數(shù)學(xué)分析知識點最全匯總

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備第一章實數(shù)集與函數(shù)§ 1 實數(shù)授課章節(jié)： 第一章實數(shù)集與函數(shù)§1 實數(shù)教學(xué)目的 ：使學(xué)生掌握實數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點 ：(1) 理解并熟練運用實數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；(2) 牢記并熟練運用實數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個常見的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點 ：實數(shù)集的概念及其應(yīng)用教學(xué)方法 ：講授（部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)程序 ：引 言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了數(shù)學(xué)分析這門課程的研究對象、主要內(nèi)容等話題從本節(jié)課開始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容 首先，從大家都較為熟悉的實數(shù)和函數(shù)開始 問題 為什么從“實數(shù)”開始答：數(shù)學(xué)分

2、析研究的基本對象是函數(shù)，但這里的“函數(shù)”是定義在“實數(shù)集”上的（后繼課復(fù)變函數(shù)研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)）為此，我們要先了解一下實數(shù)的有關(guān)性質(zhì)一、實數(shù)及其性質(zhì)名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備1、實數(shù)有理數(shù) : 任何有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)形式q為整數(shù)且 q0) 表示，p( p, q也可以用有限十進(jìn)小數(shù)或無限十進(jìn)小數(shù)來表示.無理數(shù) : 用無限十進(jìn)不循環(huán)小數(shù)表示.R x | x為實數(shù) - - 全體實數(shù)的集合 問題 有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論實數(shù)是不利的為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)” （包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)”為此作如下規(guī)定：對 于 正有限 小 數(shù)xa0.a a 1 an ,其 中in

3、0整數(shù),，記0 1n 1n1)9999,；0 ai 9, n a 1a ,為非負(fù)2, xa ,.aa(0a對于正整數(shù) xa0 , 則記 x(a01).9999；對于負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)） y ，則先將y 表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號 0 表示為0 0.0000例：2.001 2.0009999 ；32.9999；2.0012.009999；32.9999利用上述規(guī)定， 任何實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示 在此規(guī)定下，如何比較實數(shù)的大?。?、兩實數(shù)大小的比較1）定義 1 給定兩個非負(fù)實數(shù)xa0 .a1an， yb0 .b1bn.其中名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備a0 ,b0 為非負(fù)整

4、數(shù)， ak ,b k(k1, 2,為整數(shù)， 0 ak9, 0b k9若有)ak b k , k0,1, 2,，則稱 x 與y 相等，記為 xy ；若 a0b0或存在非負(fù)整數(shù) l ，使得 akb k, k0,1,2, l ，而 al 1bl 1 ，則稱 x 大于 y 或 y 小于 x ，分別記為x y或yx對于負(fù)實數(shù) x 、 ，若按上述規(guī)定分別有xyy或 xy ，則分別稱為 xy 與 xy （或 y x ）規(guī)定：任何非負(fù)實數(shù)大于任何負(fù)實數(shù)2）實數(shù)比較大小的等價條件（通過有限小數(shù)來比較） 定義 2（不足近似與過剩近似 ）： x a0.a1an為非負(fù)實數(shù)， 稱有理數(shù) xna0 .a1 an為實數(shù) x

5、 的 n 位不足近似 ； xnxn1n 稱為實數(shù) x 的 n10位過剩近似 ， n0,1,2, .對于負(fù)實數(shù) xa0.a1an，其 n 位不足近似 xna0.a1an1n ；n10位過剩近似 xna0.a1an .注：實數(shù) x 的不足近似 xn 當(dāng) n 增大時不減，即有 x0x1x2； 過剩近似 xn 當(dāng) n 增大時不增，即有 x0 x1x2命題：記 xa0 .a1an， yb0.b1bn 為兩個實數(shù)，則 xy 的等價條件是：存在非負(fù)整數(shù)n，使xn yn（其中 xn 為 x 的 n 位不足近似，yn 為 y 的 n位過剩近似）命題應(yīng)用例 1設(shè) x, y為實數(shù)， x y ，證明存在有理數(shù) r ，

6、滿足 xry 證明：由 xy ，知：存在非負(fù)整數(shù) n，使得 xnyn 令 r1xnyn ，2則 r 為有理數(shù)，且x xnr yn y 即 x r y 名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備3、實數(shù)常用性質(zhì) （詳見附錄 P289P302 ）1）封閉性 （實數(shù)集 R 對 , , ,）四則運算是封閉的即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是實數(shù)2）有序性：a, bR ，關(guān)系 ab, ab, ab ，三者必居其一，也只居其一 .3）傳遞性 ：a， b， cR ， 若ab,bc，則 ac4）阿基米德性 ：a,bR, ba0nN 使得 nab 5）稠密性 ：兩個不等的實數(shù)之間總有另一個實數(shù)6）一一對應(yīng)關(guān)系 ：實

7、數(shù)集 R 與數(shù)軸上的點有著一一對應(yīng)關(guān)系例 2設(shè)a,bR ，證明：若對任何正數(shù)，有 ab，則 a（提示：反證法利用“有序性” ，取ab ）b 二、絕對值與不等式1、絕對值的定義實數(shù) a的絕對值的定義為 | a |a,a0 aa02、幾何意義從數(shù)軸看，數(shù) a 的絕對值 | a |就是點 a 到原點的距離 | xa | 表示就是數(shù)軸上點 x與 a 之間的距離3、性質(zhì)1）| a | |a | 0;| a |0 a 0（非負(fù)性）；2） | a |a | a | ；3） | a | hh ah ， |a |hh a h.(h 0) ；名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備4）對任何 a,bR 有 | a |b | |

8、ab | | a | b |（三角不等式）；5） | ab | | a | |b |；6） a| a | （ b0 ）b| b |三、幾個重要不等式1、 a 2b22 ab ,sin x1.sin xx .2、均值不等式 : 對 a1 , a2, anR , 記a1a2an1 n(算術(shù)平均值 )M (ai )nai ,n i 11nnG (ai ) n a1 a2 anai ,i1H (ai )n1111 n 11a1a2ann i 1 ai有平均值不等式 : H ( ai )G(ai )M (ai ), 即：11nn a1a2an1a1a2an(幾何平均值 )nn1.( 調(diào)和平均值)i 1

9、aia1a2ann等號當(dāng)且僅當(dāng) a1 a2an 時成立 .3、Bernoulli不等式 :( 在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過 )x1, 有不等式 (1x) n1nx,nN.當(dāng) x1且 x0 , nN 且 n2 時,有嚴(yán)格不等式 (1x)n1nx.證：由 1 x0 且1x0,(1x) nn1(1 x) n111n n (1 x) nn (1 x).(1x) n1nx.4、利用二項展開式得到的不等式: 對h0, 由二項展開式名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備(1h) n1 nhn(n 1) h 2n( n 1)(n 2) h3h n ,2!3!有(1 h) n上式右端任何一項 .練習(xí)P45課堂小結(jié) ：實數(shù)：一

10、實數(shù)及其性質(zhì).二 絕對值與不等式 作業(yè) P4 1(1) ，2(2) 、(3) ，3§ 2 數(shù)集和確界原理授課章節(jié)： 第一章實數(shù)集與函數(shù)§2 數(shù)集和確界原理教學(xué)目的 ：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實數(shù)確界的清晰概念.教學(xué)要求：(1) 掌握鄰域的概念；(2) 理解實數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運用 .教學(xué)重點 ：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理）.教學(xué)難點 ：確界的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法 ：講授為主 .教學(xué)程序 ：先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗學(xué)習(xí)效果， 此后導(dǎo)入新課 .引言上節(jié)課中我們對數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問題作了簡要討論；此后又讓大家自學(xué)了第一

11、章§1實數(shù)的相關(guān)內(nèi)容 . 下面，我們先來檢驗一下名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備自學(xué)的效果如何！1 、 證 明 ： 對 任 何 x R 有 ： (1)| x1| x2|1；(2)| x 1| | x 2 | | x 3| 2 .（ （1） x 1 1( x 2) 1 x 2 , x 1 x2 1 ）（2）x 1x 21, x 2x 3 1, x 2x3 2.三式相加化簡即可 ）2、證明： | x | y | | xy |.3、設(shè) a, bR ，證明：若對任何正數(shù)有 ab，則 ab .4、設(shè) x, yR, xy ，證明：存在有理數(shù)r 滿足 yrx . 引申 ：由題 1 可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？

12、這樣思考是做科研時的經(jīng)常的思路之一 . 而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結(jié)論： 一般的方法？由上述幾個小題可以體會出“大學(xué)數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同；理論性強，概念性強，推理有理有據(jù)，而非憑空想象；課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做， 以加深理解，語言應(yīng)用 . 提請注意這種差別，盡快掌握本門課程的術(shù)語和工具 .本節(jié)主要內(nèi)容 ：1、先定義實數(shù)集R中的兩類主要的數(shù)集區(qū)間與鄰域；2、討論有界集與無界集；3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理（確界原理）.一 、區(qū)間與鄰域1、區(qū)間（用來表示變量的變化范圍）設(shè) a, bR 且 ab . 區(qū)間有限區(qū)間，其中無限區(qū)間名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必

13、備開區(qū)間 :xR | axb(a, b)有限區(qū)間閉區(qū)間 :xR | axba,b閉開區(qū)間 :xR | axba, b)半開半閉區(qū)間xR | axb(a, b開閉區(qū)間 :xR | xa a,).xR | xa(,a.無限區(qū)間xR | xa(a,).xR | xa (, a).xR |xR.2、鄰域聯(lián)想：“鄰居”. 字面意思：“鄰近的區(qū)域” . 與 a 鄰近的“區(qū)域”很多，到底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關(guān)于a的對稱區(qū)間”；如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？（1）a 的鄰域：設(shè) aR,0 ，滿足不等式 | xa |的全體實數(shù) x的集合稱為點 a 的鄰域，記作 U ( a; ) ，或簡記為U ( a

14、;)x | xa |(a, a).其中 a稱為該鄰域的中心，（2）點 a 的空心鄰域稱為該鄰域的半徑.U o (a;)x 0| xa |(a, a)(a, a)U o (a) .（3） a 的右鄰域和點 a 的空心右鄰域U (a;U 0 (a;) a, a( a, a)U (a)U 0 (a)x ax axaxa;.（4）點 a 的左鄰域和點 a 的空心左鄰域U(a;U 0 (a;)(a(a, a , a)U (a)U 0 (a)x ax axa ;xa .名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備（5） 鄰域，鄰域，鄰域U ( )x | x |M, （其中 M為充分大的正數(shù)）；U ( )x x M , U (

15、 )x xM二 、有界集與無界集1、定義 1（上、下界）：設(shè) S 為 R 中的一個數(shù)集 . 若存在數(shù) M (L) ，使得一切 xS 都有 x M ( xL ) ，則稱 S 為有上（下）界的數(shù)集 . 數(shù)M ( L) 稱為 S 的上界（下界）；若數(shù)集 S 既有上界，又有下界，則稱 S為有界集 .閉區(qū)間 a, b、開區(qū)間 ( a, b) (a, b 為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 Ey ysin x, x(,) 也是有界數(shù)集 .若數(shù)集 S 不是有界集，則稱S 為無界集 .(,),(,0),( 0 ,) 等都是無界數(shù)集 ,集合 Ey y1( 0 , 1) 也是無界數(shù)集 ., xx注：1）上（下）

16、界若存在，不唯一；2）上（下）界與S 的關(guān)系如何？看下例：例1 討論數(shù)集Nn | n為正整數(shù) 的有界性 .解：任取 n0 N ，顯然有 n0 1，所以 N 有下界 1；但 N 無上界 . 因為假設(shè) N 有上界 M,則 M>0，按定義，對任意n0N ， 都 有 n0M，這是不可能的，如取n0M （1符號 M 表示不超過 M 的最大整數(shù)），則 n0 N ，且 n0 M .名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備綜上所述知： N 是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集.例 2 證明：（1）任何有限區(qū)間都是有界集； （2）無限區(qū)間都是無界集；（3）由有限個數(shù)組成的數(shù)集是有界集 . 問題 ：若數(shù)集 S 有上界，上界是

17、唯一的嗎？對下界呢？ ( 答：不唯一 ，有無窮多個 ).三 、確界與確界原理1、定義定義 2（上確界 ） 設(shè) S是 R中的一個數(shù)集， 若數(shù) 滿足：(1)對一切 xS, 有 x（即 是 S 的上界）; (2) 對任何，存在 x0S ，使得 x0（即 是 S 的上界中最小的一個），則稱數(shù)為數(shù)集 S 的上確界，記作sup S.從定義中可以得出： 上確界就是上界中的最小者 .命題 1Msup E 充要條件1） xE, xM ；2）o, x0S, 使得 x0 M.證明：必要性，用反證法. 設(shè) 2）不成立，則00,使得 xE,均有 x M o ，與 M 是上界中最小的一個矛盾 .充分性（用反證法），設(shè) M

18、 不是 E 的上確界，即M 0 是上界，但MM0.令MM 0 0 ，由 2）， x0 E ，使得 x0 MM0，與M0是E 的上界矛盾 .定義3（下確界 ）設(shè)S 是R 中的一個數(shù)集，若數(shù)滿足：（1）對一切xS, 有 x（即是S 的下界）；（2）對任何，存在x0S ，使得x0（即是S 的下界中最大的一個），則稱數(shù)為數(shù)集S 的下確界，記作inf S.從定義中可以得出： 下確界就是下界中的最大者.名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備命題 2inf S 的充要條件：1） xE, x；2） 0， x0S,有x0 .上確界與下確界統(tǒng)稱為確界 .例 3（1） S( 1 )n1 ； inf S0 .1, 則 sup Sn

19、（2）Ey ysin x, x (0,) . 則 sup S1 ；inf S0 .注：非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.命題 3：設(shè)數(shù)集 A 有上（下）確界，則這上（下）確界必是唯一的.證明：設(shè)sup A ，sup A 且，則不妨設(shè)sup AxA 有 xsup A對，x0A 使x0 ，矛盾 .例： sup Rnn10 ， sup1 ， inf2n Zn 1n Zn 1E5,0,3,9,11 則有 inf E5 .開區(qū)間a , b 與閉區(qū)間a, b 有相同的上確界 b 與下確界 a例 4設(shè) S和 A是非空數(shù)集，且有 SA. 則有 sup Ssup A, inf Sinf A. .例 5設(shè)A和

20、B是非空數(shù)集 .若對x A 和 yB, 都有 xy, 則有sup Ain fB.證 明 ： y B, y 是 A 的 上 界 ,sup A y.sup A 是 B 的 下名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備界,sup Ainf B.例6A和B為非空數(shù)集,SAB.試證明:inf Smininf A , inf B .證明：xS, 有xA 或xB, 由 infA 和 inf B 分別是A 和B 的下界,有xinf A 或 xinf B.xmininf A , inf B.即 min inf A , inf B 是數(shù)集 S 的下界 ,inf S min inf A , inf B . 又 S A,S的下界就是

21、A的下界 , inf S 是 S 的下界 ,inf S 是 A 的下界 ,inf S inf A; 同理有inf S inf B.于是有 inf Smin inf A , inf B .綜上 , 有 inf Smin inf A , inf B.1. 數(shù)集與確界的關(guān)系 : 確界不一定屬于原集合 . 以例 3為例做解釋 .2. 確界與最值的關(guān)系 : 設(shè) E 為數(shù)集 .（ 1） E 的最值必屬于 E , 但確界未必 , 確界是一種臨界點 .（ 2）非空有界數(shù)集必有確界 ( 見下面的確界原理 ), 但未必有最值.（ 3）若 max E 存在 , 必有 max Esup E. 對下確界有類似的結(jié)論.4

22、. 確界原理 :Th1.1 ( 確界原理 ). 設(shè) S 非空的數(shù)集 . 若 S 有上界，則 S 必有上確界；若 S 有下界，則 S 必有下確界 .E R, E 非空， xE ，我們可以這里我們給一個可以接受的說明找到一個整數(shù)p ，使得 p 不是 E 上界，而 p 1是 E 的上界 . 然后我們遍查 p.1 , p.2 , , p.9 和 p 1，我們可以找到一個 q0 ，0q09 ，使得 p.q0 不是 E 上界， p.(q0 1) 是 E 上界，如果再找第二位小數(shù)q1 ，,如此下去，名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備最后得到p.q0 q1q2 ，它是一個實數(shù)，即為 E 的上確界 .證明：（書上對上確界

23、的情況給出證明，下面講對下確界的證明）不妨設(shè) S 中的元素都為非負(fù)數(shù)，則存在非負(fù)整數(shù)n ，使得1） xS ，有 xn ；2）存在 x1S ，有 x n1；把區(qū)間 (n, n1 10 等分，分點為 n. 1，.2 ，, . 9,存在 n1 ，使得1）S ，有； xn.n1 ；2）存在 x2S ，使得 x2n.n1101 再對開區(qū)間 (n.n , n.n1 10 等分，同理存在n2，使得11101）對任何 xS ，有 xn.n1 n2 ；2）存在，使 xn.n n2x2212110繼續(xù)重復(fù)此步驟，知對任何k1,2,，存在 nk 使得1）對任何 xS ， xn.n1n2nk101k；2）存在 xkS

24、 ， xkn.n1 n2nk因此得到n.n1 n2 nk以下證明infS （）對任意 xS， x；（）對任何，存在 xS 使x 作業(yè)：P9 1 （1），（2）；2； 4 （2）、（4）；§ 3 函數(shù)概念授課章節(jié) ：第一章實數(shù)集與函數(shù)§ 3 函數(shù)概念教學(xué)目的 ：使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念 . 教學(xué)要求 ：（）深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、 反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示法；（）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象 . 會求初等函數(shù)的存在域，會分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系 .名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備教學(xué)重點 ：函數(shù)的概念 .教學(xué)難點 ：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析.教學(xué)方法 ：課

25、堂講授，輔以提問、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué).教學(xué)程序 ：引言關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解 . 為便于今后的學(xué)習(xí)，本節(jié)將對此作進(jìn)一步討論 .一、函數(shù)的定義定義 設(shè) D, M R ，如果存在對應(yīng)法則 f ，使對 x D ，存在唯一的一個數(shù) y M 與之對應(yīng)，則稱 f 是定義在數(shù)集 D 上的函數(shù)，記作f : DMx |y .數(shù)集 D 稱為函數(shù) f 的定義域， x 所對應(yīng)的 y ，稱為 f 在點 x 的函數(shù)值，記為 f ( x) . 全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)f的值域，記作f (D ).即f ( D)y | yf (x), xD .幾點說明（ 1）函數(shù)定義的記號中“f : DM ”表示按法則f

26、 建立 D 到 M的函數(shù)關(guān)系， x | y 表示這兩個數(shù)集中元素之間的對應(yīng)關(guān)系，也記作 x | f ( x) . 習(xí)慣上稱 x 自變量， y 為因變量 .（ 2） 函數(shù)有三個要素，即定義域、對應(yīng)法則和值域 . 當(dāng)對應(yīng)法則和定義域確定后，值域便自然確定下來 . 因此，函數(shù)的基本要素為名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備兩個：定義域和對應(yīng)法則 . 所以函數(shù)也常表示為： y f ( x), x D . 由此，我們說兩個函數(shù)相同， 是指它們有相同的定義域和對應(yīng)法則.例如： 1） f ( x)1, xR,g( x)1, xR0 . （不相同，對應(yīng)法則相同，定義域不同）2）( x)| x |, xR,( x)x2 ,

27、 xR. （相同，只是對應(yīng)法則的表達(dá)形式不同） .（ 3）函數(shù)用公式法（解析法）表示時，函數(shù)的定義域常取使該運算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域（自然定義域）.此時，函數(shù)的記號中的定義域可省略不寫，而只用對應(yīng)法則f 來表示一個函數(shù) . 即“函數(shù) y f ( x) ”或“函數(shù) f ”.（ 4）“映射”的觀點來看， 函數(shù)f本質(zhì)上是映射，對于aDf (a)，稱為映射f 下 a 的象 . a 稱為 f (a) 的原象 .（ 5）函數(shù)定義中，xD ，只能有唯一的一個y 值與它對應(yīng)，這樣定義的函數(shù)稱為“單值函數(shù)”，若對同一個x 值，可以對應(yīng)多于一個 y 值，則稱這種函數(shù)為多值函數(shù) . 本書中只討論

28、單值函數(shù)（簡稱函數(shù)） .二 、函數(shù)的表示方法1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和圖象法（圖示法） .2 可用“特殊方法”來表示的函數(shù) .1）分段函數(shù) ：在定義域的不同部分用不同的公式來表示.名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備例如s g xn1 x,x 01 x,0, ，（符0號函數(shù)）0（借助于sgnx可表示f ( x)| x |, 即f ( x)| x |xsgn x ）.2）用語言敘述的函數(shù) . （注意；以下函數(shù)不是分段函數(shù)）例） y x （取整函數(shù)）比如： 3.5=3,3=3, -3.5=-4.常有 xx x1 , 即 0 x x 1.與此有關(guān)一個的函數(shù)y xxx（非負(fù)小數(shù)函數(shù)）圖形是

29、一條大鋸，畫出圖看一看 .）狄利克雷（ Dirichlet）函數(shù)1,當(dāng)x為有理數(shù),D (x)0,當(dāng)x為無理數(shù),這是一個病態(tài)函數(shù)，很有用處，卻無法畫出它的圖形 . 它是周期函數(shù)，但卻沒有最小周期，事實上任一有理數(shù)都是它的周期 .）黎曼（ Riemman）函數(shù)1,當(dāng) xp ( p, qN , p 為既約分?jǐn)?shù) ),R( x)qqq0,當(dāng)x和內(nèi)的無理數(shù) .0,1 (0,1)三函數(shù)的四則運算給定兩個函數(shù)f , xD1, g , xD2 ，記 DD1D2 ，并設(shè) D，定義 f與 g 在 D 上的和、差、積運算如下：F ( x)f ( x)g( x), xD；G( x)f (x)g( x), xD；H (x

30、)f ( x)g (x), xD .若在D 中除去使g( x)0 的值，即令DDx g(x)0, xD 2，名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備可在 D 上定義 f 與 g 的商運算如下； L( x)f ( x) , x D .g( x)注：）若 D D1 D2，則 f 與 g 不能進(jìn)行四則運算 .）為敘述方便，函數(shù)f 與 g 的和、差、積、商常分別寫為：fg,fg,fg ,f.g四、復(fù)合運算引言在有些實際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們之間的對應(yīng)關(guān)系.例：質(zhì)量為 m的物體自由下落，速度為v，則功率 E 為E1 mv2E1mg2t 2 .2vgt2抽去該問題的實際意義， 我們得到兩個

31、函數(shù) f (v)1 mv2 , v gt ，把2v(t ) 代入 f ，即得f (v(t)1 mg2t 2 .2這樣得到函數(shù)的過程稱為“函數(shù)復(fù)合”，所得到的函數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)” . 問題 任給兩個函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；yf (u)arcsinu, uD 1,1, ug ( x)2x2 , xER .就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的定義域的交集不空（從而引出下面定義）.2 定義（復(fù)合函數(shù) ）設(shè)有兩個函數(shù) yf (u), uD ,ug(x), xE ，名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備Ex f (x)DE ，若 E，則對每一個xE ，通過 g 對應(yīng) D 內(nèi)唯一一

32、個值 u ，而 u 又通過 f 對應(yīng)唯一一個值y ，這就確定了一個定義在E 上的函數(shù)，它以x 為自變量，y 因變量，記作yf ( g( x), xE 或y ( f g )( x), x E . 簡記為 f g . 稱為函數(shù) f 和 g 的復(fù)合函數(shù)，并稱 f 為外函數(shù)， g 為內(nèi)函數(shù)， u 為中間變量 .3. 例子例yf (u)u ,ug (x)1 x2 . 求f g ( x)f g( x). 并求定義域 .例f (1x) x 2x1,f ( x)_.f x1x 21 .則xx2f ( x)()A.x 2 ,B.x21,C. x 22,D.x22.例討論函數(shù)yf ( u)u, u0,與)函數(shù) u

33、g(x)1x2 , xR能否進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù).4 說明）復(fù)合函數(shù)可由多個函數(shù)相繼復(fù)合而成. 每次復(fù)合，都要驗證能否進(jìn)行？在哪個數(shù)集上進(jìn)行？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么？例如 ：ysin u, uv, v1x2， 復(fù) 合 成 ：ysin1x2 , x 1,1.）不僅要會復(fù)合， 更要會分解 . 把一個函數(shù)分解成若干個簡單函名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備數(shù)，在分解時也要注意定義域的變化.ylog a1x2 , x(0,1)ylog a u,uz, z1x2 .yarcsinx21y arcsinu,uv ,v x2 1.ysin 2xy2u, uv2,v sin x.2五、反函數(shù). 引言在函數(shù) yf (

34、 x) 中把 x 叫做自變量，y 叫做因變量 . 但需要指出的是，自變量與因變量的地位并不是絕對的，而是相對的，例如：f (u)u ,ut 21,那么 u 對于 f 來講是自變量，但對t 來講， u 是因變量.習(xí)慣上說函數(shù) y f (x) 中 x 是自變量， y 是因變量，是基于 y 隨 x 的變化現(xiàn)時變化 . 但有時我們不僅要研究 y 隨 x 的變化狀況，也要研究 x隨 y 的變化的狀況 . 對此，我們引入反函數(shù)的概念 . . 反函數(shù)概念定義 設(shè) f: XR 是一函數(shù)，如果x1 ， x2X , 由x1 x2f ( x1)f ( x2 )( 或由 f ( x1 )f ( x2 )x1x2 )

35、，則稱 f 在 X 上是 1-1的.若 f : XY ，Yf ( X ) ，稱 f 為滿的 .若 f: XY 是滿的 1-1 的，則稱 f 為 1-1 對應(yīng) .f : XR 是1-1的意味著 yf ( x) 對固定 y 至多有一個解 x ， f : XY 是 1-1 的意味著對 y Y ， yf ( x) 有且僅有一個解 x .名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備定義設(shè) f : XY 是 1-1 對應(yīng) .yY ,由 yf ( x) 唯一確定一個 xX , 由這種對應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為yf (x)的反函數(shù)，記為xf 1 ( y) .反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域f : XYf1 : YX顯然

36、有f1fI : XX( 恒等變換）ff1I : YY( 恒等變換 )( f1) 1f : XY .從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別， 作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為yf 1 ( x) , 這樣它的圖形與 y f ( x) 的圖形是關(guān)于對角線 yx 對稱的 .y嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是 1-1對應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù) .但 1-1對應(yīng)的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子f ( x)x,0x1x,1x23它的反函數(shù)即為它自己 .0x實際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行：1.確定f : XY 的定義域 X 和值域 Y ，考慮 1-1對應(yīng)條件 . 固定 y Y ，解方程 f (x)y得出

37、 xf 1 ( y) .2.按習(xí)慣，自變量 x、因變量 y 互換，得 yf 1 (x) .例求 ysh( x)exex：RR 的反函數(shù) .2exe x解固定 y ，為解 y，令 exz ，方程變?yōu)?2zyz21z22zy10z yy21 (舍去 yy21 )得 x ln( yy21) ，即 yln( xx21) sh 1 ( x) ，稱為反雙曲正弦 .定理給定函數(shù) yf ( x) ，其定義域和值域分別記為X和Y，若在 Y 上存在函數(shù)g( y) ，使得 g( f ( x)x , 則有 g( y)f 1 ( y) .名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備分析：要證兩層結(jié)論：一是 yf ( x) 的反函數(shù)存在，我們只要證它是 1-1 對應(yīng)就行了；二是要證 g( y)f 1 ( y) .證 要證 yf ( x)