概率論知識點總結(jié)(同名324)(共19頁)

1、概率論總結(jié) 目 錄一、 前五章總結(jié)第一章 隨機事件和概率 1第二章 隨機變量及其分布.5第三章 多維隨機變量及其分布10第四章 隨機變量的數(shù)字特征13第五章 極限定理.18二、 學(xué)習(xí)概率論這門課的心得體會20 一、前五章總結(jié)第一章 隨機事件和概率第一節(jié)：1.、將一切具有下面三個特點：（1）可重復(fù)性（2）多結(jié)果性（3）不確定性的試驗或觀察稱為隨機試驗，簡稱為試驗，常用E表示。 在一次試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結(jié)果）稱為隨機事件，簡稱為事件。 不可能事件：在試驗中不可能出現(xiàn)的事情，記為。 必然事件：在試驗中必然出現(xiàn)的事情，記為S或。2、我們把隨機試驗的每個基本結(jié)果稱為樣本點，記作e 或.

2、 全體樣本點的集合稱為樣本空間. 樣本空間用S或表示. 一個隨機事件就是樣本空間的一個子集?；臼录吸c集，復(fù)合事件多點集一個隨機事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)該事件所包含的一個樣本點出現(xiàn)。事件間的關(guān)系及運算，就是集合間的關(guān)系和運算。3、定義：事件的包含與相等 若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱B包含A，記為BÉA或AÌB。 若AÌB且AÉB則稱事件A與事件B相等，記為AB。定義：和事件“事件A與事件B至少有一個發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件A與事件B的和事件。記為AB。 用集合表示為: AB=e|eA，或eB。定義：積事件 稱事件“事件A與事件B都發(fā)生”為A與B

3、的積事件，記為AB或AB，用集合表示為AB=e|eA且eB。定義：差事件稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,這一事件為事件A與事件B的差事件,記為AB,用集合表示為 A-B=e|eA，eÏB 。定義：互不相容事件或互斥事件 如果A，B兩事件不能同時發(fā)生，即AB ，則稱事件A與事件B是互不相容事件或互斥事件。定義6：逆事件/對立事件 稱事件“A不發(fā)生”為事件A的逆事件，記為 。A與滿足：A= S,且A=。運算律： 設(shè)A，B，C為事件，則有（1）交換律：AB=BA，AB=BA （2）結(jié)合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)(AB)(AC)

4、 A(BC)(AB)(AC)= ABAC（4）德摩根律：小結(jié)：事件的關(guān)系、運算和運算法則可概括為 四種關(guān)系：包含、相等、對立、互不相容； 四種運算：和、積、差、逆； 四個運算法則：交換律、結(jié)合律、分配律、對偶律。第二節(jié)：1、 設(shè)試驗E是古典概型, 其樣本空間S由n個樣本點組成 , 事件A由k個樣本點組成 . 則定義事件A的概率為：P(A)k/nA包含的樣本點數(shù)/S中的樣本點數(shù)。2、 幾何概率：設(shè)事件A是S的某個區(qū)域，它的面積為 (A)，則向區(qū)域S上隨機投擲一點，該點落在區(qū)域A的概率為：P（A）=（A）/（S） 假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向S上隨機投擲一點的含義如前述，

5、則事件A的概率仍可用（*）式確定，只不過把 理解為長度或體積即可.概率的性質(zhì)：（1）P(f)=0,（2）（3）（4） 若AÌB，則P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).第四節(jié)：條件概率：在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為A對B的條件概率，記作P(A|B). 而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.乘法公式： 若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)全概率公式：設(shè)A1,A2,An是試驗E的樣本空間的一個劃分，且P(Ai)>

6、;0，i =1,2,n, B是任一事件, 則 貝葉斯公式：設(shè)A1,A2,An是試驗E的樣本空間的一個劃分，且P(Ai)>0，i =1,2,n, B是任一事件且P(B)>0, 則 第五節(jié) ：若兩事件A、B滿足 P(AB)= P(A) P(B) 則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立.將兩事件獨立的定義推廣到三個事件：對于三個事件A、B、C，若P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C) 四個等式同時 成立,則稱事件 A、B、C相互獨立. 第六節(jié)：定理 對于n重貝努利試驗，事件A在n次試驗中出現(xiàn)k次

7、的概率為 總結(jié)：1. 條件概率是概率論中的重要概念，其與獨立性有密切的關(guān)系，在不具有獨立性的場合，它將扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計算中經(jīng)常使用，請牢固掌握。3. 獨立性是概率論中的最重要概念之一，亦是概率論特有的概念，應(yīng)正確理解并應(yīng)用于概率的計算。4. 貝努利概型是概率論中的最重要的概型之一，在應(yīng)用上相當(dāng)廣泛。第二章：隨機變量及其分布1 、隨機變量：分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。分布函數(shù)：設(shè) X 是一個 r.v，x為一個任意實數(shù)，稱函數(shù)F(X)=P（Xx）為 X 的分布函數(shù)。X 的分布函數(shù)是F(x)記作 X F(x) 或 FX(x).如果將 X 看作數(shù)

8、軸上隨機點的坐標(biāo)，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間 （xX）。3、 離散型隨機變量及其分布定義1 ：設(shè)xk(k=1,2, )是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱等式P(X=xk)=PK, 為離散型隨機變量X的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布. 其中PK,0；Pk=1分布律與分布函數(shù)的關(guān)系：（1）已知隨機變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù)： 設(shè)一離散型隨機變量X的分布律為 PX=xk=pk (k=1，2，) 由概率的可列可加性可得X的分布函數(shù)為 已知隨機變量X的分布律, 亦可求任意隨機事件的概率。（2）已知隨機變量X的分布函數(shù)，可求出X的分布律：一、 三種常用離散型隨機變量的分布.

9、 1（01）分布： 設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩個值，它的分布律為 PX=k=pk(1-p)1-k , k=0，1. (0<p<1)則稱X服從（01）分布,記為X（01）分布。 （01）分布的分布律用表格表示為：X 0 1P 1-p p 易求得其分布函數(shù)為2.二項分布（binomial distribution)：定義：若離散型隨機變量X的分布律為其中0<p<1,q=1-p,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記為XB(n,p). 4、 泊松分布的定義及圖形特點 設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0 , 1 , 2 , , 且概率分布為：其中 入 >0 是常數(shù),則稱 X

10、服從參數(shù)為 入 的泊松分布,記作XP(入).、連續(xù)型隨機變量1概率密度f(x)的性質(zhì) （1）f(x)0（2）(3).X落在區(qū)間(x1，x2)的概率 幾何意義：X落在區(qū)間(x1，x2)的概率Px1<Xx2等于區(qū)間(x1，x2)上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積 (4).若f(x)在點x處連續(xù)，則有F(x)=f(x)。概率密度f(x)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：(1)若連續(xù)型隨機變量X具有概率密度f(x)，則它的分布函數(shù)為 (2)若連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，那么它的概率密度為f(x)=F(x).注意：對于F(x)不可導(dǎo)的點x處，f(x)在該點x處的函數(shù)值可任意給出。 三種重要的

11、連續(xù)型分布：1均勻分布(Uniform Distribution) 設(shè)連續(xù)隨機變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間(a，b)上服從均勻分布，記為XU(a，b). 若XU(a，b)，則容易計算出X的分布函數(shù)為 2. 指數(shù)分布入>0則稱 X 服從參數(shù)為 入的指數(shù)分布. 常簡記為 XE( 入)指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布的一個重要特性是”無記憶性”.設(shè)隨機變量X滿足：對于任意的s>o，t>0,有 則稱隨機變量X具有無記憶性。3. 正態(tài)分布若r.v X的概率密度為其中 和 都是常數(shù)， 任意， >0，則稱X服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布. 記作f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線. 的正態(tài)分

12、布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 隨機變量函數(shù)的分布設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，具有概率密度fx(x)，求Y=g(X) （g連續(xù)）的概率密度。1一般方法分布函數(shù)法 可先求出Y的分布函數(shù)FY(y)：因為FY(y)=PYy=Pg(X)y，設(shè)ly=x|g(x)y則再由FY(y)進一步求出Y的概率密度 2. 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為jX(x), y=f(x)連續(xù), 求Y= f(X)的密度函數(shù)的方法有三種：（1）分布函數(shù)法；（2）若y=f(x)嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則 可用公式法；（3）若y=g(x)在不相重疊的區(qū)間I1

13、,I2,上逐段嚴(yán)格單 調(diào)，其反函數(shù)分別為h1(y), h2(y), ,且h¢1(y), h ¢2(y), ,均為連續(xù)函數(shù)，則Y= g(X)是連續(xù)型隨機變量， 其密度函數(shù)為 對于連續(xù)型隨機變量，在求Y=g(X) 的分布時，關(guān)鍵的一步是把事件 g(X) y 轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用 X 的分布來求 P g(X) y .。第三章 、多維隨機變量. 分布函數(shù)的性質(zhì)對于任意固定的y，對于任意固定的x，離散型隨機變量的分布、連續(xù)型隨機變量及其概率密度性質(zhì) 邊緣分布 1離散型隨機變量的邊緣分布律連續(xù)型隨機變量的邊緣分布隨機變量的獨立性：兩個隨機變量函數(shù)的分布一、 離散

14、型隨機變量函數(shù)的分布 二、 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布第四章.、隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)學(xué)期望 E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量 X 取可能值的真正的平均值, 也稱均值.2.連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的本質(zhì) 定積分 它是一個數(shù)不再是隨機變量3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E (C ) = C E (CX ) = CE (X )E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 當(dāng)X ,Y 獨立時，E (X Y ) = E (X )E (Y )若存在數(shù) a 使 P(X ³ a) = 1, 則 E (X ) ³

15、; a ；若存在數(shù) b 使 P(X £ b) = 1, 則 E (X ) £ b.第二節(jié)：隨機變量的方差方差的定義D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏離平均值 的平均偏離程度5. 隨機變量方差的計算 利用公式計算方差的性質(zhì) 1.D (C) = 0 2.D (CX ) = C2D(X)D(aX+b ) = a2D(X)特別地，若X ,Y 相互獨立，則若Xi，Xj均相互獨立，均為常數(shù)，則2若X ,Y 相互獨立可得逆命題不成立；3若X ,Y 相互獨立可得逆命題不成立。4. 對任意常數(shù)C, D (X ) £ E(X C)2 ,當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X )時等號成立5.

16、D (X ) = 0 等價于P (X = E(X)=1 稱為X 依概率 1 等于常數(shù) E(X)。切比雪夫不等式 設(shè)隨機變量X有期望E(X)和方差 ，則對于任給 >0,第三節(jié)、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)若則稱x，y不相關(guān)。注：（1）X和Y的相關(guān)系數(shù)又成為標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差，它是一個無量綱的量。2、若隨機變量X和Y相互獨立 協(xié)方差的計算公式1、 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)2、 D(X+_Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)協(xié)方差的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)：1、 二維正態(tài)分布密度函數(shù)中，參數(shù)p代表了與Y的相關(guān)系數(shù)。2、 二維正態(tài)隨機變量X和Y相關(guān)系數(shù)為零等價于X和Y相互獨立。即 XY相互獨立 等價于 XY不相關(guān)不相關(guān)的充要條件相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：第五章：極限定理大數(shù)定理：設(shè)Xn為一隨機變量序列,E(Xn)存在，記 則稱Xn服從（弱）大數(shù)定律。 切比雪夫大數(shù)定律： 設(shè) X1,X2, 是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2, ，則對任意的>0馬爾科夫條件：在切比雪夫大數(shù)定理的證明過程中可以看出只要 ()， 則大數(shù)定理就能成立。切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況：設(shè)X1,X2, 是