數(shù)學(xué)課程必修一講義

1、第一講集合集合的有關(guān)概念某些指定的對象集在一起就成為一個集合，這些研究對象叫做元素。確定性：集合中的元素必須是確定的集合中元素的特性：互異性：集合中任兩個元素是互不相同的無序性：集合與組成它的元素順序無關(guān)注意：這三條性質(zhì)對于研究集合有著很重要的意義，經(jīng)常會滲透到集合的各種題目中，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)重視。元素與集合的關(guān)系：如果a 是集合 A 的元素，就說a 屬于 A ，記作： aA如果 a 不是集合A 的元素，就說a 不屬于 A ，記作： aA（注意：屬于或不屬于（,）一定是用在表示元素與集合間的關(guān)系上）集合的分類：集合的種類通常分為：有限集（集合含有有限個元素）、無限集（集合含有無限個元素）、空集（不

2、含任何元素的集合，用記號表示）集合的表示：集合的表示方法：列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號 “”括起來的表示方法。 例：A1,2描述法： 在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合一般元素的符號及取值范圍，再畫一條豎線， 在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。例：Bx x4 （如果元素的取值范圍是全體實數(shù)，范圍可省略不寫）。圖示法（即維恩圖法） ：用平面內(nèi)一條封閉曲線的內(nèi)部表示一個集合。特定集合的表示：自然數(shù)集（非負整數(shù)集）記作N ；正整數(shù)集記作N * N ；整數(shù)集記作 Z ；有理數(shù)集記作Q ；實數(shù)集記作R 。（這些特定集合外面不用加）高考要求 ：理解集合的概念，了解屬于關(guān)系的意義，掌握

3、相關(guān)的術(shù)語符號，會表示一些簡單集合。例題講解：夯實基礎(chǔ)一、判斷下列語句是否正確1）大于 5 的自然數(shù)集可以構(gòu)成一個集合。正確xN x52）由 1， 2，3 ，2， 1 構(gòu)成一個集合，這個集合共有5 個元素。錯誤3）所有的偶數(shù)構(gòu)成的集合是無限集。正確4）集合 Aa,b,c , Bc, a, b 則集合 A 和集合 B 是兩個不同的集合。錯誤二、用符號或填空。1） 0 _ N2） 3.14 _ Z3）_ Q4）若5）若Ax x 22x，則2 _ ABx x 22x30 ，則 3_ B三、用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑? ） 一 次 函 數(shù) y2x 1 與 y1 x4的交點組成的集合。6 ,172556,

4、176 ,17 區(qū)別是什么？55552）絕對值等于3 的全體實數(shù)構(gòu)成的集合。3, 33）大于 0 的偶數(shù)。x x2n,nN *2,4 ,6 ,8 ,.能力提升1）集合 Ax, yx2 y 7, x, yN，用列舉法表示集合 A 。解： x, y Nx0 y0當(dāng) x=1 y=3當(dāng) x=3 y=2x=2 y=5N3N2x=4 y=x=5 y=12 （ 1,3 ） ,(3,2),(5,1)2）集合 Ax ax22x 1 0 中只有一個元素，求 a 的值。解：當(dāng) a=0方程： 2x+1=0x=-1 合題意22當(dāng)a 0ax2 x 1 0當(dāng)4 4 a 1=0 a=13）用描述法可將集合1, 3,5, 7,

5、9, 11,解：xn+1）,n N*x （ -1 ）（2n-1表示成 _ 。知識要點二：集合與集合之間的關(guān)系子集一般地，如果集合A 中的任何元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合 B 的子集記作 AB（ A包含于 B ）或 BA( B 包含 A )即：對任意 x Ax B ，則 A B 。顯然 AA ，對于任一集合 A ，規(guī)定A 。真子集：如果集合A B ，但存在元素xB, x A ,我們稱集合 A 是集合 B 的真子集，記作 A? B。集合是任意非空集合的真子集。集合的相等集合 A,B如果 AB，同時 BA，則稱 AB。嚴格區(qū)分，正確使用“, ,? ”等符號。前兩個是用在元素與集合的

6、關(guān)系上，后三個是用在集合與集合的關(guān)系上，一定注意區(qū)分。集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系一 般 地 ， 設(shè) A x p x , Bx q x，如果 AB ， 則 x A xB ，例： A= x x3B=x x2p xxq xp x q x若A B 當(dāng)x 3x 2于是 x 具有性質(zhì)具有性質(zhì)，即當(dāng)x 3 x 2。我們說 A一定是 B的子集。反之，如果p xq x ，則 A 一定是 B 的子集。集合的運算交集一般地，對于兩個給定的集合A, B ，由屬于 A 又屬于 B 的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A, B的交集，記作 AB ，讀作“ A交 B”由定義容易知道：ABBA；AAA ；AA；如果AB,則ABA。

7、并集一般地，對于兩個給定的集合A, B ，由 A ， B 兩個集合的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A, B的并集，記作 AB ，讀作“ A并 B”由定義容易知道ABBA;AAA ；AAA如果AB,則ABB。補集全集： 如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集， 那么稱這個給定的集合為全集， 通常用 U 來表示。補集：如果給定集合A 是全集 U 的一個子集，由 U 中不屬于 A 的所有元素構(gòu)成的集合，叫做 A 在 U 中的補集，記作eU A ，讀作“ A 在 U 中的補集”。高考要求：理解子集、補集、交集、并集的概念。了解全集的意義，了解包含、相等關(guān)系得意義，掌握相關(guān)的術(shù)語、符號，并會用它們正確表示一

8、些簡單的集合。例題講解：夯實基礎(chǔ)一、用適當(dāng)?shù)姆柼羁?） 2 _ 1,2,32） a _ a, b3） a _a, b, c4）_ 05） 1,4,7 _ 7,1,46）0,1 _ N7）_ xR x21二、已知集合 A2,0,1，那么A 的非空真子集有_個。解： A的非空真子集指的是，除A集合本身與后所有子集含有 1個元素的20 1含有 2個元素的，1,02 021給出計算子集的公式，全部子集個數(shù)2n ， n表示元素個數(shù)。三、求下列四個集合間的關(guān)系，并用維恩圖表示。CU AAx x是平行四邊形， Bx x是菱形 ， Cx x是矩形 ，Dx x是正方形解： BA,CA,DA,D=B C四、已知

9、U1,2,3,4,10 , A 2，4，6，8，10 ，B1，2，3，4，求AB, CUACUB 。解：AB，2 4CUA，13579CUB，5678910CC，U AU B5 7 9能力提升一、若集合X 滿足01，X2， 101，2 ，則 X 的個數(shù)有幾個？解： 中至少要含有，兩個元素。X01比，多一個元素的有個，0132 011012 0 1比，多 個人元素的有 個， ，012321 01220112 01比，多 個元素的， ，1，0132102二、如右圖 U 是全集， M , P, S 是 U 的三個子集，則陰影部分所表示的集合是（）A.MPCUSB.MPCUSC.MPSD.MPS解：先

10、看 MP如圖所示而Cu為圖 S以外部分以上兩部分公共區(qū)域顯然為圖中陰影三、已知集合A4,2 a1,a2 , Ba5,1a,9 , AB9 ，試求實數(shù) a 。解：對于集合 A來講（1）令 2a-1=9a=5A=-4,9,25 B=0,-4,9AB=-4 ，9 與已知不符。 a=5舍去AB99A(2) 令 a29a3或 a3a3時， A 4,5,9B=-2 ， -2 ， 9不符合集合的互異性，a=3舍去（3）當(dāng) a=-3A=-4,-7,9 B=-8,4,9與AB=9 相符a 3 AB 4,4,8,7,9四、已知集合Ax x2p2x1 0, p, x R ，且 A R，求實數(shù)p 的取值范圍。解：若A

11、 R等價于 A=或方程 x2( p2)x 1有兩個非正根0若A=24 1 10則 =（p+2）p24p0-4p0（2）方程 x2( p2)x1有兩個非正根00p或p40x1x 2p20p-2x1x 210解得 p-4或p0p2p 0 綜上 p的取值范圍（ -4 ，+ ）注意： AR的條件之一就是 A，這是十分容易遺漏的，另外對A x x2p2 x 1 0, p, x R 的正確理解應(yīng)是二次方程x2p 2 x 1 0 的根組成的集合。那么應(yīng)該有三種情況：兩個不等實根、兩個相等實根、無實根。而無實根就是使得 A 為空集的情況。第二講函數(shù)及其性質(zhì)知識要點一：函數(shù)及其相關(guān)概念映射：設(shè) A, B 是兩個

12、非空集合，如果按照某種對應(yīng)法則f ，對于集合 A 中的任何一個元素，在集合 B 中都有 唯一 的元素與它對應(yīng)， 這樣的對應(yīng)關(guān)系叫做從集合A 到集合 B 的映射。記作： f : AB 。象與原象：給定一個集合A 到集合 B 的映射，且 aA,b B ，如果 a, b 對應(yīng)那么元素 b叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象。一一映射：設(shè)A, B 是兩個非空集合， f : AB 是集合 A 到集合 B 的映射，并且對于集合 B 中的任意一個元素，在集合A 中都有且只有一個原象，把這個映射叫做從集合A 到集合 B 的一一映射。函數(shù)：設(shè)集合A 是一個 非空數(shù)集 ，對 A 中的任意數(shù) x ，按

13、照確定的法則f，都有 唯一 確定的數(shù) y 與它對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合A 上的一個函數(shù)，記作：yfx, x A 這里 x 叫自變量， 自變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的定義域 ，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合，叫做這個函數(shù)的 值域。這里可以看出一旦一個函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則確定，則函數(shù)的值域也被確定，所以決定一個函數(shù)的兩個條件是：定義域和對應(yīng)法則 。函數(shù)的表示方法：解析法、圖像法、列表法。區(qū)間：定義名 稱符號x axb閉區(qū)間a,bx axb開區(qū)間a,bx axb半開半閉區(qū)間a,bx axb半開半閉區(qū)間a,b閉區(qū)間是包括端點，開區(qū)間不包括端點。實數(shù)集R 可以表示為,，“”讀作“無窮大”，例如：“ x3 ”

14、可以表示為3,，“ x4 ”可以表示為, 4 。高考要求：了解映射的概念，理解函數(shù)的有關(guān)概念，掌握對應(yīng)法則圖像等性質(zhì)，能夠熟練求解函數(shù)的定義域、值域。例題講解：夯實基礎(chǔ)一、判斷下列關(guān)系哪些是映射。1） AZ, BZ , f :平方；2） AR, BR , f: 平方；3） Ax1x 1 , BR, f : 求倒數(shù)；4） AN , B0,1 , f : 當(dāng) n 為奇數(shù)時， n1；當(dāng) n 為偶數(shù)時， n0 ；5） ACZZ ,B正奇數(shù) ，f : nm2n1,其中 n A, m B ；二、已知 fx2x3 ,求 ft , fx 2。x1解： f (t )2t3t1fx22 x232 x7x21x1三

15、、求下列函數(shù)的定義域。1） y1x22x32） y349x2解：x22x30(x3 )x(1)0x3且 x 1x103） y1x1x1解：1x0x11x10 x0x x 1且 x1且 x 0四、求函數(shù)解析式：1）已知 f (1 )1x,求 f (x) 。2）已知f (3x1) 9x26x5，xx2求 f (x) 。解：f ( 1 )1xx2xf ( x)1x1xf ( x)xx 21解：1tx=t13 x3f ( x)9(t1) 26t1935=t 22t12t25=t 24t8=x 24 x83）已知 f ( x)是二次函數(shù)，且滿足f (0)1, f ( x1) f (x)2x, 求 f (

16、 x) 。解：設(shè) ax2bxc(a0)f (0)1Ca2b(x1)ca2bx c2x( x 1)x2axbxabbx 2xa1b1f (x)x2x1af ( x)1,0,f ()a4）若函數(shù)f ( x) 滿足方程xax xR x為常數(shù)，且a1 ，求f ( x) 。af( 1 )f( x )a 1(1)解：xx( 1 )a 2 f( x )afa 2 x (2)x（ a 2 -1 ） f ( x )a 2 xaf( x )a 2x 2a-1） x（ a 2注意：求函數(shù)的解析式大致有如下幾種方法：拼湊法；換元法；待定系數(shù)法；解析法。注意因題型而選擇方法。小結(jié)：求函數(shù)的定義域，就是求使得該函數(shù)表達式

17、有意義自變量的范圍，大致有如下幾種方法：一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)；函數(shù)表達式形式是分式的，分母不為 0；函數(shù)表達式形式是根式的，如果開偶次方根，被開方式要大于等于零；如果開奇次方根，被開方式可以取全體實數(shù)；零指數(shù)冪與分數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；在有實際意義的解析式中，一定要由實際問題決定其定義域；多個限制條件取交集。五、求下列函數(shù)的值域1）f ( x) 4x11x3解：f (1)4115f (3)4 31112）f ( x )2 x 24 x1 2x3解：x4122f(2)2224211f(3)23 24317y1 , 73）4）yx22x3解： y（ x 22 x1） 4（ x24

18、1）0y2yx1x解：設(shè)1xt01xt 2x =1- t 2( t1 )2y1t 2tt 2t1( t yy5422541 5t)44注意：函數(shù)的值域一定是在其定義域下控制的值域，隨著所給函數(shù)定義域的不同，相同表達式的函數(shù)的值域也互不相同。在今后我們將會學(xué)習(xí)更多的新的函數(shù)和相關(guān)性質(zhì)，也會對其定義域和值域在進一步探討。知識要點二：函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性：定義：一般地，設(shè)fx 的定義域為 I ：如果對于定義域I 內(nèi)某個區(qū)間D 上的任意兩個自變量的值x1 , x2 ，當(dāng) x1x2 時，都有fx1fx2 ，那么就說函數(shù)fx 在區(qū)間 D 上是增函數(shù)；區(qū)間D 稱為單調(diào)遞增區(qū)間。如果對于定義域I 內(nèi)某個區(qū)間D

19、 上的任意兩個自變量的值x1 , x2 ，當(dāng) x1x2 時，都有fx1fx2 ，那么就說函數(shù)fx 在區(qū)間 D 上是減函數(shù)；區(qū)間D 稱為單調(diào)遞減區(qū)間。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù) yfx 的定義域為 D ，如果對 D 內(nèi)的任意一個x ，都有xD ，且 fxfx ，則這個函數(shù)叫奇函數(shù)。（如果已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)函數(shù)的定義域中有0 時，我們可以得出f00 ）設(shè)函數(shù) yg x 的定義域為D ，如果對 D 內(nèi)的任意一個x ，都有xD ，若 gxg x ，則這個函數(shù)叫偶函數(shù)。從定義我們可以看出，討論一個函數(shù)的奇、偶性應(yīng)先對函數(shù)的定義域進行判斷，看其定義域是否關(guān)于原點對稱。也就是說當(dāng)x 在其

20、定義域內(nèi)時，x 也應(yīng)在其定義域內(nèi)有意義。圖像特征如果一個函數(shù)是奇函數(shù)這個函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱。如果一個函數(shù)是偶函數(shù)這個函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱。復(fù)合函數(shù)的奇偶性：同偶異奇。高考要求：掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法。命題趨向：這一部分歷來是考試重點，在函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域、值域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，奇、偶性考查較多，而且對這部分知識的考查有深度有力度，一、兩個性質(zhì)， 解答題中的綜合運用往往是學(xué)生解題能力的體現(xiàn)，檔次。在客觀題中主要考查在這里也容易拉開學(xué)生的例題講解：夯實基礎(chǔ)一、判斷下列函數(shù)的單調(diào)性。1） y1當(dāng) x0,x證明：任取 x1, x2(

21、0,)x1x2f (x1)f (x2 )=11x2x10x1x2x1x2f ( x1 )f ( x2 )y1 是x2） fxx1 當(dāng) x1,證明：任取x1 , x21,)x1x21f x1x11f x2x21f x1f x2x11x21 =x2x1x2 1x1 1x2x10x11x21 0f x1fx20f ( x )在 1,)是3） fx3x在（ 1 x1 ）x2 1二、判斷下列函數(shù)的奇、偶性。1） y3xx3奇函數(shù)1x2） f xx 1x11x01x01 x1 x 1 關(guān)于原點不對稱 .非奇非偶3） fx0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).fxx2x( x0)2x( x0)4）x解：x>0 -

22、x<0f(x)=-x2 +x f(-x)=x2 -xf(x)=f(-x)f(0)=0x<0 -x>0f(x)=x2 +xf(-x)=-x2 -xf(-x)=-f(x)5） fx1 x 222x解：1-x20x2 20-1x1x-4 x0fx1x20xxf x 為奇函數(shù)結(jié)論：函數(shù)就奇、偶性來劃分可以分成奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)。三、已知 yfx 是奇函數(shù)，當(dāng)x0 時， fx2 x2x1，求當(dāng) x0 時， fx 得解析式。解：設(shè) x0 ，則x0當(dāng) x0 時， f x2x2x1f2x12x2x 1x 2 xy f x 是奇函數(shù)，fxfx2x2x12x2x1

23、 為所求x0 時 yf x 的解析式。能力提升一、已知函數(shù)fxa2x1，若 fx為奇函數(shù)，求實數(shù)a 的取值。1解：首先考慮定義域，知xR，由奇函數(shù)的定義fxfx建立等式求解計算起來就比較麻煩，我們還知道已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)函數(shù)的定義域中有0 時，我們可以得出f 00 ，f01。0 易得 a21二、已知 fx是偶函數(shù)， gx 是奇函數(shù)， 且 fxg xx，試求 fx 與 g x的1表達式。解：令 f xg xx1的 x 取x 得 fxgx111xf x 是偶函數(shù)， g x 是奇函數(shù)，fxfx , gxg x ,fxg1x1xfxg1x1x兩式相加得 2 fx111xx12,fx1x 1 x 1x

24、21x21x2 1兩式相減得2gx11x1x12x,gxxx 1 x 1x21x21x2 1三 、設(shè) yf x 的 定 義 域 是 R ， 對于 任 意 x, y 都 有 f xyfxf y , x 0 時f x 0, f21，討論 yf x的奇、偶性并加以證明；yfx 在 R 上的單調(diào)性并加以證明。求在6,6 上的最值。解： （1）令y=-xf(0)則有f(0)=f （x）+f(-x)f （x） f （-x ）f(0)0f （x） f （-x ）y=f （x）是奇函數(shù)。解：在定義域任取x1 , x2 ，且x1x2那么令xx1, yx2f ( x1又x1x2 )f ( x1 )x2且 x1x2

25、f (0x2 )f ( x1x2 )0又 f (x)是奇函數(shù)f ( x2 )f ( x2 )f (x1x2 )f (x1 )f ( x1 )f ( x2 )x1x2f (x2 )0f ( x)在 R上是單調(diào)遞減第三講基本初等函數(shù)知識要點：一次函數(shù)與二次函數(shù)知識點的回顧一次函數(shù) ykxb定義域值 域相 關(guān)概念性質(zhì)RRk 叫做直線的斜率1） k0，是增函數(shù)， k0 ，是減函數(shù)。b 叫做直線在y 軸上的截距2）當(dāng) b0，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)是奇函數(shù)；當(dāng)b0 ，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。（表一）二 次 函 數(shù) y ax2bx c a 0定義域值 域性質(zhì)a0， ymin4acb2bb4acb24a

26、圖像開口向上，對稱軸方程x，頂點,4aR2a2a單調(diào)性：在對稱軸左側(cè)遞減右側(cè)遞增。a0， ymax4acb2bb4acb24a圖像開口向下，對稱軸方程x，頂點,4a2a2a單調(diào)性：在對稱軸左側(cè)遞增右側(cè)遞減。（表二）指數(shù)與指數(shù)函數(shù) a 的 n 次方根的定義： 一般地， 如果 xna ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1,nN *當(dāng) n 為奇數(shù)時，正數(shù)的n 次方根為正數(shù)，負數(shù)的na ；當(dāng) n 為偶n 次方根是負數(shù)表示為數(shù)時，正數(shù)的 n 次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)可以表示為na 。負數(shù)沒有偶次方根。0 的任何次方根都是0。n式子a 叫做根式， n 叫做根指數(shù)，a 叫做被開方數(shù)。nn

27、a, a0, n 次方根的性質(zhì)： 當(dāng) n 為奇數(shù)時，ana ；當(dāng) n 為偶數(shù)時， ana0;a, annaamnmn0,1 ；分指數(shù)的意義：aa am nN na注意： 0 的正分數(shù)指數(shù)冪等與0，負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。m1nm a 0, m,n N , n 1a n有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：a0,b0,r , s Q ar as ar s (ar ) sarsr abar br指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一般地， 函數(shù) yax a0,且a1 叫做指數(shù)函數(shù)， 其中 x 是自變量， 函數(shù)的定義域為 R 。通過描點我們得到指數(shù)函數(shù)在底數(shù)取不同范圍時的大致圖象，現(xiàn)將函數(shù)性質(zhì)總結(jié)如下：0a1a1圖象定R義域值0,域性

28、1）過定點（ 0， 1），即 x0, y1質(zhì)2）在 R 上是減函數(shù)2）在 R 上是增函數(shù)3）當(dāng) x 0,0 y1； x 0, y 13）當(dāng) x0, y1 ； x 0,0 y 1一點建議：學(xué)好函數(shù)一定要對函數(shù)的各個性質(zhì)非常了解，死記硬背是不能達到掌握的要求的，那么在這里給同學(xué)們一點建議，準確掌握函數(shù)的基本圖象，從圖象中挖掘函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一般地，如果axN a0,且a1 ，那么數(shù)x 叫做以 a 為底 N 的對數(shù)，記作：x log a N 其中 a 叫做對數(shù)的底數(shù)，N 叫做真數(shù)。根據(jù)對數(shù)的定義我們可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng) a0, a1時, axNxlog aN這時我們可以看出負

29、數(shù)和零沒有指數(shù)，且log a 10,log a a 1。對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a0,且 a 1, M0, N0，那么 logaMNloga Mloga N; log aMlog a Mlog a N ;N loga M nnloga M指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)ylog a x一般地，函數(shù)ylog a x a 0,且 a1叫做對數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域0,。通過描點我們得到對數(shù)函數(shù)在底數(shù)取不同范圍時的大致圖象，現(xiàn)將函數(shù)性質(zhì)總結(jié)如下：0a1a1圖象定義域0,值域R性質(zhì)1）過定點（ 1， 0），即 x 1, y02）在 0,上是減函數(shù)2）在 0,上是增函數(shù)3）當(dāng) 0 x1, y 0 ； x 1, y0 3）當(dāng) 0 x1, y 0 ； x 1, y 0