山路引理在二階橢圓型方程中的應(yīng)用

1、3在二階橢圓型方程中的應(yīng)用接下來我們應(yīng)用山路引理來證明變系數(shù)二階橢圓型方程邊值問題的非平凡 解的存在性。問題 設(shè)Rn(n 3)是有界區(qū)域，充分光滑，設(shè)f :R1R1滿足Caratheodory條件，并且滿足下列增長(zhǎng)性條件：(Fi)存在常數(shù)Ci,C2以及,1 口，使得n 2I f (x,t)| c C2 111 .考慮下列問題div(a(x) u) b(x)u f (x,u), x u| 0在H0()中弱解的存在性(其中a(x) 0,b(x) 0)。令tF(x,t) 0 f (x, s)ds,1 2 2I (u)a(x)| u | b(x)u dx F(x, u)dx,2則可知,i是h1()上的

2、c1泛函，并且1I '(u),v lim I (u tv) I (u)t 0 t1a(x) u v b(x)uv f (x, u)vdx, v H 0().因此，邊值問題(1)是泛函I的Euler-Lagrange方程。于是，為了求(1)在H；() 中的弱解，我們只需求泛函I在H0()中的臨界點(diǎn)。下面定義|u |為|u| .a(x) | u |2 b(x)u2dx，下面我們來證明它是h0()空間中的一個(gè)范數(shù)。證：首先由于|u|的定義，可以知道| |是一個(gè)非負(fù)函數(shù)。接下來驗(yàn)證其滿足范 數(shù)的條件。(a) 已知|u | 0 ,由|u |的構(gòu)造我們可以得到| |u| 0 u 0。(b) u,v

3、 H0()2 2 2|u v |a(x) | u v | b(x)(u v) dx2 2 2 2a(x)(| u |2 u v | v| ) b(x)(u2 uv v )dx另一方面(|U| |v|)2(a(x)| u|2 b(x)u2dxa(x) | v |2 b(x)v2dx)2a(x)(| u|2| v|2) b(x)(u2 v2)dx2 a(x)| u f b(x)u2dxa(x)| v |2 b(x)v2dx由于不等式a(x) u v b(x)uvdx a(x) u v b(x)uvdx2 2 2 2a(x) | u | b(x)u dx a(x) | v | b(x)v dx成立,

4、所以可以得出|u v | |u | |v|。(c) 0, u H0()| ou| . a(x) |ou|2 b(x)( ou)2dxo a(x)| u |2 b(x)(u)2dxo|u|故上述定義的|u |是一個(gè)范數(shù)，亦與范數(shù)|u|o | u|2 dx為等價(jià)范數(shù)。定理3 :設(shè)Rn(n 3)是有界區(qū)域，且具有充分光滑的邊界，再設(shè)f :R1R1除滿足Caratheodory條件和斤之外還滿足：1(F2)存在常數(shù)(o,-)，以及M使得當(dāng)|t| M時(shí)，F(xiàn)(x,t) tf(x,t);m It-4X- t其中 0, 1是div(a(x) ?) b(x) ?在Dirichlet零邊界條件下的第一特征值。則邊

5、值問題(1)至少有一個(gè)非零解 證明：為了利用山路引理，我們需要逐條驗(yàn)證該引理的條件1驗(yàn)證P.S條件。設(shè)UnH0()，滿足|I(un)| C,I'(un) o,欲證明Un有強(qiáng)收斂的子列首先證明Un有界。由(FJ可得，|t|F(x,t)| °|f(x,s)|ds1iGtC2|t|1因此，當(dāng)|t| M時(shí)，| F(x,t)|,|t| f (x,t)|在 上一致有界。結(jié)合(F2)以及第式可得，存在MM2，使得1 2C 2|Un|1 2 -|Un|21 2|Un|1(1Un(x)|MF(x，Un(X)dXMi皿)*山(如(/&)皿M1Un(x) f (x,Un(x)dx M2)|

6、Un|)|Un|2a(x) Un Un b(X)Un(X)Un(X)I '(Un), Un M 2f (X,Un(x)Un(x)dX M 2其中| |是本文中定義的范數(shù)。由于I'(Un)0，所以當(dāng)n充分大時(shí)，有| I'(Un),Un |Un|1 2于是 C (2)|Un|2|Un| M2。由此可以得到| Un |有界。再證Un有強(qiáng)收斂的子列。由于已知 f(X,Un(x)在H0()中有強(qiáng)收斂的子 列，不妨假設(shè)f (X,Un(x)本身強(qiáng)收斂。因此，對(duì)任何£ >0存在N，使得當(dāng)m,n N,v H0()時(shí)，有(f (X, Un (x) f (x,um(x)v(x

7、)dx|v|.同時(shí)，由(2)的第二式，也有a(x) Un v b(x)Un(x)v(x) f (x,Un(x)v(x)dx|v|.讓v Un Um，則a(x)Un (Un Um) b( X) U n ( X)( Un ( X) Um(x) f (X, Un (x)(Un( X) Um(x)dX(4)|Un同理，u m |.a(X)Um (UnUm) b(X)Um(X)(Un(X)Um(x) f (X,Um(X)(Un( X)Um(X)dX|UnUm |.將與合并，并利用可得，2|Un Um |2 2a( X) | (Un Um)| b(X)(Un Um)dX2 |Un Um | | (f (X

8、,Un(X) f (X,Um(X)( Un(X)Um(X)dx|3 |Un Um |.由此可得,|Un Um | 3，即Un是h1()中的Cauchy列，從而比收斂。2驗(yàn)證存在正常數(shù)B, P使得I |b ，其中B是H0()中以零點(diǎn)為中心，以 P為半徑的球。事實(shí)上，由條件(F3)可得，存在常數(shù)',0'，以及S >0使得當(dāng)0 |t| ,x 時(shí)，f(x,t)'1t從而，當(dāng)|t| ,x 時(shí)，有1 2F(x,t) -( 1')t2.2聯(lián)合條件(FJ，存在常數(shù)C3使得1 2 1F(x,t) ( 1')tC3|t| .2利用Sobolev嵌入定理以Poinear

9、不等式可得，F(xiàn)(x,U(x)dx -(1 一)|uC3|u(x) | dx2 17(1 二)l|u C4|u| 1,2 1其中C4是常數(shù)，從而1 ' 2 1I(U)llull2 C4|u| 1.2 1由于a >1可取p足夠小，以致1 ' 2 1 llull2 C4|u| 1 0.2 1即得I | b3 找 Uo H0()，使得 Uo B，且 l(uo) 0。讓i表示div(a(x) ?) b(x) ?在Dirichlet零邊界條件下的第一特征函數(shù)則i 0，且為了方便可讓i2dx 1?？紤]下列函數(shù)1 2(t) I(t i) - it2F(x,t i(x)dx,t 0.條件(F4)蘊(yùn)含了存在',0'，以及丫 >0當(dāng)s時(shí)，f (x,s)( 1')s.于是，存在與t無關(guān)的常數(shù)M',M''，使得F(x,t 1(x)dxt 1 (x)t 1(x)f (x,s)dsdx01 f (x,s) |dsdxt 1(x)(t22(x)2)dx由于當(dāng)t 時(shí)，mesx I