橢圓知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題(共11頁(yè))

1、橢圓知識(shí)點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)小結(jié)：知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常 ,這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形.知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中； 3.橢圓的參數(shù)方程 注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓：

2、的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性：對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說(shuō)明：把換成、或把換成、或把、同時(shí)換成、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，。（3）頂點(diǎn)：橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ， 線段，分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。（4）離心率： 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，則就越接近，從而越小，因此

3、橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；l ；（3）；知識(shí)點(diǎn)四：橢圓第二定義 一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)內(nèi)常數(shù)，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率左準(zhǔn)線 右準(zhǔn)線知識(shí)點(diǎn)五：橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑） （右焦半徑） 其中是離心率 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式： （ 其中分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)六：直線與橢圓問(wèn)題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點(diǎn)，則 弦長(zhǎng) 知識(shí)點(diǎn)七：

4、橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距 范圍，對(duì)稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，的相同點(diǎn)：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。規(guī)律方法： 1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱中心，兩條對(duì)稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。 2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個(gè)量的

5、大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，且?？山柚覉D理解記憶： 顯然：恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看，的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。 4方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號(hào)，且AB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)

6、出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱； 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱； 若把曲線方程中的、同時(shí)換成、，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。8如何求解與焦點(diǎn)三角形PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題？ 思路分析：與焦點(diǎn)三角形PF1F2有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余

7、弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān)線段，有關(guān)角 ()結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系. 9如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？ 長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因?yàn)?，用表示為。顯然：當(dāng)越小時(shí)，越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。經(jīng)典例題：一、橢圓的定義例1、已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點(diǎn)P的軌跡為( )A 圓 B 橢圓 C線段 D 直線例2、橢圓左右焦點(diǎn)為F1、F2，CD為過(guò)F1的弦，則CDF2的周長(zhǎng)為_(kāi)二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3、已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是( ) A -1&

8、lt;k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-1例4、已知方程+=1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為 .例5、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6 (2)長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且過(guò)點(diǎn)(2，1) (3) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，1)，(3，2)例6、若ABC頂點(diǎn)B、C坐標(biāo)分別為(-4，0)，(4，0)，AC、AB邊上的中線長(zhǎng)之和為30，求ABC的重心G的軌跡方程。例7、 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程例8、已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過(guò)點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求

9、橢圓方程三、離心率例9、橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于P點(diǎn)。若F1PF2=60°，則橢圓的離心率為_(kāi)例10、已知正方形ABCD，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的的離心率為_(kāi)例11、橢圓與軸正向交于點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍四、最值問(wèn)題例12、橢圓兩焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi)例14、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，求|PA|的最大值和最小值。六、直線和橢圓例16、已知直線l:y=2x+m，橢圓C：，試問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí)： (1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)； (2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； (3)沒(méi)有公共點(diǎn).例17、已知斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).例18、已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程例19