數(shù)學(xué)分析求極限的方法

1、;.求極限的方法具體方法 利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則來(lái)求極限定理 1 ：若極限 lim f (x) 和limg( x) 都存在，則函數(shù) f (x)g (x) ， f ( x) g( x)x x0xx當(dāng) xx0 時(shí)也存在且 limf (x) g( x)lim f ( x)lim g( x)x 0x x0x x.0 limf (x) g (x)lim f ( x)lim g(x)x x0x x0xx0又若 lim g(x) 0 ，則 f ( x) 在 xx0 時(shí)也存在，且有xx0g( x)limf (x)limxxf ( x)0g( x)lim g( x)xx0x x0利用極限的四則運(yùn)算法則求極限

2、， 條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限存在， 一般所給的變量都不滿足這個(gè)條件，如、 0 等情況，都不能直接用四則運(yùn)算法則，0必須要對(duì)變量進(jìn)行變形，設(shè)法消去分子、分母中的零因子，在變形時(shí)，要熟練掌握飲因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形。例 1：求 limx 24x2x 2x2x2解：原式 =limx2limx 2 0x2x 2 用兩個(gè)重要的極限來(lái)求函數(shù)的極限利用 limsin x1來(lái)求極限xx 0sin xlimx1的擴(kuò)展形為：x0令 g x0 ，當(dāng) xx0 或 x時(shí)，則有l(wèi)imsin g xsin g x1或 lim1x x0g xxg x;.'.例 2： limsin xxx解：令 t=x . 則

3、 sinx=sin(t)=sint,且當(dāng) x時(shí) t0sin xlimsin t故 limxt1xt0sin x21例 3：求 limx1x 1解：原式 =limx1x1sin x21sin x21x1 x1limx1x 1x212利用 lim (11 )e來(lái)求極限xx1 )1lim (1e的 另 一種 形 式 為 lim (1)e .事實(shí)上，令xx01 . x1) x10.所以 e lim (1lim (1)exxx01例 4: 求 lim (1 2x) x 的極限x011解：原式 =lim(12 x) 2 x(12x) 2xe2x 0利用這兩個(gè)重要極限來(lái)求函數(shù)的極限時(shí)要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式

4、只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能夠運(yùn)用此方法來(lái)求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換來(lái)求極限所謂等價(jià)無(wú)窮小量即 limf ( x)1.稱 f ( x) 與 g( x) 是 xx0 時(shí)的等價(jià)無(wú)窮g ( x)x x0小量，記作f (x) g( x) . ( xx0 ) .定理 2 ：設(shè)函數(shù) f (x), g( x), h(x) 在 u 0 ( x0 ) 內(nèi)有定義，且有 f ( x) g( x) . (x x0 );.'.若 lim f ( x)g( x)A, 則 lim g( x)h(x) Axx0xx0若limh(x)B, 則 limh( x

5、)Bf (x)g( x)x x0x x0證明： lim g( x)h(x)limg( x)limf ( x)h(x) 1A Af ( x)x x0x x0x x0可類似證明，在此就不在詳細(xì)證明了！由該定理就可利用等價(jià)無(wú)窮小量代換來(lái)求某些函數(shù)的極限例 5：求 limtan x sin x的極限sin x3x 0解：由tan xsin xsin x (1 cos ). 而sin x x, (x0)；xcosx2x3331cos x , （ x0 ）； nisxx x, （ x0 ） .tan x sin x1xx 21故有 lim= lim2sin x3cosxx32x 0x 0注：由上例可以看出

6、， 欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的s i nx1 ， 故 有 s i nx x,( x0). 又由于等 價(jià) 無(wú) 窮 小 量 ， 如 ： 由 于 limxx 0a r c t ax n故有 arctanx x ，(x0 ).l i m1,x 0x另注：在利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限時(shí)， 應(yīng)該注意： 只有對(duì)所求極限中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)代換，而對(duì)極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中，若因有tanx x ， (x0); sin x x ,( x0). 而推出tan x sin x=limx xlim330則得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。x 0sin xx 0sin x

7、 利迫斂性來(lái)求極限定理 3 ：設(shè) lim f(x)=lim g(x)=A,且在某 u o ( x0 ,' ) 內(nèi)有 f(x) h(x) g(x),x x0x x0則 lim h(x)=Ax x0;.'.例 6：求 limx1 的極限x0x解： 1 x1<1-x. 且 lim (1 x) 1由迫斂性知xx 0lim x1=1x 0x做此類型題目的關(guān)鍵在于找出大于已知函數(shù)的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并且所找出的兩個(gè)函數(shù)必須要收斂于同一個(gè)極限。 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利 用 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 求 極 限 包 括 ： 如 函 數(shù)f ( x) 在 x0 點(diǎn) 連 續(xù) ， 則li

8、m f ( x)f ( x0 ) 及若 lim (x) ax x0x x0且 f(u) 在點(diǎn) a 連續(xù)，則lim f ( x)f lim ( x)x x0x x01 cos x例 7：求 lim e 2arcsin x2 的極限x 0解：由于limx01 c o xs1及 函 數(shù) f ue4 在 u1處連續(xù)，故2 a rc sx2i n 441 c ox slim1 cos x122 arcsin x2lim e2 a r cx s i n x 04=e=e。x 0 利用洛比達(dá)法則求函數(shù)的極限在前面的敘述中， 我們已經(jīng)提到了利用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)求函數(shù)的極限， 在此筆者敘述一種牽涉到無(wú)窮小 （大）

9、量的比較的求極限的方法。 我們把兩個(gè)無(wú)窮小量或兩個(gè)無(wú)窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記作0 型或 型的不定0式極限。現(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限， 這個(gè)方法通常稱為洛比達(dá)法則。下面就給出不定式極限的求法。(1) 對(duì)于 0 型不定式極限，可根據(jù)以下定理來(lái)求出函數(shù)的極限0;.'.定理 4 ：若函數(shù) f(x) 和函數(shù) g(x) 滿足： limf (x) =lim g( x) =0。x x0x x0在點(diǎn)x0 的某空心鄰域 u 0 ( x0 ) 內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且 g' ( x) 0 limf ' ( x)=A。（A 可為實(shí)數(shù)，也可為或 ）x x0g' ( x

10、)則 limf ( x) =limf ' (x) =A。x x0g( x)x x0g' (x)注：此定理的證明可利用柯西中值定理，在此，筆者就不一一贅述了。例 8：求 lim1cos xtan2xx解：容易檢驗(yàn)f(x)=1+ cos x 與 g(x)= tan2x 在 x0的鄰域里滿足定理的條件和，又因limf ' (x) =limsin x2= -limcos3 x1xg' (x)x2tan x secxx22故由洛比達(dá)法則求得，limxxf ( x) =limxxf ' ( x) = 10g( x)0g' ( x)2在此類題目中，如果 lim

11、f ' ( x)仍是 0型的不定式極限，只要有可能，我們x x0g' ( x)0可再次利用洛比達(dá)法則，即考察極限limf ' (x) 是否存在。當(dāng)然，這是f ' (x) 和x x0g' (x)g' (x) 在 x0 的某鄰域內(nèi)必須滿足上述定理的條件。1例 9：求ex(12x) 2limln(12)x 0x解：利用 ln(1x2 ) x 2（ x0 ），則得113原式 =limex(122x) 2=limex(1 2 x) 2=limex(1 2x) 2x 0xx 02xx 02221在利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)， 為使計(jì)算更加快捷減少運(yùn)算中的諸多不便

12、，可;.'.用適當(dāng)?shù)拇鷵Q，如下例，例 10：求 limx1exx 0解：這是 0 型不定式極限，可直接運(yùn)用洛比達(dá)法則求解，但是比較麻煩。如作適0當(dāng)?shù)淖儞Q，計(jì)算上就會(huì)更方便些，故令 tx, 當(dāng) x0 時(shí)有 t0，于是有l(wèi)imx=limtlim111 ex1 ettx 0t 0t 0e(2) 型不定式極限若滿足如下定理的條件，即可由如下定理計(jì)算出其極限。定理 5 ：若函數(shù) f(x) 和函數(shù) g(x) 滿足： lim f (x) =lim g( x) =x x0x x0在點(diǎn) x0 的某空心鄰域 u0(x0 ) 內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且 g' ( x) 0f ' ( x) lim g&

13、#39; ( x) =A，（ A 可為實(shí)數(shù)，也可為或）。xx0則 limf ( x) =limf ' ( x)=A。x x0g( x)x x0g' ( x)此定理可用柯西中值定理來(lái)證明，在此，筆者就不一一贅述了。例 11：求 limln xxx解：由定理 4 得，ln xlim(ln x)'limllimx(x)'0xxxx注 1：若 limf ' ( x) 不存在，并不能說(shuō)明 limf ( x) 不存在。x x0g '( x)x x0g( x)注 2：不能對(duì)任何比式極限都按洛比達(dá)法則來(lái)求解。首先必須注意它是不是不定式極限；其次是觀察它是否滿足洛

14、比達(dá)法則的其它條件。下面這個(gè)簡(jiǎn)單的極限;.'.limxsin x =1xx雖然是型的，但若不顧條件隨便使用洛比達(dá)法則：limxsin x =lim 1cos x 就會(huì)因右式的極限不存在而推出原式的極限xxx1不存在這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。(3) 其它類型不定式極限不定式極限還有 0， 1，00， 0，等類型。這些類型經(jīng)過簡(jiǎn)單的變換，都可以化為 0型和型的不定式極限。0例 12：求 lim x ln xx 0解：這是一個(gè) 1型的不定式極限，作恒等變形x ln x = ln x ，將它轉(zhuǎn)化為型的1x不定式極限，并用洛比達(dá)法則得到1lim xln x =limln x =limx=lim ( x)

15、0x 0x 01x 01x 0xx21例 13：求 lim (cos x) x2x 0解：這是一個(gè)1型的不定式極限，作恒等變形11 ln cos x(cos x) x 2= ex210其 指 數(shù) 部 分 的 極 限 limx0 x 2ln cos x是0型的不定式極限，可先求得lim12 ln cos x =limtan x =1x 0xx 02x211從而得 lim (cos x) x2 =e 2x0;.'.k例 14: 求 lim (sin x)1ln x （k 為常數(shù)）x 0解：這是一個(gè) 00 型的不定式極限，按上例變形的方法，先求型的極限，k cosxlimk ln sin x

16、limsin x =lim k cos xx=k1 ln xsin xx 0x01x 0xk然后得到lim (sin x)1ln x =ek （ k0 ）x 0當(dāng) k =0 時(shí)上面的結(jié)果仍成立。1例 15: 求 lim (x1x2 ) ln xx解：這是一個(gè)0 型的不定式極限，類似地，先求其對(duì)數(shù)的極限（型）1limln( x1x2 ) =lim1 x =1xln xx1x1于是有 lim ( x1x 2 ) ln x =ex 利用泰勒公式求極限由于泰勒公式的特殊形式，對(duì)于求解某些函數(shù)的極限有簡(jiǎn)化求解過程的作用。x2例 16：求 limcosx e 2x4x 0解：本題可用洛比達(dá)法則來(lái)求解，但是

17、運(yùn)算過程比較繁瑣， 在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為x4 ，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，（取 n=4）cosx=1- x2+ x4+o ( x5 )224x 2+ x 4e 2 =1- x2o( x5 )28;.'.x2cosx- e2 =- x 4o ( x 5 )12x21 x 4o( x 5 )因而求得 limcosx e2=lim1x412412x 0x 0x 利用微分中值定理和積分中值定理求極限2 x2sin x例 17：求limx3的極限x0解：2 x2sin x2x2sin xxsin xx3xsin xx3由微分中值定理得，2 x2sin x2ln 2

18、xsin x（介于 x 與 sin x 之間）2x2sin xxsin xlim 2 ln 21cosxln 2原式=limxsin xlimx3lim3x26x 0x 00x 0例 18：求 limx02 x2sin xx3的極限解：2 x2sin x2x2sin xxsin xx3xsin xx3由微分中值定理得，2x2sin x2ln 2xsin x（介于 x 與 sin x 之間）原式 =lim2x2sin xlimx sin xlim 2 ln 21cosxln 2xsin xx3lim3x26x 0x 00x 0 利用定積分求極限lim (111 )例 19：求 nn 1n 22n解：把此極限式化為某個(gè)積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算計(jì)算定積分，為此作如下變形：;.'.nJ limni 111in1n不難看出，其中的和式是函數(shù)發(fā)f (x)11在區(qū)間 0,1 上的一個(gè)積分和。（這x里所取的是等分分割，xi1,iii1 ,i （ i 1.2.n.）， 所