數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練五年級(jí)

1、教學(xué)系列之七： 等差數(shù)列求和（1)教學(xué)目標(biāo)：1、讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家高斯的生平，感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。2、在趣味數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)過(guò)程：一、高斯的故事德國(guó)著名大科學(xué)家高斯(17771855)出生在一個(gè)貧窮的家庭。高斯在還不會(huì)講話就自己學(xué)計(jì)算，在三歲時(shí)有一天晚上他看著父親在算工錢(qián)時(shí)，還糾正父親計(jì)算的錯(cuò)誤。長(zhǎng)大后他成為當(dāng)代最杰出的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。他在物理的電磁學(xué)方面有一些貢獻(xiàn)，現(xiàn)在電磁學(xué)的一個(gè)單位就是用他的名字命名。數(shù)學(xué)家們則稱呼他為“數(shù)學(xué)王子”。他八歲時(shí)進(jìn)入鄉(xiāng)村小學(xué)讀書(shū)。教數(shù)學(xué)的老師是一個(gè)從城里來(lái)的人，覺(jué)得在一個(gè)窮鄉(xiāng)

2、僻壤教幾個(gè)小猢猻讀書(shū)，真是大材小用。而他又有些偏見(jiàn)：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子念書(shū)不必認(rèn)真，如果有機(jī)會(huì)還應(yīng)該處罰他們，使自己在這枯燥的生活里添一些樂(lè)趣。這一天正是數(shù)學(xué)教師情緒低落的一天。同學(xué)們看到老師那抑郁的臉孔，心里畏縮起來(lái)，知道老師又會(huì)在今天捉這些學(xué)生處罰了。“你們今天替我算從1加2加3一直到100的和。誰(shuí)算不出來(lái)就罰他不能回家吃午飯?！崩蠋熤v了這句話后就一言不發(fā)的拿起一本小說(shuō)坐在椅子上看去了。教室里的小朋友們拿起石板開(kāi)始計(jì)算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10”一些小朋友加到一個(gè)數(shù)后就擦掉石板上的結(jié)果，再加下去，數(shù)越來(lái)越大，很不好算。有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手

3、心、額上滲出了汗來(lái)。還不到半個(gè)小時(shí)，小高斯拿起了他的石板走上前去?！袄蠋煟鸢甘遣皇沁@樣？”老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說(shuō)：“去，回去再算！錯(cuò)了?！彼氩豢赡苓@么快就會(huì)有答案了。可是高斯卻站著不動(dòng)，把石板伸向老師面前：“老師！我想這個(gè)答案是對(duì)的?！睌?shù)學(xué)老師本來(lái)想怒吼起來(lái)，可是一看石板上整整齊齊寫(xiě)了這樣的數(shù)：5050，他驚奇起來(lái)，因?yàn)樗约涸?jīng)算過(guò)，得到的數(shù)也是5050，這個(gè)8歲的小鬼怎么這樣快就得到了這個(gè)數(shù)值呢？高斯解釋他發(fā)現(xiàn)的一個(gè)方法，這個(gè)方法就是古時(shí)希臘人和中國(guó)人用來(lái)計(jì)算級(jí)數(shù)1+2+3+n的方法。高斯的發(fā)現(xiàn)使老師覺(jué)得羞愧，覺(jué)得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點(diǎn)是不對(duì)的。他以后也認(rèn)真

4、教起書(shū)來(lái)，并且還常從城里買(mǎi)些數(shù)學(xué)書(shū)自己進(jìn)修并借給高斯看。在他的鼓勵(lì)下，高斯以后便在數(shù)學(xué)上作了一些重要的研究了。二、趣味數(shù)學(xué)之等差數(shù)列(一)等差數(shù)列的基本知識(shí)1.數(shù)列的基本知識(shí)2.等差數(shù)列的基本知識(shí)(二)等差數(shù)列的項(xiàng)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1.等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）例： 已知數(shù)列2、5、8、11、14求：（1）它的第10項(xiàng)是多少？ （2）它的第98項(xiàng)是多少？ （3）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？2. 等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1例： 已知數(shù)列2、5、8、11、14、17，這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)？3. 小結(jié)等差數(shù)列項(xiàng)的有關(guān)規(guī)律4.練習(xí)1、一串?dāng)?shù)：1、3、5

5、、7、9、49。（1）它的第21項(xiàng)是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？2、一串?dāng)?shù)：2、4、6、8、2008。（1）它的第25項(xiàng)是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？3、一串?dāng)?shù)：101、102、103、104、199。（1）它的第30項(xiàng)是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？4、一串?dāng)?shù)：7、12、17、22。（1）它的第60項(xiàng)是多少?（2）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？三、總結(jié)：說(shuō)說(shuō)上課后的感想教學(xué)系列之八： 等差數(shù)列求和（2）教學(xué)目標(biāo)：1、讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家斐波納契的生平，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。2、在趣味數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)過(guò)程

6、：一、意大利數(shù)學(xué)家斐波那契經(jīng)過(guò)12世紀(jì)的傳播時(shí)期之后，初等數(shù)學(xué)在歐洲獲得了相應(yīng)的發(fā)展在13世紀(jì)歐洲大多數(shù)國(guó)家里，城市成為商業(yè)和手工業(yè)發(fā)展的中心特別是商業(yè)的發(fā)展，帶來(lái)了相當(dāng)復(fù)雜的計(jì)算這時(shí)的歐洲出現(xiàn)了第一批理論數(shù)學(xué)家意大利作為當(dāng)時(shí)的商業(yè)中心，培育了中世紀(jì)最杰出的教學(xué)家斐波那契。斐波那契是一個(gè)商人的兒子，早年隨父到過(guò)北非，跟從阿拉伯教師學(xué)習(xí)計(jì)算。后來(lái)到埃及、敘利亞、希臘、西西里和法國(guó)旅游，拜訪各地的學(xué)者，熟悉了不同國(guó)家在商業(yè)上使用的算術(shù)體系。經(jīng)過(guò)研究和比較，他認(rèn)為其他數(shù)系無(wú)一能與印度阿拉伯?dāng)?shù)系相媲美。斐波那契于1200年回到家鄉(xiāng)，把在各地學(xué)得的數(shù)學(xué)知識(shí)加以總結(jié)，寫(xiě)成算盤(pán)書(shū)這是向西歐介紹印度阿拉伯?dāng)?shù)系

7、和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的最早的著作。這本書(shū)的開(kāi)頭介紹了一些算盤(pán)知識(shí)，而后卻偏離了這一課題。因此，書(shū)名中“算盤(pán)”一詞已失去它作為計(jì)算工具的本意，而應(yīng)理解為“算術(shù)”或由印度阿拉伯?dāng)?shù)系而產(chǎn)生的“算法”。斐波那契大量吸收并系統(tǒng)地總結(jié)了來(lái)自阿拉伯文獻(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，改進(jìn)了歐氏幾何的某些技巧，歸納了同種類型的方法和習(xí)題。在算術(shù)和一、二次方程的代數(shù)學(xué)方面，已成為中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)之典范。下面簡(jiǎn)要介紹一下算盤(pán)書(shū)的主要內(nèi)容。算盤(pán)書(shū)共有15章第15章介紹印度阿拉伯?dāng)?shù)碼記數(shù)法及其四則運(yùn)算。第6，7章介紹分?jǐn)?shù)記法及其運(yùn)算。第811章討論商業(yè)上實(shí)用的各種算術(shù)問(wèn)題的解法。在第11章討論的混合問(wèn)題。第12章的內(nèi)容最為豐富，涉及各種類型的問(wèn)題

8、，如各種數(shù)列的求和法：算術(shù)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、平方數(shù)數(shù)列和遞歸數(shù)列等幾何級(jí)數(shù)的求和是為解決來(lái)自埃及紙草書(shū)中的問(wèn)題，而遞歸數(shù)列的求和則出現(xiàn)在關(guān)于家兔繁殖的問(wèn)題中：假定每對(duì)大兔每月能生一對(duì)小兔，每對(duì)小兔生長(zhǎng)兩個(gè)月就成大兔，問(wèn)在不發(fā)生死亡的條件下，由一對(duì)小兔開(kāi)始，一年之后可繁殖成多少對(duì)兔子？這個(gè)問(wèn)題使斐波那契名垂史冊(cè)問(wèn)題的答案由下列和式給出：112358233其中從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和。這個(gè)數(shù)列現(xiàn)稱斐波那契數(shù)列，這是在歐洲最早出現(xiàn)的遞歸數(shù)列，它有許多重要而有趣的性質(zhì)，在以后的近800年中一直是許多學(xué)者研究的對(duì)象。第13章是用雙設(shè)法解線性方程。第14章介紹平方根和立方根的近似計(jì)算。第15章是問(wèn)題

9、匯編。算盤(pán)書(shū)以它的內(nèi)容豐富、方法有效、多樣化的習(xí)題和令人信服的論證而名列1214世紀(jì)數(shù)學(xué)著作之冠，對(duì)歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。2、 趣味數(shù)學(xué)之等差數(shù)列求和1.例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 382.例：計(jì)算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +.+ 2763.練習(xí)：（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+.+403（3）9+19+29+39+.+99（4）1+3+5+7+.+99三、等差數(shù)列知識(shí)總結(jié)：怎樣判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列怎樣求出等差數(shù)列的任意一項(xiàng)或項(xiàng)數(shù)怎樣求出等差數(shù)

10、列前幾項(xiàng)的和必須牢記等差數(shù)列的基本公式和重要結(jié)論 教學(xué)系列之九： 等差數(shù)列求和（3)教學(xué)目標(biāo)：1、讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家韓信的生平，感受數(shù)學(xué)魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。2、在趣味數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)過(guò)程：一、韓信的故事  韓信是中國(guó)歷史上最有名的軍事家之一，被劉邦和呂后出于嫉妒和私心害死了。歷史上很多史家和學(xué)者為他平反，眾多的詩(shī)人為他留下大量的詩(shī)篇。圍繞著韓信還流傳了各種各樣的傳說(shuō)。在今天我們所介紹的兩則傳說(shuō)中，人們把他作為智慧的化身，就寄托著歷代人們對(duì)他的深切的同情和懷念。韓信分油據(jù)說(shuō)有一天，韓信騎馬走在路上，看見(jiàn)兩個(gè)人正在

11、路邊為分油發(fā)愁。這兩個(gè)人有一只容量10斤的簍子，里面裝滿了油；還有一只空的罐和一只空的葫蘆，罐可裝7斤油，葫蘆可裝3斤油。要把這10斤油平分，每人5斤。但是誰(shuí)也沒(méi)有帶秤，只能拿手頭的三個(gè)容器倒來(lái)倒去。應(yīng)該怎樣分呢？韓信騎在馬上，了解情況以后，說(shuō)：“葫蘆歸罐罐歸簍，二人分油回家走?！闭f(shuō)完了，打馬就走。兩個(gè)人按照韓信的辦法倒來(lái)倒去，果然把油平均分成兩半，每人5斤，高高興興，各自回家。究竟是怎樣倒來(lái)倒去的呢？三種容器各自裝油斤數(shù)的變化過(guò)程，可從下面的表中看出。簍107744118855罐00336670225葫蘆03030322030韓信所說(shuō)的“葫蘆歸罐”，是指把葫蘆里的油往罐里倒；“罐歸簍”是指把

12、罐里的油往簍里倒。通常分油要把油從大容器往小容器里倒，現(xiàn)在卻把小容器里的油往大容器里“歸”。往油葫蘆里倒油，只能得到3斤的油量；把葫蘆里的油往罐里“歸”，“歸”到第三次，葫蘆里就出現(xiàn)2斤的油量。再把滿滿一罐油“歸”到簍里，騰出空來(lái)，把葫蘆里的2斤油“歸”到空罐里；最后再倒一葫蘆3斤油，“歸”到罐里，就完成分油任務(wù)了。韓信點(diǎn)兵秦朝末年，楚漢相爭(zhēng)。一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)?？鄳?zhàn)一場(chǎng)，楚軍不敵，敗退回營(yíng)，漢軍也死傷四五百人，于是韓信整頓兵馬也返回大本營(yíng)。當(dāng)行至一山坡，忽有后軍來(lái)報(bào)，說(shuō)有楚軍騎兵追來(lái)。只見(jiàn)遠(yuǎn)方塵土飛揚(yáng)，殺聲震天。漢軍本來(lái)已十分疲憊，這時(shí)隊(duì)伍大嘩。韓信兵馬到坡頂，見(jiàn)來(lái)

13、敵不足五百騎，便急速點(diǎn)兵迎敵。他命令士兵3人一排，結(jié)果多出2名；接著命令士兵5人一排，結(jié)果多出3名；他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2名。韓信馬上向?qū)⑹總冃迹何臆娪?073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來(lái)就信服自己的統(tǒng)帥，這一來(lái)更相信韓信是“神仙下凡”、“神機(jī)妙算”。于是士氣大振。一時(shí)間旌旗搖動(dòng)，鼓聲喧天，漢軍步步進(jìn)逼，楚軍亂作一團(tuán)。交戰(zhàn)不久，楚軍大敗而逃。二、趣味數(shù)學(xué)之等差數(shù)列求和應(yīng)用1.例：在一個(gè)分成64小格的方板的每個(gè)格子中放入石子。如果第一格放入2粒，第二格放入4粒，第3格放入6粒，第四格放入8粒依次類推，放滿64格，一共要放入多少粒石子？2. 例：在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長(zhǎng)是1根火柴棍。（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？3.練習(xí)：（1）麗麗學(xué)英語(yǔ)單詞，第一天學(xué)會(huì)了6個(gè)，以后每天都比前一天多學(xué)會(huì)1個(gè)，最后一天學(xué)會(huì)了16個(gè)。麗麗在這些天中共學(xué)會(huì)了多少個(gè)單詞？（2）有一家電影院，共有30排座位，后一排都比前一排多兩個(gè)