雙曲線高考知識點及題型總結(共28頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上雙曲線高考知識點及題型總結(最新最全)目 錄知識點二：雙曲線標準方程問題知識點三：雙曲線在實際中的應用-13專心-專注-專業(yè)雙曲線知識點1 雙曲線定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點的軌跡（為常數(shù)）這兩個定點叫雙曲線的焦點要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支；當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支；當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；當2a|F1F2|時，動點軌

2、跡不存在.動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時，這個動點的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線2.雙曲線的標準方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.4.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題： 正確判斷焦點的位置； 設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.5.曲線的簡單幾何性質(zhì)=1（a0，b0）

3、范圍：|x|a，yR對稱性：關于x、y軸均對稱，關于原點中心對稱頂點：軸端點A1（a，0），A2（a，0）漸近線：若雙曲線方程為漸近線方程若漸近線方程為雙曲線可設為若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）特別地當離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設為；y=x，y=x準線：l1：x=，l2：x=，兩準線之距為焦半徑：，（點P在雙曲線的右支上）；，（點P在雙曲線的右支上）；當焦點在y軸上時，標準方程及相應性質(zhì)（略）與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是6曲線的內(nèi)外部(1)點在雙曲線的內(nèi)部.(2)點在雙曲線的外部.7曲線的方程

4、與漸近線方程的關系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）.8雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點處的切線方程是.（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.9線與橢圓相交的弦長公式 若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長 ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設而不求”的解題思想；雙曲線高考知識點題型一雙曲線定義的應用已知定點A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，求另一焦點的軌

5、跡方程解設F(x，y)為軌跡上任意一點，A、B兩點在以C，F(xiàn)為焦點的橢圓上|FA|CA|FB|CB|，|FA|FB|CB|CA|2F的軌跡方程為：y21 (y1)知識點二求雙曲線的標準方程設雙曲線與橢圓1有相同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標為4，求此雙曲線的標準方程解方法一設雙曲線的標準方程為1(a>0，b>0)，由題意知c236279，c3.又點A的縱坐標為4，則橫坐標為±，于是有解得所以雙曲線的標準方程為1.方法二將點A的縱坐標代入橢圓方程得A(±，4)，又兩焦點分別為F1(0,3)，F(xiàn)2(0，3)所以2a|4，即a2，b2c2a2945，所以雙曲

6、線的標準方程為1.方法三若考慮到雙曲線與橢圓有相同的焦點，則可設雙曲線為1(27<<36)，再將點A(±，4)代入求，進而求方程，不過這種解題方法有一定的技巧性知識點三雙曲線在實際中的應用A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B正東6 km，C在B的北偏西30°相距4 km，P為敵炮陣地，某時刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號，由于B、C兩地比A距P地遠，因此4 s后，B、C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號，此信號的傳播速度為1 km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方位角解以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則B(3,0)，A(3,0)，C(5,2)|PB|PC|，

7、點P在線段BC的垂直平分線上kBC，BC中點D(4，)直線PD：y(x4)又|PB|PA|4，P在以A、B為焦點的雙曲線右支上設P(x，y)則雙曲線方程為1(x0)聯(lián)立、式得x8，y5，P(8,5)，因此kPA.故炮擊的方位角為北偏東30°.知識點四雙曲線幾何性質(zhì)的簡單應用已知雙曲線漸近線的方程為2x±3y0.(1)若雙曲線經(jīng)過P(，2)，求雙曲線方程；(2)若雙曲線的焦距是2，求雙曲線方程；(3)若雙曲線頂點間的距離是6，求雙曲線方程解(1)設雙曲線的方程為4x29y2(0)，雙曲線過點P(，2)，4×69×4，即12雙曲線的方程為：y21.(2)設雙

8、曲線方程為1，或1(a>0，b>0)c2a2b2，13a2b2.由漸近線斜率得，或，故由或解得或所求雙曲線方程為1，或1.(3)由(2)所設方程可得：或解得或故所求雙曲線方程為1，或1.知識點五求雙曲線的離心率 (1)已知雙曲線的漸近線方程為y±x，則雙曲線的離心率為_；(2)設雙曲線1(b>a>0)的半焦距為c，直線l過(a,0)、(0，b)兩點已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為_解析(1)當焦點在x軸上時，其漸近線方程為y±x，依題意，e21，e；當焦點在y軸上時，其漸近線方程為y±x，依題意，e21，e.(2)直線l的方程

9、為1，即bxayab0.于是有c，即abc2.兩邊平方得16a2b23c4，16a2(c2a2)3c4.即3c416a2c216a40，3e416e2160.解得e24，或e2，b>a>0，>1，e21>2，故e24，e2.答案(1)或(2)2知識點六直線與雙曲線直線l在雙曲線1上截得的弦長為4，其斜率為2，求直線l在y軸上的截距m.解設直線l的方程為y2xm，由得10x212mx3(m22)0.設直線l與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由韋達定理，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，|AB|2(x1x

10、2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24×(m22)|AB|4，m26(m22)16.3m270，m±.直線l在y軸上的截距為±.考題賞析1(全國高考)設a>1，則雙曲線1的離心率e的取值范圍是()A(，2) B(，)C(2,5) D(2，)解析雙曲線方程為1，c.e.又a>1，0<<1.1<1<2.1<2<4.<e<.答案B2(重慶高考)已知雙曲線1 (a>0，b>0)的一條漸近線為ykx (k>0)，離心率ek，則雙曲線方程為()A.1 B.1C.1 D

11、.1解析雙曲線的漸近線方程可表示為y±x，由已知可得k.又離心率ek，所以k.即，故a2b.答案C3(湖北高考)如圖所示，在以點O圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，ODAB，P是半圓弧上一點，POB=30°.曲線C是滿足|MA| |MB|為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担笄€C的方程；(2)設過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F.若OEF的面積不小于2，求直線l斜率的取值范圍解(1)方法一以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A(-2,0)，B(2,0)，P(,1)，依題意得|MA|-|MB

12、|=|PA |PB| = <|AB|=4.曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線設實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則c=2,2a=2，a2=2，b2 = c2 a2=2.曲線C的方程為.方法二同方法一建立平面直角坐標系，則依題意可得|MA|MB|=|PA|PB|<|AB|=4.曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線設雙曲線的方程為 (a>0，b>0)，則由解得a2 = b2 = 2，曲線C的方程為(2)方法一依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得(1k2)x2-4kx6=0.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，k(，1)(

13、1,1)(1，)設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則由式得x1x2，x1x2，于是|EF|··.而原點O到直線l的距離d，SOEFd·|EF|···.若OEF的面積不小于2，即SOEF2，則有2k4k220，解得k.綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為，1)(1,1)(1，方法二依題意，可設直線l的方程為ykx2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1k2)x24kx60.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，k(，1)(1,1)(1，)設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則由式得|x1x2|，當E，F(xiàn)在同一支上時(如圖(1)所示)，

14、SOEF|SODFSODE|OD|·(|x1|x2|)|OD|·|x1x2|；當E，F(xiàn)在不同支上時(如圖(2)所示)，SOEFSODFSODE|OD|·(|x1|x2|)|OD|·|x1x2|.綜上得SOEF|OD|·|x1x2|.于是由|OD|2及式，得SOEF.若OEF面積不小于2，即SOEF2，則有2k4k220，解得k.綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為，1)(1,1)(1，.1實軸長為4且過點A(2，5)的雙曲線的標準方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由題意知2a4，a220，若雙曲線焦點在x軸上，則可設方程為1，代入點

15、A(2，5)，得：1，即，矛盾因此設雙曲線的方程為1.代入A(2，5)，得：1，b216.故選B.2如果雙曲線1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為()A. B2 C. D2答案A解析因兩條漸近線互相垂直所以兩漸近直線的傾斜角為、.漸近線的方程為y±x，1，即ab，ca，e.3雙曲線與橢圓1有相同的焦點，它的一條漸近線為yx，則雙曲線方程為()Ax2y296 By2x2160Cx2y280 Dy2x224答案D解析由題意知雙曲線的焦點為(0，±4)，即c248，又因一條漸近線方程為yx.所以1.即ab，482a2，a2b224.故選D.4F1、F2為雙曲線y21的兩個焦

16、點，點P在雙曲線上，且F1PF290°，則F1PF2的面積是()A2 B4 C8 D16答案B解析方程變形為y21，由題意由式兩邊平方得：202|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|·|PF2|×84.5若方程1表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是()Ak<2，或2<k<5 B2<k<5Ck<2，或k>5 D2<k<2，或k>5答案D 解析由題意知：(|k|2)(5k)<0，即或解得：k>5，或2<k<2.故選D.6已知雙曲線1(a>0，b>0)

17、的兩條漸近線方程為y±x，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為_答案y21解析雙曲線頂點為(a,0)，漸近線為xy0，1，a2.又，b，雙曲線方程為y21.7已知圓C：x2y26x4y80.以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為_答案1解析由題意知雙曲線僅與x軸有交點，即x26x80，x2或x4，即c4，a2.1.8如圖，已知定圓F1：x2y210x240，定圓F2：x2y210x90，動圓M與定圓F1、F2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程解圓F1：(x5)2y21，圓心F1(5,0)，半徑r11.圓F2：(x5)2y242.設動圓M

18、的半徑為R，則有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|3.M點的軌跡是以F1、F2為焦點的雙曲線(左支)，且a，c5.則有b2.動圓圓心M的軌跡方程為x2y21(x)9橢圓y21(m>1)與雙曲線y21(n>0)有公共焦點F1、F2，P是它們的一個交點，求F1PF2的面積解根據(jù)橢圓與雙曲線焦點都在x軸上，不妨設P在第一象限，F(xiàn)1是左焦點，F(xiàn)2是右焦點，則由橢圓與雙曲線定義有可解得|PF1|mn，|PF2|mn，即|PF1|2|PF2|22(m2n2)又兩者有公共焦點，設半焦距為c.則m21c2，n21c2，m2n22c2.|F1F2|24c22(m2n2)，|F1F2|

19、2|PF1|2|PF2|2，F(xiàn)1PF290°.又m21n21c2，m2n22.SF1PF2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)2(m2n2)1.所以F1PF2的面積為1.10已知雙曲線x2y2a2及其上一點P，求證：(1)離心率e，漸近線方程y±x；(2)P到它兩個焦點的距離的積等于P到雙曲線中心距離的平方；(3)過P作兩漸近線的垂線，構成的矩形面積為定值證明(1)由已知得ca，e，漸近線方程y±x.(2)設P(x0，y0)，則xya2，又F1(a,0)、F2(a,0)，|PF1|PF2|··|x0a|x0a|2xa

20、2|xy|PO|2.P到它兩個焦點的距離的積等于P到雙曲線中心距離的平方(3)設垂足分別為Q、R，則由點到直線距離公式知|PQ|，|PR|，SPQOR|PQ|PR|xy|a2.該矩形的面積為定值.講練學案部分 23.1雙曲線及其標準方程.對點講練知識點一雙曲線定義的應用如圖所示，在ABC中，已知|AB|=4，且三內(nèi)角A、B、C滿足2sinA+sinC=2sinB，建立適當?shù)淖鴺讼担箜旤cC的軌跡方程解如圖所示，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則A(2,0)、B(2 , 0 )由正弦定理得sinA = ，sinB =，sinC =.2sinA+sinC=2sin

21、B，2a+c=2b，即ba=.從而有|CA| |CB|=|AB|=2<|AB|.由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支a=，c=2，b2= c2 a2 = 6.所以頂點C的軌跡方程為 (x>)【反思感悟】使用雙曲線的定義時易漏掉“差的絕對值”，即|PF1|PF2|=2a，而|PF1|-|PF2|=2a表示一支P是雙曲線1上一點，F(xiàn)1、F2是雙曲線的兩個焦點，且|PF1|9，求|PF2|的值解在雙曲線1中，a4，b2.故c6.由P是雙曲線上一點，得|PF1|PF2|8.|PF2|1或|PF2|17.又|PF2|ca2，得|PF2|17.知識點二求雙曲線的標準方程根據(jù)下列條件，求雙

22、曲線的標準方程(1)過點P，Q，且焦點在坐標軸上；(2)c，且過點(5,2)，焦點在x軸上；(3)與雙曲線1有相同焦點，且經(jīng)過點(3，2)解(1)設雙曲線方程為1，P、Q兩點在雙曲線上，解得，所求雙曲線方程為1.(2)焦點在x軸上，c，設所求雙曲線方程為：1(其中0<<6)雙曲線經(jīng)過點(5,2)，1，解得5或30(舍去)所求雙曲線方程是y21.(3)設所求雙曲線方程為：1 (其中4<<16)雙曲線過點(3，2)，1，解得4或14(舍去)，所求雙曲線方程為1.【反思感悟】用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程，首先要定型，即確定雙曲線的類型，看焦點位置(如果焦點位置不確定，要分類

23、討論或設一般式Ax2By21其中AB<0)設出標準形式，再定量即確定方程中的參數(shù)的值已知雙曲線過P1和P2兩點，求雙曲線的標準方程解因為雙曲線的焦點位置不確定，所以設雙曲線方程為mx2ny21 (mn<0)，因P1、P2在雙曲線上，所以有，解得.所求雙曲線方程為1，即1.知識點三雙曲線的實際應用一炮彈在A處的東偏北60°的某處爆炸，在A處測到爆炸信號的時間比在B處早4秒，已知A在B的正東方、相距6千米，P為爆炸地點，(該信號的傳播速度為每秒1千米)求A、P兩地的距離解以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則A(3,0)、B(3,0)|PB|PA|4

24、×1<6a2，b，c3P是雙曲線1右支上的一點 P在A的東偏北60°方向，kAPtan60°.線段AP所在的直線方程為y(x3)解方程組 得即P點的坐標為(8,5)A、P兩地的距離為|AP|=10(千米)【反思感悟】解答此類題首先應建立平面直角坐標系，取兩定點所在的直線為x軸，以兩定點為端點的線段的中點為坐標原點；然后根據(jù)雙曲線的定義求出標準方程，再由標準方程解有關問題已知A、B兩地相距800 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程解如圖所示，建立直角坐標系xOy，使A，B兩點在x軸上，并且坐標原點O與線段A

25、B的中點重合設爆炸點P的坐標為(x，y)，則|PA|PB|=340×2=680，即2a=680，a=340.又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2a2=44 400.因為|PA|PB|=340×2=680>0，所以x>0.因此炮彈爆炸點的軌跡(雙曲線)的方程為 （x>0.）. 課堂小結：1.平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值為常數(shù)2a（0<2a<|F1F2|）的點的軌跡叫雙曲線，兩定點F1，F(xiàn)2叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫雙曲線的焦距.2.焦點在x軸上的雙曲線的標準方程是（a>0,b>0），其焦點為

26、 F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.3.焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是（a>0,b>0），其焦點為F1（0，-c），F(xiàn)2（0,c）.4.c2=a2+b2，焦距| F1F2 |=2c.課時作業(yè)一、選擇題1若ax2by2b(ab<0)，則這個曲線是()A雙曲線，焦點在x軸上B雙曲線，焦點在y軸上C橢圓，焦點在x軸上D橢圓，焦點在y軸上答案B解析原方程可化為y21，因為ab<0，所以<0，所以曲線是焦點在y軸上的雙線，故選B.2一動圓與兩圓：x2y21和x2y28x120都外切，則動圓圓心的軌跡為()A拋物線 B圓C雙曲線的一支 D橢圓答案C解析由題意兩定圓的圓心坐標

27、為O1(0,0)，O2(4,0)，設動圓圓心為O，動圓半徑為r，則|OO1|r1，|OO2|r2，|OO2|OO1|1<|O1O2|4，故動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支3雙曲線8kx2ky28的一個焦點坐標是(0,3)，則k的值是()A1 B1 C. D答案B解析原方程可化為1，由一個焦點坐標是(0,3)可知c3，且焦點在y軸上，c2()()9，所以k1，故選B.4已知雙曲線中心在坐標原點且一個焦點為F1(，0)，點P位于該雙曲線上，線段PF1的中點坐標為(0,2)，則該雙曲線的方程是()A.y21 Bx21C.1 D.1答案B解析設雙曲線方程為1，因為c，c2a2b2，所以b25a2，所

28、以1.由于線段PF1的中點坐標為(0,2)，則P點的坐標為(，4)代入雙曲線方程得1，解得a21或a225(舍去)，所以雙曲線方程為x21.故選B.5雙曲線y21(n>1)的左、右兩焦點分別為F1、F2，P在雙曲線上，且滿足|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積為()A. B1 C2 D4答案B解析不妨設|PF1|>|PF2|，則|PF1|PF2|2，由|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|，|F1F2|2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以F1PF290°.所以SPF1F2|PF1|·|PF2|1.二、填空題6P是雙曲線1上一點，F(xiàn)1

29、、F2是雙曲線的兩個焦點，且|PF1|17，則|PF2|的值為_答案33解析在雙曲線1中，a8，b6，故c10.由P是雙曲線上一點，得|PF1|PF2|16.因為|PF1|17，所以|PF2|1或|PF2|33.又|PF2|ca2，得|PF2|33.7.1表示雙曲線，則實數(shù)t的取值范圍是_答案t>4或t<1解析由題意知：(4t)(t1)<0，即(t4)(t1)>0，t>4或t<1.8F1、F2是雙曲線1的兩個焦點，M是雙曲線上一點，且|MF1|·|MF2|32，求F1MF2的面積為_答案16解析由題意可得雙曲線的兩個焦點是F1(0，5)、F2(0,

30、5)，由雙曲線定義得：|MF1|MF2|6，聯(lián)立|MF1|·|MF2|32得|MF1|2|MF2|2100|F1F2|2，所以F1MF2是直角三角形，從而其面積為S|MF1|·|MF2|16.三、解答題9某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面，其中A、A是雙曲線的頂點，C、C是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B是下底直徑的兩個端點，已知AA14 m，CC18 m，BB22 m，塔高20 m建立坐標系并寫出該雙曲線方程解(1)如圖建立直角坐標系xOy，以AA為x軸，AA的中點為坐標原點O，CC與BB平行于x軸設雙曲線方程為(a>

31、0，b>0)，則a=，AA=7.又設B(11，y1)，C(9，y2)，因為點B、C在雙曲線上，所以有1，由題意知y2y120.由、得y112，y28，b7.故雙曲線方程為1.10已知雙曲線的一個焦點為F(，0)，直線yx1與其相交于M，N兩點，MN中點的橫坐標為，求雙曲線的標準方程解設雙曲線的標準方程為1，且c，則a2b27.由MN中點的橫坐標為知，中點坐標為.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由得b2(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)0.，且1，2b25a2.由，求得a22，b25.所求方程為1.23.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)對點講練知識點一由方程研究幾何性質(zhì)求雙

32、曲線9y216x2144的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率和漸近線方程解把方程9y216x2144化為標準方程1.由此可知，實半軸長a4，虛半軸長b3；c5，焦點坐標是(0，5)，(0,5)；離心率e；漸近線方程為y±x.【反思感悟】求雙曲線的幾何性質(zhì)可先將雙曲線方程化為標準形式1 (或1)，再根據(jù)它確定a，b的值，進而求出c.求雙曲線9y24x236的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程，并作出草圖解將9y24x236變形為1，即1，a3，b2，c，因此頂點為A1(3,0)，A2(3,0)，焦點坐標F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，實軸長是2a6，虛軸長是2b4，離

33、心率e，漸近線方程y±x±x.作草圖：知識點二由幾何性質(zhì)求方程求與雙曲線1共漸近線且過點A(2，3)的雙曲線方程解設與雙曲線1共漸近線的雙曲線方程為(0)因為點A(2，3)在所求的雙曲線上，所以，所以所求雙曲線方程為，即1.【反思感悟】本題解法有兩種，一是按焦點位置分類討論，二是設共漸近線方程為(0)已知雙曲線的兩條漸近線方程為x±y0，且焦點到漸近線的距離為3，求此雙曲線的方程解因為雙曲線的漸近線方程是x±y0，所以可設雙曲線方程為3x2y23(0)，當>0時，方程為1，所以a2，b23，c2.焦點(±2，0)到x±y0的距離

34、是3，解得3，所以雙曲線方程為1.當<0時，方程為1，a23，b2，c2，焦點(0，±2)到x±y0的距離是3，解得9.所以雙曲線方程為1.知識點三求離心率或離心率的取值范圍雙曲線1 (a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0)到直線l的距離與點(1，0)到直線l的距離之和sc，求雙曲線的離心率e的取值范圍解直線l的方程為1，即bxayab0.由點到直線的距離公式，且a>1，得到點(1,0)到直線l的距離d1，同理得到點(1,0)到直線l的距離d2，sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.于是得52e2，即4e42

35、5e2250.解不等式，得e25.e>1，e的取值范圍是e.【反思感悟】求雙曲線離心率的常見方法：一是依條件求出a、c，再計算e；二是依據(jù)條件提供的信息建立參數(shù)a、b、c的等式，進而轉化為離心率e的方程，再解出e的值已知雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F1、F2，F(xiàn)1MF2120°，則雙曲線的離心率為_答案解析由題意知tan60°，即cb.所以有13(1)，解之得：e.課堂小結：1.雙曲線 (a>0,b>0)既關于坐標軸對稱,又關于坐標原點對稱;其頂點為(±a,0),實軸長為2a,虛軸長為2b;其上任一點P(x,y)的橫坐標均滿足|x|a.2

36、.雙曲線的離心率e = 的取值范圍是(1,+),其中c2=a2+b2,且=,離心率e越大,雙曲線的開口越大.3.雙曲線 (a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,也可記為;與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線的方程可表示為 (0).課時作業(yè)一、選擇題1頂點為A1(0，2)，A2(0,2)，焦距為12的雙曲線的標準方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析頂點在y軸上，a2，c6，得b4.標準方程為1.2雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.答案C解析由2a·2c(2b)2及b2c2a2，得c2aca20，e2e10，解

37、得e，由e>1得，e.3經(jīng)過點M(3，1)，且對稱軸在坐標軸上的等軸雙曲線的方程是()Ay2x28 Bx2y2±8Cx2y24 Dx2y28答案D解析設雙曲線方程為x2y2k，將M點坐標代入得k8.所以雙曲線方程為x2y28.4已知雙曲線1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為()A. B. C2 D.答案B解析|PF1|PF2|2a，即3|PF2|2a，所以|PF2|ca，即2a3c3a，即5a3c，則.二、填空題5雙曲線x2y21的兩條漸近線的夾角為_答案90°解

38、析兩條漸近線方程為y±x，它們相互垂直，故夾角為90°.6若雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為2，則雙曲線的虛軸長為_答案4解析以雙曲線1 (a>0，b>0)的焦點(c,0)與漸近線yx為例，得2，故b2，虛軸長為2b4.7雙曲線的漸近線方程是3x±4y0，則雙曲線的離心率e_.答案或解析若焦點在x軸上，則，e ；若焦點在y軸上，則，e .8設圓過雙曲線1的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是_答案解析由雙曲線的對稱性，不妨設頂點、焦點坐標分別為(3,0)，(5,0)，由題意知圓心的橫坐標為4.代入雙曲線方程，得圓心縱坐標

39、y±，圓心到點(0,0)的距離d .三、解答題9根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程(1)經(jīng)過點，且一條漸近線為4x3y0；(2)P(0,6)與兩個焦點連線互相垂直，與兩個頂點連線的夾角為.解(1)因直線x與漸近線4x3y0的交點坐標為，而3<|5|，故雙曲線的焦點在x軸上，設其方程為1，由解得故所求的雙曲線方程為1.(2)設F1、F2為雙曲線的兩個焦點依題意，它的焦點在x軸上因為PF1PF2，且|OP|6，所以2c|F1F2|2|OP|12，所以c6.又P與兩頂點連線夾角為，所以a|OP|·tan2，所以b2c2a224.故所求的雙曲線方程為1.10設雙曲線1的焦點分別

40、為F1、F2，離心率為2.(1)求此雙曲線的漸近線l1、l2的方程；(2)設A、B分別為l1、l2上的動點，且2|AB|5|F1F2|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線解(1)已知雙曲線離心率e2，解得a21，所以雙曲線方程為y21，漸近線方程為x±y0.(2)因為|F1F2|4,2|AB|5|F1F2|，所以|AB|10.又因為A、B分別為l1、l2上的動點，設A(y1，y1)，B(y2，y2)，所以|AB|10.設AB的中點為M(x，y)，則x，y.所以y1y2x，y1y22y，代入得12y2x2100，即1為中點M的軌跡方程中點M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸

41、上的橢圓§2.3習題課. 對點講練知識點一直線與雙曲線的位置關系已知雙曲線x2y24，直線l：yk(x1)，試討論實數(shù)k的取值范圍(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；(3)直線l與雙曲線沒有公共點解由消去y，得(1k2)x22k2xk240(*)(1)當1k20，即k±1，直線l與雙曲線漸近線平行，方程化為2x5，故此方程(*)只有一個實數(shù)解，即直線與雙曲線相交，且只有一個公共點(2)當1k20，即k±1時，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)即k，且k±1時，方程(*)有兩個不同的實數(shù)解，即直線與雙曲線

42、有兩個公共點即k±時，方程(*)有兩個相同的實數(shù)解，即直線與雙曲線有兩重合的公共點即k或k時，方程(*)無實數(shù)解，即直線與雙曲線無公共點綜上所述，當k1或1k1或1k時，直線與雙曲線有兩個公共點當k±1或k±時，直線與雙曲線有且只有一個公共點當k或k時，直線與雙曲線沒有公共點【反思感悟】討論直線和雙曲線的公共點的個數(shù)問題，常常歸結為討論含參數(shù)的一元二次方程在特定區(qū)間內(nèi)是否存在實根或討論實根的個數(shù)問題，但要注意轉化的等價性過雙曲線x21的右焦點F作直線l交雙曲線于A、B兩點，若|AB|4，這樣的直線有()A1條B2條C3條 D4條答案C解析右焦點坐標為(，0)，把x

43、代入雙曲線方程得：y±2，即當直線過右焦點垂直于x軸時，l與雙曲線交的弦長|AB|4，當l與x軸重合時，|AB|2.由數(shù)形結合知，還存在兩條直線，使得|AB|4，故選C.知識點二雙曲線的實際應用如圖，某村在P處有一堆肥料，今要把這堆肥料沿道路PA，PB送到大田ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，BC=60 m，APB=60°，試在大田中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路PA送肥較近，而另一側的點沿PB送肥較近，請說明這一界線是一條什么曲線？試求出其方程解大田中的點可分為三類，第一類沿PA送肥較近，第二類沿PB送肥較近，第三類沿PA和PB送肥一樣遠近依題

44、意，界線是第三類點的軌跡設M為界線上的任一點，則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，即|MA|MB|=|PB|PA|=50(定值)所以界線是以A、B為焦點的雙曲線右支的一部分以AB所在直線為x軸，以AB中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，則所求雙曲線方程的標準形式為a=25，2c=|AB|=50，c=25，b2=3 750，注意到點C的坐標為(25,60)，故界線的曲線方程為：(25x35)【反思感悟】本題由題意能獲得所求分界線是以A、B為焦點的雙曲線，但由于|MA|>|MB|故為右支由于沒有坐標系因此需建系，并確定方程的形式，應用待定系數(shù)法解方程，此題極易忽略x和y的取值范圍，因此

45、在實際問題中，要注意由問題的實際意義確定變量范圍某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到該巨響的時間比其他兩觀測點晚4 s已知各觀測點到該中心的距離都是1 020 m試確定該巨響發(fā)生的位置(假定當時聲音傳播的速度為340 m/s；相關各點均在同一平面上)解如圖所示，以接報中心為原點O，正東、正北方向分別為x軸、y軸正向，建立直角坐標系設A、B、C分別是西、東、北觀測點則A(1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)設P(x，y)為巨響發(fā)生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO

46、上PO的方程為y=x.因B點比A點晚4 s聽到爆炸聲，故|PB|PA|=1 360.P點在以A、B為焦點的雙曲線上，依題意a=680，c=1 020，b2=c2a2=5×3402.故雙曲線方程為，用y=x代入上式，得x=±680.|PB|>|PA|，x=680，y=680，即P(680，680)故|PO|=680 (m)該巨響發(fā)生的位置離中心的距離為680 m.課堂小結：1.雙曲線的定義在解題中有廣泛的應用，常用于解決有關雙曲線上的點與兩焦點間關系的習題.2.雙曲線標準方程中“標準”的含義有兩層：其一是兩個焦點在坐標軸上，其二是兩個焦點的中點與坐標原點重合.3.一般地

47、，在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下，利用雙曲線系方程 (0).求雙曲線方程較為方便.然后根據(jù)題設中的另一條件確定參數(shù)的值.4.直線和雙曲線的位置關系有相交、相切、相離三種，可通過根的判別式來判定，需要注意的是當直線與雙曲線只有一個交點時，除直線和雙曲線相切外，還有一種情況，那就是直線與雙曲線的漸近線平行，這也是極易忽視的地方.課時作業(yè)一、選擇題1是第三象限角，方程x2y2sincos表示的曲線是()A焦點在x軸上的橢圓B焦點在y軸上的橢圓C焦點在x軸上的雙曲線D焦點在y軸上的雙曲線答案D解析方程可化為1，是第三象限角，cos<0，>0，故選D.2已知雙曲線1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線的左支上有一點M到右焦點F2的距離為18，N是MF2的中點，O為坐標原點，則|NO|等于()A. B1C2 D4答案D解析NO為MF1F2的中位線，所以|NO|MF1|，又由