)由初始條件確應(yīng)的積分。積分常數(shù)由初始條件確定。這是定。這是線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要的一個(gè)重要特性。特性。4-3 4-3 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。從物理上講，二階系統(tǒng)總包含兩個(gè)貯能源，從物理

9、上講，二階系統(tǒng)總包含兩個(gè)貯能源，能量在兩個(gè)元件間交換，引起系統(tǒng)具有往能量在兩個(gè)元件間交換，引起系統(tǒng)具有往復(fù)振蕩的趨勢(shì)。當(dāng)阻尼不夠充分大時(shí)，系復(fù)振蕩的趨勢(shì)。當(dāng)阻尼不夠充分大時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出振蕩的特性，所以二階系統(tǒng)也稱統(tǒng)呈現(xiàn)出振蕩的特性，所以二階系統(tǒng)也稱為二階振蕩環(huán)節(jié)。為二階振蕩環(huán)節(jié)。 二階系統(tǒng)的典型傳函：二階系統(tǒng)的典型傳函：222( )( )2oninnXsX sss-阻尼比，阻尼比，n-無(wú)阻尼自然頻率無(wú)阻尼自然頻率 二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)形式二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)形式： 其中，其中， 22()1()21oiXsXsTsT s1nT222( )( )2oninnXsX sss一、二階系統(tǒng)的單位階躍

10、響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1 1、0 01 1，稱為欠阻尼。，稱為欠阻尼。 -阻尼自然頻率。阻尼自然頻率。 21,21nnndsjj2( )( )onindndXsX ssjsj21dn( )1ix t 1( )iX ss22222( )1( )( )( )1onoiindndnnndndX sX sX sX ssjsjsssss 2() 1cossin1nnttoddx tetet 即2() 1cossin1nnttoddx tetet 22() 11cossin1ntoddex ttt 221( ) 1sinarctan1ntodex tt t0t0當(dāng)當(dāng)0 01 1時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階

11、躍響應(yīng)是時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是以以d d為角頻率的衰減振動(dòng)。隨著為角頻率的衰減振動(dòng)。隨著的減小，的減小，其振蕩幅值加大。其振蕩幅值加大。221( ) 1sinarctan1ntodex tt 2 2、當(dāng)、當(dāng)=1=1時(shí)，稱為時(shí)，稱為臨界阻尼臨界阻尼。 此時(shí)，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)是二重根?？杀硎緸椋捍藭r(shí)，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)是二重根。可表示為： 22( )( )oninXsXss221( )nonXsss211nnnsss222( )( )2oninnXsX sss進(jìn)行拉氏反變換得： t0 可見，系統(tǒng)沒(méi)有超調(diào)。 ( )1nnttonxtteetxo(t)3 3、當(dāng)、當(dāng)11時(shí)，稱為過(guò)阻尼。時(shí)，稱為過(guò)阻尼。

12、 此時(shí)，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)是兩個(gè)負(fù)實(shí)根?？纱藭r(shí)，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)是兩個(gè)負(fù)實(shí)根?？杀硎緸椋罕硎緸椋?222( )( )11oninnnnXsX sss2222222221( )111121 121 1111nonnnnnnnnXsssssss 進(jìn)行拉氏反變換得： 21221( )1211ntoxte21221211nte 其響應(yīng)曲線如圖：其響應(yīng)曲線如圖： 系統(tǒng)沒(méi)有超調(diào)，且過(guò)渡過(guò)程時(shí)間較長(zhǎng)。系統(tǒng)沒(méi)有超調(diào)，且過(guò)渡過(guò)程時(shí)間較長(zhǎng)。 txo(t)4 4、當(dāng)、當(dāng)=0=0時(shí)，稱為零阻尼時(shí)，稱為零阻尼 二階系統(tǒng)的極點(diǎn)為一對(duì)共軛虛根。其傳遞函數(shù)可二階系統(tǒng)的極點(diǎn)為一對(duì)共軛虛根。其傳遞函數(shù)可表示為：表示為： t0t0 22

13、2( )( )oninXsXss2222211( )nonnsXsssss( )1 cosonx tt 其響應(yīng)曲線如圖。其響應(yīng)曲線如圖。系統(tǒng)稱為等幅振蕩（無(wú)阻尼的結(jié)果）。系統(tǒng)稱為等幅振蕩（無(wú)阻尼的結(jié)果）。 0125 5、當(dāng)、當(dāng)01) 對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換： 222( )11nnnnnC sss122( )21p tp tnc tee211np 221np 二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)也可由二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)后得到。4-44-4、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo) 一、一、瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo) 評(píng)價(jià)一個(gè)系統(tǒng)的優(yōu)劣，總是用一定的評(píng)價(jià)一個(gè)系統(tǒng)的優(yōu)劣，總是用一定的性能指標(biāo)來(lái)衡量的。性能指

14、標(biāo)可以在時(shí)域性能指標(biāo)來(lái)衡量的。性能指標(biāo)可以在時(shí)域里提出，也可以在頻域里提出。時(shí)域里的里提出，也可以在頻域里提出。時(shí)域里的性能指標(biāo)比較直觀。對(duì)于具有貯能元件的性能指標(biāo)比較直觀。對(duì)于具有貯能元件的系統(tǒng)（即大于或等于一階的系統(tǒng)）受到輸系統(tǒng)（即大于或等于一階的系統(tǒng)）受到輸入信號(hào)作用時(shí)，一般不是立即反應(yīng)，總是入信號(hào)作用時(shí)，一般不是立即反應(yīng)，總是表現(xiàn)出一定的過(guò)渡過(guò)程。表現(xiàn)出一定的過(guò)渡過(guò)程。 瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)是在欠阻尼二階系統(tǒng)單瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)是在欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的波形基礎(chǔ)上給出的位階躍響應(yīng)的波形基礎(chǔ)上給出的。strtpt)(h)(9.0h)(5.0h)(1.0hdttXo(t)1 1、定義：、定義： 上

15、升時(shí)間上升時(shí)間 ：響應(yīng)曲線從零時(shí)刻到首次到響應(yīng)曲線從零時(shí)刻到首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，即達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，即響應(yīng)曲線從零上升到響應(yīng)曲線從零上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。 有些系統(tǒng)沒(méi)有超調(diào)，理論上到達(dá)穩(wěn)態(tài)值時(shí)有些系統(tǒng)沒(méi)有超調(diào)，理論上到達(dá)穩(wěn)態(tài)值時(shí)間需要無(wú)窮大。因此，人們也將上升時(shí)間間需要無(wú)窮大。因此，人們也將上升時(shí)間 定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%10%上升到穩(wěn)態(tài)值上升到穩(wěn)態(tài)值的的90%90%所需要的時(shí)間。所需要的時(shí)間。 峰值時(shí)間峰值時(shí)間 ：響應(yīng)曲線從零時(shí)刻上升到第一：響應(yīng)曲線從零時(shí)刻上升到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。個(gè)峰值所需要的時(shí)間。 ptrtstrtpt)(h

16、)(9.0h)(5.0h)(1.0hdttXo(t)最大超調(diào)量 ：響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差,即或 用百分?jǐn)?shù)表示的最大超調(diào)量 有時(shí)也用 %表示。pM( )( )popoMx tx( )( )(%)100%( )opopox txMx(%)pM調(diào)整時(shí)間 ：響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在誤差范圍%內(nèi)所需的時(shí)間。振蕩次數(shù)N：在調(diào)整時(shí)間 內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。在以上各性能指標(biāo)中： 、 和 反應(yīng)系統(tǒng)快速性； 和 N反應(yīng)系統(tǒng)的平穩(wěn)性。 stststpMrtpt2、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)研究二階系統(tǒng)最重要的是研究欠阻尼情況。二階系統(tǒng)： 其極點(diǎn)： 222( )( )2oninnXsX sss21,21nnnds

17、jj 求上升時(shí)間 ：將 代入上式得： (n =0，1,2) rt221( )1sin(arctan)1ntodex tt ( )1orx t21sinarctan0d rt21arctand rtn n=1, 21arctand rt211(arctan)rddt 求峰值時(shí)間 ：響應(yīng)曲線從零時(shí)刻上升到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。 即 pt2( )1sin1ntodextt ( )0odx tdt22sincos011n pn pttndddetet 2sin1cos0ndndtt21tantand ptd ptn(n =0，1，2) 因?yàn)?，且峰值時(shí)間為第一次到達(dá)峰值所需時(shí)間，故： 0d ptd

18、ptpdt 求最大超調(diào)量 ：響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差。 將 代入 pM2( ) 1sin1ntodex tt pdt2()1sin1n ptpopeMx t 212sin1nptee21%100%e求調(diào)整時(shí)間 ：響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在誤差范圍%內(nèi)所需的時(shí)間。st2( ) 1sin1ntodex tt 則曲線 為其包絡(luò)線。211nte欲使系統(tǒng)的誤差進(jìn)入5%的誤差范圍解： 得當(dāng) 較小時(shí)，25%1nte2ln0.05 ln 1sntln0.053snnt 同理，欲使欠阻尼二階系統(tǒng)進(jìn)入2%的誤差范圍，則4snt 由上可見：當(dāng)阻尼比 一定時(shí)，無(wú)阻尼自然頻率n越大，則調(diào)整時(shí)間 越小，即系統(tǒng)響應(yīng)越快

19、。st當(dāng)n一定時(shí)，對(duì) 求極值。則 =0.707時(shí)， 響應(yīng)最快。 2ln0.05ln 1snt求振蕩次數(shù)：在調(diào)整時(shí)間內(nèi)，響應(yīng)曲線振求振蕩次數(shù)：在調(diào)整時(shí)間內(nèi)，響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。蕩的次數(shù)。若取若取=0.02=0.02時(shí)，可得時(shí)，可得 由以上兩式可知，振蕩次數(shù)由以上兩式可知，振蕩次數(shù)N N僅僅 與有關(guān)。與有關(guān)。越大，越大，N N越小越小, ,系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好。所以系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好。所以N N也也反映了系統(tǒng)的阻尼特性反映了系統(tǒng)的阻尼特性. .2242 121nnN 由以上討論可以看出：二階系統(tǒng)的特征參由以上討論可以看出：二階系統(tǒng)的特征參量量n n和和 與系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的性能有著密與系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的性能有著

20、密切的關(guān)系。要使二階系統(tǒng)具有滿意的動(dòng)態(tài)切的關(guān)系。要使二階系統(tǒng)具有滿意的動(dòng)態(tài)性能，必須選取合適的無(wú)阻尼固有頻率性能，必須選取合適的無(wú)阻尼固有頻率n n和阻尼比和阻尼比 。例：例：有一位置控制系統(tǒng)，其方塊圖如圖所示，當(dāng)系有一位置控制系統(tǒng)，其方塊圖如圖所示，當(dāng)系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)時(shí)，要求統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)時(shí)，要求Mp=5%Mp5%)因此，該系統(tǒng)不滿足本題要求因此，該系統(tǒng)不滿足本題要求（2）由（b）所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為2222)62.31()501 (20)62.31(50)501 (05. 050)()(sssssRsC69. 021 eMp由得：為了滿足題目要求為了滿足題目要求Mp=5%Mp=

21、5%）（得sn0236. 02)501 (20從本題看出：當(dāng)系統(tǒng)加入微分負(fù)反饋，相當(dāng)于增大了系從本題看出：當(dāng)系統(tǒng)加入微分負(fù)反饋，相當(dāng)于增大了系統(tǒng)的阻尼比，改善了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，即減小了統(tǒng)的阻尼比，改善了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，即減小了MpMp但但沒(méi)有改變系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率沒(méi)有改變系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率WnWn 。4-6 4-6 、具有閉環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的響應(yīng)分析、具有閉環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的響應(yīng)分析 具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的典型具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的典型形式為：形式為： 222( )(1)( )( )2oninnXsssX sss 22212()()(2) ()()gnnnk s

22、 zs zz sss p s p1z1z其中，零點(diǎn)：其中，零點(diǎn)： 1sz 2ngkz當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，-p-p1 1, -p, -p2 2為一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)。為一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)。01這里，22212()()(2) ()()gnnnk s zs zz sss p s p零極點(diǎn)在S平面的分布如圖：P1P2-zjS在輸入單位階躍信號(hào)時(shí), 1( )iX ss2222222221211(1)( )( )( )(2)(2)(2)( )( )( )( )noinnnnnnnnOOOOsX ss X ss sss ssssXsXsXssXs 112( )( )( )1sin()1ntoooddxtex txttdt

23、2sin1ntndet 可見其輸出包括兩部分：可見其輸出包括兩部分： 第一部分為典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)；第一部分為典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)； 第二部分為附加零點(diǎn)引起的分量，它使系統(tǒng)第二部分為附加零點(diǎn)引起的分量，它使系統(tǒng) 的上升加快，超調(diào)量增大。的上升加快，超調(diào)量增大。4-74-7、 高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 實(shí)際控制系統(tǒng)大多數(shù)是高階系統(tǒng)，它實(shí)際控制系統(tǒng)大多數(shù)是高階系統(tǒng)，它的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的確定比較困難。如果能的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的確定比較困難。如果能將二階系統(tǒng)的分析結(jié)果與分析方法應(yīng)用于將二階系統(tǒng)的分析結(jié)果與分析方法應(yīng)用于高階系統(tǒng)的分析，那么，高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性高階系統(tǒng)的分析，那么，高階系

24、統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)確定又變得十分簡(jiǎn)單了。這就是應(yīng)能指標(biāo)確定又變得十分簡(jiǎn)單了。這就是應(yīng)用用主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)及忽略及忽略偶極子偶極子的影響的概念。的影響的概念。 一、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)：一、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)： 如果高階系統(tǒng)中，所有其它極點(diǎn)的實(shí)如果高階系統(tǒng)中，所有其它極點(diǎn)的實(shí)部比距離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部大部比距離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部大5 5 倍以上，并且在該極點(diǎn)附近不存在閉環(huán)零倍以上，并且在該極點(diǎn)附近不存在閉環(huán)零點(diǎn)。則這種離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)將對(duì)系點(diǎn)。則這種離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)將對(duì)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用，稱之為統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用，稱之為閉環(huán)主閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)導(dǎo)極點(diǎn)。 用用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)代替全部

25、閉環(huán)極點(diǎn)來(lái)分析代替全部閉環(huán)極點(diǎn)來(lái)分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而非主導(dǎo)極點(diǎn)產(chǎn)生的動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而非主導(dǎo)極點(diǎn)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)過(guò)渡分量很快衰減。態(tài)過(guò)渡分量很快衰減。 如：拉氏反變換： 220( )(10)(22)ssss1( )R ss220( )(10)(22)C ss sss1220( )(10)(22)c tLs sss101 0.0241.55cos(129 )tteet 其中，指數(shù)項(xiàng) 是由閉環(huán)極點(diǎn)s1=-10產(chǎn)生的，余弦項(xiàng) 是由共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 產(chǎn)生的。 兩者比較可知：指數(shù)項(xiàng)迅速衰減且幅值很小，可忽略。所以， 其中 稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。100.024te1.55cos(129 )tet2,311sj (

26、)1 1.55cos(129 )tc tet 11 j 一般說(shuō)來(lái)，在一般說(shuō)來(lái)，在SS平面上最靠近虛軸的平面上最靠近虛軸的閉環(huán)極點(diǎn)是閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。這種情況就可閉環(huán)極點(diǎn)是閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。這種情況就可用二階系統(tǒng)或一階系統(tǒng)來(lái)分析。用二階系統(tǒng)或一階系統(tǒng)來(lái)分析。二、偶極子二、偶極子 一對(duì)相距很近的閉環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)零點(diǎn)稱為偶極子。 例如： 式中 0。系統(tǒng)有一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)和一個(gè)偶極子，極點(diǎn)為-a 零點(diǎn)為-(a+ )22( )()(22)asasasa ss輸入單位階躍響應(yīng)： 0 即偶極子影響可忽略，階躍響應(yīng)主要由極點(diǎn)-1j1所決定。 1( )R ss2( )()()(11)(11)asaC sas sa sjsj

27、11221( )1111jjccecec tLss asjsj 1242 (22)ca aa228c 21cc 三、結(jié)論三、結(jié)論 閉環(huán)閉環(huán)零、極點(diǎn)零、極點(diǎn)之間的距離比它們本身之間的距離比它們本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，則這對(duì)零極點(diǎn)就構(gòu)的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，則這對(duì)零極點(diǎn)就構(gòu)成了成了偶極子偶極子。 略去偶極子和比閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸略去偶極子和比閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸達(dá)達(dá)5 5倍以上的零極點(diǎn)，這樣在全部閉環(huán)零倍以上的零極點(diǎn)，這樣在全部閉環(huán)零極點(diǎn)中，選留最靠近虛軸，而又不十分靠極點(diǎn)中，選留最靠近虛軸，而又不十分靠近閉環(huán)零點(diǎn)的一個(gè)或幾個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)作為閉近閉環(huán)零點(diǎn)的一個(gè)或幾個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)作為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。 在

28、實(shí)際應(yīng)用中，比主導(dǎo)極點(diǎn)距離虛軸在實(shí)際應(yīng)用中，比主導(dǎo)極點(diǎn)距離虛軸達(dá)達(dá)2323倍倍的閉環(huán)零極點(diǎn)，也可考慮為略去。的閉環(huán)零極點(diǎn)，也可考慮為略去。 4-8 4-8 、穩(wěn)態(tài)誤差分析與計(jì)算、穩(wěn)態(tài)誤差分析與計(jì)算 評(píng)價(jià)一個(gè)系統(tǒng)的性能包括瞬態(tài)性能和評(píng)價(jià)一個(gè)系統(tǒng)的性能包括瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩大部分。瞬態(tài)響應(yīng)的性能指穩(wěn)態(tài)性能兩大部分。瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)可以評(píng)價(jià)系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性。系標(biāo)可以評(píng)價(jià)系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性。系統(tǒng)的準(zhǔn)確性要用誤差來(lái)衡量。統(tǒng)的準(zhǔn)確性要用誤差來(lái)衡量。一、穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念一、穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念 誤差信號(hào)誤差信號(hào)e(t)e(t)：希望輸出信號(hào)希望輸出信號(hào) 與實(shí)際輸出與實(shí)際輸出信號(hào)信號(hào) 之差。之差。

29、穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差： t t時(shí)，系統(tǒng)的誤差。時(shí)，系統(tǒng)的誤差。 ( )orxt( )ox t( )( )( )oroe txtx t( )( )( )oroE sXsXs即： 偏差信號(hào)偏差信號(hào)：輸入信號(hào)：輸入信號(hào) 與反饋信號(hào)與反饋信號(hào) 之差。之差。 ()ix t( )B t( )( )( )itx tB t( )( )( )isX sB s( )( )( )oB sXs H s而 )()()()()()()()(sHssXsXsHsXsXsiooi 在控制系統(tǒng)中，是用輸入信號(hào)在控制系統(tǒng)中，是用輸入信號(hào) 去控去控制輸出信號(hào)制輸出信號(hào) 的變化規(guī)律，即它們之間存的變化規(guī)律，即它們之間存在理想的函數(shù)關(guān)系在

30、理想的函數(shù)關(guān)系:()ix t( )ox t( )( )( )oriXsUsXs 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即控制時(shí)，即控制 對(duì)對(duì) 的控的控 制達(dá)到理想狀態(tài)。制達(dá)到理想狀態(tài)。 此時(shí)，此時(shí)， 即即 ( )( )oroX sX s()iX s()oX s( )0E s ( ) 0s)()()()(sHsXsBsXoi)()()(sUsXsXoi)()()(sBsXsi由上式得：由上式得： 這便是偏差與誤差之間的關(guān)系式這便是偏差與誤差之間的關(guān)系式, ,如果如果求出了穩(wěn)態(tài)偏差也就求出了穩(wěn)態(tài)誤差。求出了穩(wěn)態(tài)偏差也就求出了穩(wěn)態(tài)誤差。如果如果 ， 即系統(tǒng)為單位反饋時(shí)即系統(tǒng)為單位反饋時(shí) 1( )( )( )( )( )( )(

31、 )( )( )( )( ) ( )( )/( )ioroiU sH sX ssE sXsX sU s X sH sU sssH s1)(sH)()(ssE )()()()(sHssXsXio 二、二、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 1、單位反饋系統(tǒng)：、單位反饋系統(tǒng)： 偏差傳函偏差傳函=誤差傳函：誤差傳函： 或或 根據(jù)終值定理：根據(jù)終值定理： ( )1( )( )1( )eiE ssX sG s1( )( )1( )iE sX sG s001lim ( )lim( )lim( )1( )ssitssee ts E ssX sG sG(s)Xi(s)Xo(s)(s 2、對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，偏差與誤

32、差、對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，偏差與誤差 而偏差：而偏差：11( )( )1isX sG H11( )( )(1)iE sX sHGH011lim( )(1)ssisesX sHGHG(s)H(s)()()(sHsEs 三、輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的三、輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系關(guān)系 圖示為一反饋控制系統(tǒng)：圖示為一反饋控制系統(tǒng)： 其中開環(huán)傳函為：其中開環(huán)傳函為： 式中，式中， 、 都不含都不含s=0s=0的因子，且分的因子，且分母的階次高于分子的階次。母的階次高于分子的階次。 ( )Q s( )P sG(s)H(s)()() 1)(1() 1)(1()()(21sPssKQs

33、TsTssTsTKsHsGba定義：定義：當(dāng)當(dāng) =0 時(shí)，稱系統(tǒng)為時(shí)，稱系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。當(dāng)當(dāng) =1 時(shí)，稱系統(tǒng)為時(shí)，稱系統(tǒng)為型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。當(dāng)當(dāng) =2 時(shí)，稱系統(tǒng)為時(shí)，稱系統(tǒng)為型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。 下面分析單位階躍、單位斜坡和單位下面分析單位階躍、單位斜坡和單位加速度三種信號(hào)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。加速度三種信號(hào)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。以進(jìn)行討論。以進(jìn)行討論。 以下假定：以下假定：( )1H s （1）輸入階躍函數(shù)時(shí)）輸入階躍函數(shù)時(shí), 表示信號(hào)的幅值，是常數(shù)。表示信號(hào)的幅值，是常數(shù)。 則穩(wěn)態(tài)誤差為：則穩(wěn)態(tài)誤差為： 上述表示：上述表示：在階躍輸入下，系統(tǒng)消除誤差在階躍輸入下，系統(tǒng)消除誤差的條件是

34、：的條件是： 即：即：開環(huán)傳函中至少要有一個(gè)積分環(huán)節(jié)開環(huán)傳函中至少要有一個(gè)積分環(huán)節(jié)。0( )/iX sr s0r00000001limlim( )1( )( )1( )011 lim(/)01ssssrsrresH sG s H ssG srrrKK sr1r )()()()(sPssKQsHsG（2）輸入速度信號(hào)（斜坡函數(shù)）輸入速度信號(hào)（斜坡函數(shù)） 其中，其中， 常數(shù)表示輸入信號(hào)速度的大小，系統(tǒng)的常數(shù)表示輸入信號(hào)速度的大小，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：穩(wěn)態(tài)誤差為： 上式表明，上式表明，斜坡信號(hào)輸入下系統(tǒng)消除誤差的條斜坡信號(hào)輸入下系統(tǒng)消除誤差的條件是：件是：20( )/iX sUs0U002000001

35、lim1( )lim01lim02sssrsrsUUessKG ssssrUUrsKKsr2r tUtXi0)()()()()(sPssKQsHsG（3）輸入等加速信號(hào)（拋物線函數(shù)）輸入等加速信號(hào)（拋物線函數(shù)） 常數(shù)常數(shù) 是加速度的大小，是加速度的大小， 則則 則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：這種情況下，這種情況下，系統(tǒng)消除誤差的條件是：系統(tǒng)消除誤差的條件是：即：開環(huán)傳函中至少要有三個(gè)積分環(huán)節(jié)即：開環(huán)傳函中至少要有三個(gè)積分環(huán)節(jié)。 20( )/2ix ta t0a30( )/iX sas00320000201lim1( )lim( )0,12lim03ssssrsaaesG sss G

36、sraarKsKrs3r 將三種典型信號(hào)輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)將三種典型信號(hào)輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)型別的關(guān)系列于下表：型別的關(guān)系列于下表： 系統(tǒng)型別 階躍輸入 斜坡輸入 拋物線函數(shù)輸入 0 0 00 00001rK0uK0aK 從表中可看出，在主對(duì)角線上，穩(wěn)態(tài)從表中可看出，在主對(duì)角線上，穩(wěn)態(tài)誤差是有值的；在對(duì)角線以上，穩(wěn)態(tài)誤差誤差是有值的；在對(duì)角線以上，穩(wěn)態(tài)誤差為無(wú)窮大；在對(duì)角線以下，穩(wěn)態(tài)誤差為零。為無(wú)窮大；在對(duì)角線以下，穩(wěn)態(tài)誤差為零。 另外，另外，增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的積增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)和增大開環(huán)增益分環(huán)節(jié)和增大開環(huán)增益K K是消除和減少系是消除和減少系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的途徑，但增大統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的途徑，但增大r r和和K K都會(huì)造成都會(huì)造成穩(wěn)定性的變壞。因此，穩(wěn)定性的變壞。因此， 需合理選擇參數(shù)需合理選擇參數(shù)。例：控制系統(tǒng)方塊圖如圖所示。今欲保持 且在單位斜坡信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差 求其中的參數(shù)kf 和 kA 。22)2(1sskAKf sXi(s)Xo(s)1 . 0sse1 . 0221lim1)2(11lim020AAfAsf