2020高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(人教版理)：橢圓

1、第五節(jié)橢 圓2019 考綱考題考情1.橢圓的概念平面內(nèi)與兩定點(diǎn) Fi、F2的距離的和等于常數(shù)(大于 IF1F2I)的點(diǎn) 的軌跡叫橢圓。這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)， 兩焦點(diǎn)間的距離叫做 焦距集合 p= M|MFi|+ |MF2|= 2a,|FiF2|= 2c,其中 a0,c0, 且 a, c 為常數(shù)。(1) 若 ac，貝UM 點(diǎn)的軌跡為橢圓。(2) 若 ac，則 M 點(diǎn)的軌跡為線段 F1F2。(3) 若 ac，則 M 點(diǎn)不存在?？家鲆罂碱}舉例考向標(biāo)簽1.拿握橢岡的童幾何斑解，標(biāo)產(chǎn)待單幾何ft爾(租陽. 燉稱性點(diǎn).宵心字)2,的簡(jiǎn)取應(yīng)川判店全國住1 *讓序|問聽)2oi8TMHA心和傘國港III *

2、門沁江就奇樣厠的卩吐更蘇)2UI7 ”空國性III *兒糾tlJft)2017 -浙江応號(hào)*Y:ftN的幾何忡)1.輛m的定生臨司取幾何件翅ZtMH韻管會(huì)間桟匕常矗蟲觀思魅、逆轍播代、翌學(xué)itW教材回扣o微知識(shí)小題纟束o-基礎(chǔ)徴梳理JICHIlJWElSHUi.1頂點(diǎn)Ai( a,0), A2(a,0)Bi(O, b), B2(0, b)Ai(0, a), A2(0, a)Bi( b,0), B2(b,0)軸長(zhǎng)軸 AiA2的長(zhǎng)為 2a;短軸 BiB2的長(zhǎng)為 2b焦距|FiF2|=2c離心率ce=才 Da, b, c的關(guān)系c2= a2 b2常記結(jié)論1 橢圓方程中的 a, b, c2 2 2(1)a

3、, b, c 關(guān)系：a = b + c。越大，則 a 越小，橢圓就越扁；離心率 e 越小，則b越大，橢圓就越圓2. 在求焦點(diǎn)在 x 軸上橢圓的相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用以下不等關(guān)系：一 awxWa, bwywb,0e|F1F2|=6,所以點(diǎn) P 的軌跡是以 F1, F2為焦點(diǎn)的橢圓，其中 a= 5, c =3,b = .a2-c2=4,故點(diǎn) P 的軌跡方程為 2x5+ = 1。故選 A。答案 A2.（選修 2- 1P49A 組 T6改編）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1, F2,過點(diǎn)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)卩卩，若厶 F1PF2為等腰2 2aC2即 a = 2c, 即卩 e + 2e- 1

4、= 0,又 0eb0) 的左、右焦點(diǎn)，A 是 C 的左頂點(diǎn)，點(diǎn) P 在過 A 且斜率為 f 的直 線上，PF1F2為等腰三角形，/ F1F2P= 120。，則 C 的離心率為 ()A. IC.1解析 由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|=2c，因?yàn)?PF1F2為等腰三角形，且/FIF2P=120所以|PF2|=F1F2I = 2c。因?yàn)?|OF2| = c,所以點(diǎn) P 坐標(biāo)為(c + 2ccos60；32csin60即點(diǎn) P(2c, Wc)。因?yàn)辄c(diǎn) P 在過 A 且斜率為卡的直答案 Dx2yf4. (2017 全國卷山)已知橢圓 C:孑+詁=1(ab0)的左、右線上，所以

5、2c+ ao6頂點(diǎn)分別為 A1, A2，且以線段 A1A2為直徑的圓與直線 bxay+2ab = 0 相切，則 C 的離心率為（)C.解析 由題知以線段 AA2為直徑的圓的方程為 x2+ y2= a2,2ab22圓心到直線 bx ay+ 2ab= 0 的距離 d = = a,得 a = 3b ,小2+ a2/b2J6C 的離心率 e=1 孑=亍，故選 A。答案 A三、走出誤區(qū)微提醒：忽視橢圓定義中的限制條件；忽視橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置的討論；忽視點(diǎn) P 坐標(biāo)的限制條件。5._ 平面內(nèi)一點(diǎn) M到兩定點(diǎn)Fi（O, 9）, F2（0,9）的距離之和 等于 18,則點(diǎn) M 的軌跡是 。解析 由題意知 |

6、MFi|+ |MF2| = 18，但|FIF2|=18, 即 |MFi|+ |MF2|=IF1F2I,所以點(diǎn) M 的軌跡是一條線段。答案線段 F1F2A . 4B . 8C. 4 或 8D. 12解析 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，10 mm 20,10 m (m 2)=4,所以 m= 4。當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，m 210 m0, m 2 (10 m) = 4，所以 m= 8。所以 m=4 或 8。6.橢圓1 的焦距為 4,則 m 等于（答案 C2 27.已知點(diǎn)P是橢圓 X+y = 1 上 y 軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn) p54及焦點(diǎn) Fl, F2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為O解析 設(shè) P

7、(x, y)，由題意知 c2= a2 b2= 5 4 = 1,所以 c=1,則 Fi( 1,0), F2(1,0)。由題意可得點(diǎn) P 到 x 軸的距離為 1,x yH5所以 y=，把 y=代入+亍=1,得 x= 廠，又 x0,所 以 X=，所以P 點(diǎn)坐標(biāo)為 FP，1 或， 1 廣答案隙 1 則-1第 1 課時(shí) 橢圓的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)考占一J八、橢圓的定義及應(yīng)用【例 1】x2(1)過橢圓 4+y2= 1 的左焦點(diǎn) F1作直線 l 交橢圓于 A, B 兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓右焦點(diǎn)，則 ABF2的周長(zhǎng)為()A. 8B. 4 2C. 4D. 2 2(2)在平面直角坐標(biāo)系yx2xOy 中，P 是橢圓；+ =

8、 1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) A(1,1), B(0, 1),則|FA|+ |PB|的最大值為()C. 3D. 2解析(1)因?yàn)猷l(xiāng)+ y2= 1,所以 a = 2。由橢圓的定義可得|AF1|微咨點(diǎn)火課堂+ |AF2|= 2a = 4,且|BFi|+ |BF?匸 2a = 4,所以ABF2的周長(zhǎng)為 |AB|+ |AF2+ |BF2|=(|AFI|+AF2|)+(|BFI|+|BF2|)= 4a= 8。故選 A。2 2(2)因?yàn)闄E圓方程為 專+卷=1，所以焦點(diǎn)為 B(0, - 1)和B (0,1)，連接 PB，AB，根據(jù)橢圓的定義，得|PB| + |PB |=2a = 4，可得|PB| = 4-|PB因

9、此|PA|+ |PB|= |FA|+ (4|PB |)=4+ (|PA|PB |)|)。因?yàn)?|PA|- |PB |W|AB I,所以 |PA|+ |PB|4+ |AB |= 4 + 1 = 5,當(dāng)且僅當(dāng) P 在 AB延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立。故|PA|+ |PB|的最大值為 5答案(1)A(2)A橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面： 一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng) P 在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn) F1, F2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”， 利用定義可求其 周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求 |PF1| |PF2|,通過整體代入可求 其面積等。面積公式 SAPFF2= b2tan*其

10、中e=ZF1PF2)。2 2【變式訓(xùn)練】(1)(2019 惠州調(diào)研)設(shè) F1, F2為橢圓X+y=95黑的值為()514_51 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在 y 軸上，則C.132 2(2)已知橢圓 4X9+24=1 上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1, F2的連線夾角為直角，則|PFi| |PF2匸_ 。解析 如圖，設(shè)線段 PFi的中點(diǎn)為 M，因?yàn)?0 是 F1F2的5中點(diǎn)，所以 OM /PF2,可得 PF2b0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過 F1的直線交橢圓 C 于 A, B 兩點(diǎn)，若 F2AB 是面積為 4.3 的等邊三角形，則橢圓 C 的方程為_ 。解析(1)設(shè)橢圓方程為 mx2+

11、 ny2= 1(m, n0, m n)。由13 IPF2ITPF2=亍扃(2)依題意 a=2c= 10,11 一解得 m= 6, n = 10,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2 2為 w+6 =1o因?yàn)槭敲娣e為 4.3 的等邊三角形，所以 AB 丘軸,所以 A,B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一 c,代入橢圓方程，可求得尸小尸小| |=尸石|b2b23=孑孑。又 F1F2U2c,/F1F2A= 30 所以 =F2AB=2X2cX2b=4 3,2a222答案(1)盤+ 6 = 1(2)g +1. 求橢圓方程的基本方法是待定系數(shù)法， 先定位，再定量,即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a, b 的方程組。2.如果焦點(diǎn)

12、位置不確定， 可設(shè)橢圓方程為 mx2+ ny2= 1(m0, n0,mHn)，求出【變式訓(xùn)練】+ 4)2+ y2= 9,動(dòng)圓 M 在圓 C1內(nèi)部且和圓 C1相內(nèi)切，和圓 C2相 外切，-n25-23m+ 5n= 1,3X2c 。又 SAa2= b2+ c2，由解得a2= 9, b2= 6, c2= 3，所以橢圓2 2C 的方程為x+y= 1。m, n 的值即可。2 b2(過焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦)長(zhǎng)為 T。3.橢圓的通徑則動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程為()2 2x y A 164 482 2C -工=1. 4864E： a2Fi, F2,橢圓上兩動(dòng)點(diǎn) P, Q 總使 PF1QF2為平行四邊形，若平

13、行四邊形 PF1QF2的周長(zhǎng)和最大面積分別為 8 和 2 3，則橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程可能為()2A.號(hào)+y2= 122CX_+ Y_= 1C. 4 十 31解析設(shè)圓 M 的半徑為 r，則|MCi| + |MC2|= (13-r) + (3+ r)= 16,所以 M 的軌跡是以 C1,C2為焦點(diǎn)的橢圓，且 2a= 16,2c22=8,故所求的軌跡方程為著+舊=1。(2)如圖，由四邊形 PF1QF2周長(zhǎng)為 8,可知 4a= 8,所以 a=2。當(dāng) P, Q 為短軸端點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積最大，故 2bc= 2 3,222 2B .篦+七=148642 2D .右 += 164 48x2y2+ b= 1(ab

14、0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為(2019 亳州模擬)橢圓22B x_+y_=1B . 4+2 =122D壘+ 乂 = 116+8答案(1)D(2)CO即 bc=習(xí);3。2考點(diǎn)三橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)微點(diǎn)小專題方向 1:求離心率的值或范圍2 2【例 3】(1)(2018 安徽二模)已知橢圓字+猙=1(ab0)的左頂點(diǎn)為 M，上頂點(diǎn)為 N，右焦點(diǎn)為 F，若 NM NF = 0，貝 V 橢圓的離心率為(5122 2X y(2019 湖南聯(lián)考)已知橢圓 g +希=1(ab0)的左、右焦點(diǎn) 分別為F1, F2, P 是橢圓上一點(diǎn)， PF1F2是以 F2P 為底邊的等 腰三角形，且 60ZPF1F2V120則該橢圓的離心率

15、的取值范圍 是()B 宀1 11)1、C. 2，1D. 0, 22 JI 2 丿解析(1)由題意知，M( a,0), N(0, b), F(c, 0),所以 NM =(a, b), NF = (c， b)。因?yàn)?NM NF = 0，所以一 ac + b2=0, 即卩 b2= ac。又知 b2= a2 c2，所以 a2 c2= ac, 所以 e2+e5 1511 = 0,解得 e=2 或 e=2(舍)。所以橢圓的離心率C.D.故選 D(2)由題意可得，IPF2I2 3 4 5= IF1F2I2+ |PFi|2- 2IF1F2I |PFi|cos/PF1F2= 4c2+ 4c2- 2 2c 2c

16、cos / PF1F2,即F2I = 22c - . 1 COSZPFIF2,又 60ZPF1F2VI2O 所以2cosZPFiF22,1 c 1V3 11所以 2ca( 3+ 1)c,貝 U 3，即e1) 上兩點(diǎn) A, B 滿足 AP= 2PB，則當(dāng) m =_ 時(shí)，點(diǎn) B 橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大。 解析 設(shè)A(x1, yd , B(x2, yj ,由 AP = 2 PB ,得32Xi= 2x2,Xi= 2x2,即 b0)上的一點(diǎn)，A 為左頂點(diǎn)，6F 為右焦點(diǎn)，PF 丄 x 軸，若 tan/PAF = p 則橢圓的離心率 e 為1 cosZ，所以 aPF1I+IPF2I-=c +2解析 如圖，不妨

17、設(shè)點(diǎn) P 在第一象限，因?yàn)?PF H 軸，所以b2b2xp= c,將 xp= c 代入橢圓方程得 yp= ba,即|PF|= a,貝 V tanZRAFaab!=|PF| = 2，結(jié)合 b2= a2 c2,整理得 2c2+ ac a2= 0,兩|AF|a + c21邊同時(shí)除以 a2得 2e2+ e 1 = 0，解得e= q 或 e= 1（舍去）。故答案 Dc.33232左、右焦點(diǎn)。若橢圓 C 上存在點(diǎn) P,使得線段 PF1的中垂線恰好經(jīng)過焦點(diǎn) F2,則橢圓 C 的離心率的取值范圍是（）C. ；，1解析 因?yàn)榫€段 PF1的中垂線經(jīng)過焦點(diǎn) F2,所以|PF2|= IF1F2I=2c,即橢圓上存在點(diǎn)

18、 P,使|PF2| = 2c,所以 a c 2cb0)的一3,1再結(jié)合 e 6（0,1），解得 3 eb0)。由題設(shè)知c 1拋物線的焦點(diǎn)為(0,2.3)，所以橢圓中 b= 2 3。因?yàn)?e=a=Q,所以 a= 2c,又 a2 b2= c2,聯(lián)立解得 c= 2, a= 4,所以橢圓 C22的標(biāo)準(zhǔn)方程為 16+占=1。y*N2ox8 9y23.（配合例 3 使用）已知橢圓 g +含=1（ab0）的左頂點(diǎn)和上 頂點(diǎn)分別為 A, B,左、右焦點(diǎn)分別是 Fi, F2，在線段 AB 上有 且只有一個(gè)點(diǎn) P滿足 PFi丄 PF2,則橢圓的離心率的平方為（）x2+ y2= c2與線段 AB 的切點(diǎn)，連接 OP

19、,貝 y OPAB,且 0P= c,即點(diǎn) 0 到直線 AB 的距離為 c。又直線 AB 的方程為 y=ax+ b,整理得 bx ay+ ab= 0,點(diǎn) O 到直線 AB 的距離 d= ac,兩邊同時(shí)平方整理得，a2b2= c2(a2+ b2) = (a2 b2)(a2+ b2) = a4 b4,可得 b4+ a2b2 a4= 0,兩邊同時(shí)除以 a4，得 比3 A.B.3 52一 1 +丁 5D.3 1C.22解析由題意得，A( a,0), B(0, b）,由在線段 AB 上有且P 滿足 PF1IPF2,得點(diǎn) P 是以點(diǎn) 0 為圓心，線段 F1F2只有一個(gè)點(diǎn)ab市=+b2-1=0,可得H2e22

20、e =2=a2 22a b b22= 1 2= 1 aa為直徑的圓2o1+ .53 5。故選 B。答案 BF2，點(diǎn) P（xo，y。）滿足 0羅+ y21，則|PFi|+ |PF21 的取值范圍是4.（配合例 4 使用）已知橢圓 C:彳+y2=1 的兩焦點(diǎn)為 Fi,解析 由點(diǎn) P(Xo, yo)滿足 02+ y21，可知 P(xo, yo)定在橢圓內(nèi)(不包括原點(diǎn))，因?yàn)?a= 2, b= 1，所以由橢圓的定義可知|PFi|+ |PF2|b0）的離心率為 f,焦距為 2 2。斜率為 k 的直線 I 與橢圓 M 有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A，B(1)求橢圓 M 的方程；若 k= 1，求 AB|的最大值。解由

21、題意得c=a 3 2c=2A/2解得 a= , 3, b = 1。2所以橢圓 M 的方程為| + y2= 1(2)設(shè)直線 I 的方程為 y= x+ m, A(X1,屮),Bg y2）。y= x+ m,由X2得 4x + 6mx+ 3m 3 = 0。3 + y =1A0? m2 微考點(diǎn)火課堂a2= b2+C1-1-4 4 !; -I 4 - d-i4AB|= - ,1 + k10 11 12|xi X2|=,2 x2xi2212 3 m22 。m= 0，即直線 l 過原點(diǎn)時(shí)，|AB|最大，最大值為.6。1. 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是 先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用根與系

22、數(shù)的關(guān)系，解決相關(guān) 問題。2. 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(xi, yi)，B(X2，y2)，則 AB|=1 + k2 xi+ X22 4xiX2二寸1 + 井 y1+ y2)2 4y1y2(k 為直線斜率)。3. 利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情 況下進(jìn)行的，不要忽略判別式。11 2【變式訓(xùn)練】 已知橢圓 C 的方程為X+y= 1,點(diǎn) A 為橢X2f - 4xiX2得(1 + 2k2)x2 4k2x+ 2k2 4= 0。設(shè)點(diǎn) M , N 的坐標(biāo)分別為(xi, yi),(X2, y2),則 yi= k(xi 1), y2= k(X2- 1),4k22k2 4X1+X2=花,X

23、1X2=匚泰,所以 |MN|= X2 X12+ y2 y12=7 (1 + k2)(X1+ 血)2 4x1X2又因?yàn)辄c(diǎn) A(2,0)到直線 y= k(x 1)的距離 d =由1U2-節(jié)，解得一。1 + 2k29考點(diǎn)二 中點(diǎn)弦問題2 2字+當(dāng)=1(ab0)的一條 弦所在的直線方程是 x y+ 5 = 0,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是 M( 4,1),則 橢圓21 + k24 + 6 k2= 。21 + 2k21所以 MMN 的面積為 S= 2|MN| d=|k|4+ 6k22。C遲C. 22 2解析 設(shè)直線 x y + 5 = 0 與橢圓字+ b= 1 相交于 A(X1,1),【例 2】(2019 南寧摸底)

24、已知橢圓4的離心率是()B亞B.2B(X2, y2)兩點(diǎn)，因?yàn)?AB 的中點(diǎn) M(- 4,1)，所以劉+ X2=- 8, yiy2yi+ y2= 2。易知直線 AB 的斜率 k= 1X2- Xi故選 Co答案 CASM弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法1. 根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用根 與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)。2. 點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、 斜率。2 2篤+b2=a b由22X2丄冶a2+b2=1,1兩式相減得,X1+ X2X1- X2y1+ y2y1- y2b20,所以y1- y2X1- X2b2X1+ X2b2忒所以b21$=4,于是橢圓的離心率ce= a =

25、b231-a2=【變式訓(xùn)練】已知橢圓：與橢圓相交于 A, B 兩點(diǎn)，且弦 方程為()A .9X-y-4 = 0C.2X+y-2= 0解析設(shè) A(X1, yj, B(X2,y21 1、y+ X2= 1,過點(diǎn) P T,1的直線92 2 丿AB 被點(diǎn) P 平分，則直線 AB 的B.9X+y- 5= 0D.X+y- 5= 02yj，因?yàn)?A, B 在橢圓 +X2=12y129 + X1= 1,上，所以2i 卷 + x2=1,(yi y(yi+ y2)(1i9+ (xi X2)(xi+ X2) = 0，又弦 AB 被點(diǎn) P2, 2 平分，yi y2所以 xi+ X2= 1, yi+ y2= 1,將其代入

26、上式得 廠 + xi X2= 0,yi y2即=9,即直線 AB 的斜率為一 9,所以直線 AB 的方程為Xi X2答案 B考點(diǎn)三證明問題2【例 3】(2018 全國卷I)設(shè)橢圓C：X；+y2=i 的右焦點(diǎn)為F,過 F 的直線 I 與 C 交于 A, B 兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)。(1) 當(dāng) I 與 x 軸垂直時(shí)，求直線 AM 的方程；(2) 設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：/ OMA =/ OMB。解(1)由已知得 F(1,0), I 的方程為 x= 1由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為i,乎或：1,一所以 AM 的方程為 y=今 x+ . 2 或 y=x . 2(2)證明：當(dāng) I 與 x 軸重合時(shí)，/

27、 OMA =ZOMB = 0當(dāng) I 與 x 軸垂直時(shí)，OM 為 AB 的垂直平分線，所以/ OMA2 2i y2兩式相減得 9+ xI x2= o，即y2即 9x + y 5 = 0。92丿,= ZOMB。當(dāng) I 與 x 軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè) I 的方程為 y= k(x 1)(kM0),A(xi, yi), B(x2, y2),貝 U xi 2, X2b0) 經(jīng)過點(diǎn) p；i, j 且離心率為o(1)求橢圓 C 的方程；4+ 5k2N 三點(diǎn)共線,2yi3 XiXi 3y12k Xi1而 yoy2= y2= k(x21)Xi 3X1 3設(shè) Fi, F2分別為橢圓 C 的左、右焦點(diǎn)，不經(jīng)過 Fi的

28、直線 l 與橢圓 C 交于兩個(gè)不同的點(diǎn) A, B。如果直線 AFi, l, BFi的斜 率依次成等差數(shù)列，求焦點(diǎn) F2到直線 I 的距離 d 的取值范圍。1 2孑+4F=1，解由題意，知c二Ia 2a2= b2+ c2,的斜率存在且不為零。設(shè)直線I 的方程為 y=、x22kx+ m,代入橢圓方程+ y2= 1,整理得(1 + 2k2)x2+ 4kmx+ 2(m2- 1)= 0。由 = (4km)2- 8(1 + 2k2)(m2- 1) = 16k2- 8m2+ 80，得2k2m2-1。設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2),24km2 m1則 X1+ X2=-2, X1X2=2。1 +

29、2k21 + 2k2因?yàn)?Fi(- 1,0),所以 kAF1= , kBF1=X1+ 1X2+ 1由題可得 2k=y +y,X1+ 1 X2+ 1a2=2,解得2lb=1ox2所以橢圓 C 的方程為x2 + y2= 1。(2)易知直線 I且 y1= kx1+ m, y2= kx2+ m,所以(m k)(x1+ X2+ 2) = 0。因?yàn)橹本€ l: y= kx+ m 不過焦點(diǎn) Fi( 1,0),所以 m kz0,4km + 2+ 4k13= 0,21 所以 4km= 2+ 4k，即 m= k+ 2k。由得 2k2|k+ 2k) 1,化簡(jiǎn)得。丄|k+ m|2k+2k焦點(diǎn) F2(1,0)到直線 I

30、:y= kx+ m 的距離 d=-)1+ k2p1+ k212+2k2圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上考慮到函數(shù) f(t)=21+在1, V3上單調(diào)遞減,所以 f3)vdvf(1)，解得 13d今知 tq1,3)。t2+32 _ 1令 t=于是 d= t主要有兩種方法：一是幾何法，即利用圓錐曲線的定義、幾何性 質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)法，即把 要求最值的代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)，然后利用導(dǎo) 數(shù)、不等式等進(jìn)行求解。【變式訓(xùn)練】 已知橢圓 C 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F(1,o), F2(1,0), 且經(jīng)過點(diǎn)E第，申。b0),a b2a = |EFi|+ |EF2| = 4, a= 2,由 a2= b2+ c2,解得 b= 3,IdIdc= 1,c= 1,2 2所以橢圓C的方程為x+y3=1。(2)由題意得直線 I 的方程為 y= k(x+ 1)(k0),y= k(