2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版選修1-1學(xué)案：3.1.1平均變化率

1、 3. 1.1 平均變化率 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1通過實例，了解平均變化率的概念，并會求具體函數(shù)的平均變化率 （重點）2 了 解平均變化率概念的形成過程，會在具體的環(huán)境中，說明平均變化率的實際意義 （難點）3 了 解平均變化率的正負(fù)（易混點） IT問題導(dǎo)學(xué) - 知識點一函數(shù)的平均變化率 在吹氣球時，氣球的半徑 r（單位：dm）與氣球空氣容量（體積）V（單位：L）之間的函數(shù)關(guān)系是 r（V） =3囂 思考 1 當(dāng)空氣容量 V 從 0 增加到 1 L 時，氣球的平均膨脹率是多少? 思考 2 當(dāng)空氣容量從 Vi增加到 V2時，氣球的平均膨脹率是多少? 梳理 一般地，函數(shù) y= f（x）在區(qū)間xi, X2上的平

2、均變化率為 _ ，其中 _ 是函數(shù)值的改變量. 知識點二平均變化率的意義 思考如何用數(shù)學(xué)反映曲線的“陡峭”程度?導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3J導(dǎo)數(shù)的概念 梳理 平均變化率的幾何意義：設(shè) A(Xi, f(xi), B(X2, f(X2)是曲線 y= f(x)上任意不同的兩點, 題型探究 類型一求函數(shù)的平均變化率 例 1 (1)已知函數(shù) f(x) = 2x2 + 3x 5. 求：當(dāng) Xi = 4, X2= 5 時，函數(shù)增量 廚和平均變化率 求：當(dāng) xi = 4, X2= 4.1 時，函數(shù)增量 廚和平均變化率 豈 2 1 求函數(shù) y = f(x)= x2在 x= 1,2,3 附近的平均變化率，取 Ax都為 3,

3、哪一點附近的平均變化率 最大？ 反思與感悟 求平均變化率的主要步驟 (1) 先計算函數(shù)值的改變量 Ay= f(x2) f(x1); (2) 再計算自變量的改變量 Ax= x2 X1； Ay f(X2 f(X1 ) (3) 得平均變化率-y= . AX X2 X1 跟蹤訓(xùn)練 1 (1)已知函數(shù) f(x) = x2 + 2x 5 的圖象上的一點 A( 1， 6)及鄰近一點 B( 1 + Ax, 6 + Ay)，則-. Ax - 如圖所示是函數(shù) y= f(x)的圖象，則函數(shù) f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為 _ ;函 函數(shù) y= f(x)的平均變化率|y= _為割線 AB 的斜率. 數(shù) f(x)

4、在區(qū)間0,2上的平均變化率為 _ . 類型二平均變化率的應(yīng)用 例 2 在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高度 h(單位：m)與起跳后的時間 t(單位：s) 存在函數(shù)關(guān)系 h(t) = - 4.9t1 2+ 6.5t+ 10. (1)求運(yùn)動員在第一個 0.5 s 內(nèi)高度 h的平均變化率； 求高度 h在 1 w tw 2 這段時間內(nèi)的平均變化率. 反思與感悟 結(jié)合物理知識可知，在第一個 0.5 s內(nèi)高度 h的平均變化率為正值，表示此 時運(yùn)動員在起跳后處于上升過程；在 1W tw2 這段時間內(nèi)，高度 h的平均變化率為負(fù)值，表 示此時運(yùn)動員已開始向水面下降.事實上平均變化率的值可正、可負(fù)也可以是 0

5、. (2)平均變化率的應(yīng)用主要有：求某一時間段內(nèi)的平均速度，物體受熱膨脹率，高度 (重量)的 平均變化率等等解決這些問題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)自變量和因變量. 跟蹤訓(xùn)練 2 2012 年冬至 2013 年春，我國北部某省冬麥區(qū)遭受嚴(yán)重干旱， 根據(jù)某市農(nóng)業(yè)部門 統(tǒng)計，該市小麥?zhǔn)芎得娣e如圖所示，據(jù)圖回答： 1 2012 年 11 月至 2012 年 12 月間，小麥?zhǔn)芎得娣e變化大嗎？ 2 哪個時間段內(nèi)，小麥?zhǔn)芎得娣e增幅最大？ 從 2012 年 11 月至 2013 年 2 月間，與從 2013 年 1 月至 2013 年 2 月間，試比較哪個時間 段內(nèi)，小麥?zhǔn)芎得娣e增幅較大？ 當(dāng)室訓(xùn)練 1若函數(shù) f(x)

6、 = x2的圖象上存在點 P(1,1)及鄰近的點 Q(1 + Ax,1+ Ay),則的值為 _ 2 圓的半徑 r 從 0.1 變化到 0.3 時，圓的面積 S 的平均變化率為 4 .如圖，函數(shù) y= f(x)在X1, X2 , X2, X3, X3, X4這幾個區(qū)間內(nèi)，平均變化率最大的一個區(qū) 間是 _ 5.甲企業(yè)用 2 年時間獲利 100 萬元，乙企業(yè)投產(chǎn) 6 個月時間就獲利 30 萬元，如何比較和評 價甲、乙兩企業(yè)的生產(chǎn)效益？ (設(shè)兩企業(yè)投產(chǎn)前的投資成本都是 10 萬元) 廠規(guī)律與育法 - 1 .準(zhǔn)確理解平均變化率的意義是求解平均變化率的關(guān)鍵，其實質(zhì)是函數(shù)值增量 Ay 與自變量 取值增量AX

7、的比值涉及具體問題，計算 Ay 很容易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤，因此，計算時要注意括 號的應(yīng)用，先列式再化簡，這是減少錯誤的有效方法. 2 .函數(shù)的平均變化率在生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用， 如平均速度、平均勞動生產(chǎn)率、 面積體積 變化率等解決這類問題的關(guān)鍵是能從實際問題中引出數(shù)學(xué)模型并列出函數(shù)關(guān)系式，需注意 是相對什么量變化的. 提醒：完成作業(yè) 第 3 章 3.1 3.1.1 問題導(dǎo)學(xué) 知識點一 思考 1 平均膨脹率為1 疋0.62 = 0.62 (dm/L). 1 - 0 1 思考 2 平均膨脹率為r V2 - rV1. V2 V1 梳理 fx2fx1 X2 x1 y= f(x2) f(x1) 知識點二 思

8、考 如圖，表示 A、B 之間的曲線和 B、C 之間的曲線的陡峭程度， 可以近似地用直線的斜 率來量化. 如用比值yC 滄近似量化 B、C 這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值是曲線在 XB, xc上的平 xc xB 均變化率. 梳理 fX2 fX1 = fX1+ & fX1 X2 X1 Ax 題型探究 例 1 解因為 f(x) = 2x2 + 3x 5, 所以 Ay= f(x1 + Ax) f(x” 2 2 =2(x1 + Ax) + 3(X1 + Ax) 5 (2x1 + 3x1 5) 2 =2( Zx)2+ 2x1 Ax + 3 Ax =2( Ax)2+ (4x1 + 3) Ax. A

9、y 2 Ax 2+ 4x1 + 3 Ax Ax= Ax =2 Ax+ 4x1 + 3. 當(dāng) X1 = 4, X2= 5 時，Ax= 1 ,答案精析 2 y= 2( Ax) + (4xi + 3) Ax= 2+ 19= 21, 當(dāng) x1 = 4, x2= 4.1 時，Ax= 0.1, Ay= 2( Ax)2+ (4x1 + 3) Ax =0.02+ 1.9 = 1.92. Ay -=2 Ax+ 4x1 + 3= 19.2. Ax (2)在 x= 1 附近的平均變化率為 2 f(1+Ax 廠 f(1 ) (1 +Ax ) 1 k1 = AX = AX =2 + Ax; 在 x=2 附近的平均變化率為 2 2 f 2+ Ax f 2 2+ Ax 2 k2= Ax = A =4 + Ax; 在 x=3 附近的平均變化率為 f 3+ Ax f 3 3+ Ax 2 32 k3= Ax = A =6 + Ax. 、， V 1 7 當(dāng) Ax= 3 時，k1 = 2+ 3= 3, 1 13 1 19 k2= 4 + 3= , k3= 6+ 3=. 由于 k1k2k