86一半徑為R的半圓細環(huán)上均勻地分布電荷求環(huán)心處的

1、大學(xué)物理1期末復(fù)習(xí)題（力學(xué)部分）第一章重點：質(zhì)點運動求導(dǎo)法和積分法，圓周運動角量和線量。第二章重點：牛頓第二運動定律的應(yīng)用(變形積分)第三章重點：動量守恒定律和機械能守恒定律第四章重點：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律和角動量守恒定律1一質(zhì)點沿半徑為m的圓周作逆時針方向的圓周運動，質(zhì)點在0這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程為，式中以m計，以s計，則在時刻質(zhì)點的角速度為 rad/s， 角加速度為 。（求導(dǎo)法） 2質(zhì)點沿x軸作直線運動，其加速度m/s2，在時刻，m，則該質(zhì)點的運動方程為 。（積分法）3一質(zhì)點從靜止出發(fā)繞半徑R的圓周作勻變速圓周運動，角加速度為，則該質(zhì)點走完半周所經(jīng)歷的時間為_ _。（積分法）4伽利略相對性原理

2、表明對于不同的慣性系牛頓力學(xué)的規(guī)律都具有相同的形式。5一質(zhì)量為的質(zhì)點在力作用下由靜止開始運動，若此力作用在質(zhì)點上的時間為，則該力在這內(nèi)沖量的大小 10 NS ；質(zhì)點在第末的速度大小為 5 m/s 。（動量定理和變力做功）6一質(zhì)點在平面內(nèi)運動, 其，；、為大于零的常數(shù)，則該質(zhì)點作 勻加速圓周運動 。 7一質(zhì)點受力的作用，式中以m計，以N計，則質(zhì)點從m沿X軸運動到x=2.0 m時，該力對質(zhì)點所作的功 。（變力做功）8一滑冰者開始自轉(zhuǎn)時其動能為，當(dāng)她將手臂收回, 其轉(zhuǎn)動慣量減少為，則她此時自轉(zhuǎn)的角速度 。（角動量守恒定律）9一質(zhì)量為半徑為的滑輪，如圖所示，用細繩繞在其邊緣，繩的另一端系一個質(zhì)量也為的

3、物體。設(shè)繩的長度不變，繩與滑輪間無相對滑動，且不計滑輪與軸間的摩擦力矩，則滑輪的角加速度 ；若用力拉繩的一端，則滑輪的角加速度為 。（轉(zhuǎn)動定律）10.一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，初角速度rad/s，現(xiàn)在大小為（N·m）的恒力矩作用下，剛體轉(zhuǎn)動的角速度在2秒時間內(nèi)均勻減速到rad/s，則剛體在此恒力矩的作用下的角加速度_ _，剛體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量 4kgm2 。（轉(zhuǎn)動定律）11一質(zhì)點在平面內(nèi)運動，其運動方程為 ，式中、以m計，以秒s計，求：(1) 以為變量，寫出質(zhì)點位置矢量的表達式；(2) 軌跡方程；(3) 計算在12s這段時間內(nèi)質(zhì)點的位移、平均速度；(4) 時刻的速度表達式；(5) 計算在12

4、s這段時間內(nèi)質(zhì)點的平均加速度；在s時刻的瞬時加速度。解：（1） ； (2)； (3)； ； (4)； (5) ；（求導(dǎo)法）12摩托快艇以速率行駛，它受到的摩擦阻力與速度平方成正比，設(shè)比例系數(shù)為常數(shù)k，即可表示為。設(shè)快艇的質(zhì)量為，當(dāng)快艇發(fā)動機關(guān)閉后，(1)求速度隨時間的變化規(guī)律；(2)求路程隨時間的變化規(guī)律。解：（1） （2） （牛二定律變形積分）13如圖所示，兩個帶理想彈簧緩沖器的小車和，質(zhì)量分別為和，不動，以速度與碰撞，如已知兩車的緩沖彈簧的倔強系數(shù)分別為和，在不計摩擦的情況下，求兩車相對靜止時，其間的作用力為多大?(彈簧質(zhì)量忽略而不計)。解：系統(tǒng)動量守恒： 系統(tǒng)機械能守恒： 兩車相對靜止時

5、彈力相等： F= （動量守恒和機械能守恒定律）14有一質(zhì)量為長為的均勻細棒，靜止平放在光滑的水平桌面上，它可繞通過其中點且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。另有一水平運動的質(zhì)量為的子彈以速度v射入桿端，其方向與桿及軸正交，求碰撞后棒端所獲得的角速度。解：系統(tǒng)角動量守恒： （角動量守恒定律）電磁學(xué)部分第五章重點：點電荷系（矢量和）、均勻帶電體（積分法）、對稱性電場（高斯定理，分段積分）的電場強度E和電勢V的計算。第七章重點：簡單形狀載流導(dǎo)線（矢量和）、對稱性磁場（安培環(huán)路定理）的磁感應(yīng)強度B的計算，安培力F的計算。第八章重點：感生電動勢（法拉第電磁感應(yīng)定律）和動生電動勢的計算，磁通量的計算。1.一半徑

6、為R的半圓細環(huán)上均勻地分布電荷，求環(huán)心處的電場強度.分析 在求環(huán)心處的電場強度時，不能將帶電半圓環(huán)視作點電荷.現(xiàn)將其抽象為帶電半圓弧線。在弧線上取線，其電荷，此電荷元可視為點電荷，它在點O的電場強度，因圓環(huán)上的電荷對y軸呈對稱性分布，電場分布也是軸對稱的，則有，點的合電場強度，統(tǒng)一積分變量可求得. 解： （1）建立坐標(biāo)系；（2）取電荷元 （3）寫 （4）分解到對稱軸方向 （5）積分：由幾何關(guān)系，統(tǒng)一積分變量后，有 ，方向沿y軸負方向. （積分法五步走） 2.兩條無限長平行直導(dǎo)線相距為,均勻帶有等量異號電荷，電荷線密度為（1）求兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點的電場強度（設(shè)該點到其中一線的垂直距離為);

7、 (2)求每一根導(dǎo)線上單位長度導(dǎo)線受到另一根導(dǎo)線上電荷作用的電場力. 分析在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點的電場強度為兩導(dǎo)線單獨在此所激發(fā)的電場的疊加.解: 設(shè)點在導(dǎo)線構(gòu)成的平面上，、分別表示正、負帶電導(dǎo)線在點的電場強度，則有 （矢量和）3.設(shè)均強電場的電場強度與半徑為的半球面的對稱軸平行，試計算通過此半球面的電場強度通量.分析 方法1：由電場強度通量的定義，對半球面求積分，即. 方法2：作半徑為的平面與半球面一起可構(gòu)成閉合曲面，由于閉合面內(nèi)無電荷，由高斯定理 這表明穿過閉合曲面的凈通量為零，穿入平面的電場強度通量在數(shù)值上等于穿出半球面的電場強度通量. 因而解: 由于閉合曲面內(nèi)無電荷分布，根據(jù)高斯定

8、理，有 依照約定取閉合曲面的外法線方向為面元的方向， （高斯定理和電通量定義式）4.在電荷體密度為的均勻帶電球體中，存在一個球形空腔，若將帶電體球心指向球形空腔球心的矢量用表示（圖8-17).試證明球形空腔中任一點的電場強度為 分析 本題帶電體的電荷分布不滿足球?qū)ΨQ，其電場分布也不是球?qū)ΨQ分布，因此無法直接利用高斯定理求電場的分布，但可用補償法求解. 挖去球形空腔的帶電球體在電學(xué)上等效于一個完整的、電荷體密度為的均勻帶電球和一個電荷體密度為、球心在的帶電小球體（半徑等于空腔球體的半徑).大小球體在空腔內(nèi)點產(chǎn)生的電場強度分別為、，則點的電場強度為兩者矢量和。. 證: 帶電球體內(nèi)部一點的電場強度為

9、 所以 ； 根據(jù)幾何關(guān)系，上式可改寫為 （等效法和高斯定理）5.一無限長、半徑為的圓柱體上電荷均勻分布.圓柱體單位長度的電荷為，用高斯定理求圓柱體內(nèi)距離為處的電場強度.分析 無限長圓柱體的電荷具有軸對稱分布，電場強度也為軸對稱分布，且沿徑矢方向.取同軸柱面為高斯面，電場強度在圓柱側(cè)面上大小相等，且與柱面正交.在圓柱的兩個底面上，電場強度與底面平行，對電場強度通量的貢獻為零.整個高斯面的電場強度通量為由于圓柱體電荷均勻分布，電荷體密度，出于高斯面內(nèi)的總電荷 由高斯定理可解得電場強度的分布.解: 取同軸柱面為高斯面，由上述分析得 （高斯定理）6.兩個帶有等量異號電荷的無限長同軸圓柱面，半徑分別為和

10、，單位長度上的電荷為.求離軸線為處的電場強度：（1），（2），（3）分析 電荷分布在無限長同軸圓柱面上，電場強度也必定程軸對稱分布，沿徑向方向.去同軸圓柱為高斯面，只有側(cè)面的電場強度通量不為零，且求出不同半徑高斯面內(nèi)的電荷.利用高斯定理可解得各區(qū)域電場的分布.解: 作同軸圓柱面為高斯面，根據(jù)高斯定理 ， ， ， 在帶電面附近，電場強度大小不連續(xù)，電場強度有一躍變 （高斯定理）7.如圖所示，有三個點電荷 沿一條直線等間距分布，已知其中任一點電荷所受合力均為零，且.求在固定、的情況下，將從點移到無窮遠處外力所作的功.分析 由庫侖力的定義，根據(jù)、所受合力為零可求得. 外力作功應(yīng)等于電場力作功的負值，

11、即.求電場力作功可根據(jù)功電場力作的功與電勢能差的關(guān)系，有 其中是點電荷、 在點產(chǎn)生的電勢（取無窮遠處為零電勢）. 在任一點電荷所受合力均為零時，并由電勢的疊加、在的電勢 將從點推到無窮遠處的過程中，外力作功 （受力平衡、點電荷系電勢、電場力做功）8.已知均勻帶電長直線附近的電場強度近似為 為電荷線密度. （1）在求在和兩點間的電勢差；（2）在點電荷的電場中，我們曾取處的電勢為零，求均勻帶電長直線附近的電勢時，能否這樣取？試說明. 由于電場力作功與路徑無關(guān)，若取徑矢為積分路徑，則有 (電勢差定義式) （2）不能. 嚴格地講，電場強度 只適用于無限長的均勻帶電直線，而此時電荷分布在無限空間，處的電

12、勢應(yīng)與直線上的電勢相等.9.兩個同心球面的半徑分別為和，各自帶有電荷和.求：（1）各區(qū)域電勢分布，并畫出分布曲線；（2）兩球面間的電勢差為多少？分析 由于電荷均勻分布在球面上，電場分布也具有球?qū)ΨQ性，因此，可根據(jù)電勢與電場強度的積分關(guān)系求電勢.取同心球面為高斯面，借助高斯定理可求得各區(qū)域的電場強度分布，再由可求得電勢分布. : 由高斯定理可求得電場分布 由電勢 可求得區(qū)域的電勢分布.當(dāng) 時，有 當(dāng)時，有 當(dāng) 時，有（先用高斯定理求場強E,再用分段積分求電勢V)10.兩個很長的共軸圓柱面，帶有等量異號的電荷，兩者的電勢差為450.求：（1）圓柱面單位長度上帶有多少電荷？（2）兩圓柱面之間的電場強

13、度. 由8的結(jié)果，兩圓柱面之間的電場 根據(jù)電勢差的定義有 解得 兩柱面間電場強度的大小與成反比. (電勢差定義式)11.在面上倒扣著半徑為的半球面，半球面上電荷均勻分布，電荷密度為.點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為,求電勢差.分析 電勢的疊加是標(biāo)量的疊加，根據(jù)對稱性，帶電半球面在平面上各點產(chǎn)生的電勢顯然就等于帶電球面在改點的電勢的一半.據(jù)此，可先求出一個完整球面在間的電勢差，再求出半球面時的電勢差.由于帶電球面內(nèi)等電勢，球面內(nèi)點的電勢，故 其中是帶電球表面的電勢，是帶電球面在點的電勢. 假設(shè)將半球面擴展為帶有相同電荷面密度的一個完整球面，此時在兩點的電勢分別為 則半球面在兩點的電勢差 （點電荷電勢式和電

14、勢差定義式）12.在半徑為的長直導(dǎo)線外，套有氯丁橡膠絕緣護套，護套外半徑為，相對電容率為.設(shè)沿軸線單位長度上，導(dǎo)線的電荷密度為.試求介質(zhì)層內(nèi)的和.分析 將長直導(dǎo)線視作無限長，自由電荷均勻分布在導(dǎo)線表面.在絕緣介質(zhì)層的內(nèi)、外表面分別出現(xiàn)極化電荷，這些電荷在內(nèi)外表面呈均勻分布，所以電場是軸對稱分布. 取同軸柱面為高斯面，由介中的高斯定理可得電位移矢量的分布.在介質(zhì)中，可進一步求得電場強度和電極化強度矢量的分布. 由介質(zhì)中的高斯定理，有 得 在均勻各向同性介質(zhì)中 （有電介質(zhì)時的高斯定理）13.設(shè)有兩個薄導(dǎo)體同心球殼與，它們的半徑分別為與，并分別帶有電荷.球殼間有兩層介質(zhì)，內(nèi)層介質(zhì)的，其分界面的半徑為

15、球殼外為空氣.求：（1）兩球間的電勢差；（2）離球心的電場強度；（3）2球的電勢.分析 自由電荷和極化電荷均勻分布在球面上，電場呈球?qū)ΨQ分布.取同心球面為高斯面，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理可求得介質(zhì)中的電場分布. 由電勢差和電場強度的積分關(guān)系可求得兩導(dǎo)體球殼間的電勢差，由于電荷分布在有限空間，通常取無窮遠處為零電勢 （1）由介質(zhì)中的高斯定理，有 得 兩球殼間的電勢差 （2）同理由高斯定理可得 （3）取無窮遠處電勢為零，則 （先由電介質(zhì)中高斯定理求D分布，再求E分布，再分段積分求V分布）14. 如圖所示，幾種載流導(dǎo)線在平面內(nèi)分布，電流均為，它們在點的磁感應(yīng)強度各為多少？分析 應(yīng)用磁場疊加原理求解.將不

16、同形狀的載流導(dǎo)線分解成長直部分和圓弧部分，它們各自在點處所激發(fā)的磁感強度較容易求得，則總的磁感強度. （a) 長直電流對點而言，它在延長線上點產(chǎn)生的磁場為零，則點處總的磁感強度為圓弧電流所激發(fā)，故有: ，方向垂直紙面向外Q. （b) 將載流導(dǎo)線看作圓電流和長直電流，由疊加原理可得 . ， 方向垂直紙面向里 Ä （c) 將載流導(dǎo)線看作圓電流和兩段半無限長直電流，由疊加原理可得 ，方向垂直紙面向外. Q (矢量和)15.載流長直導(dǎo)線的電流為，試求通過矩形線圈ABCD的磁通量.分析 由于矩形平面上各點的磁感應(yīng)強度不同，故磁通量.為此，可在矩形平面上取一矩形面元，載流長直導(dǎo)線的磁場穿過該面元

17、的磁通量為 矩形平面的總磁通量 由上述分析可得矩形平面的總磁通量 （積分法四步走）16.有同軸電纜，其尺寸如圖所示.兩導(dǎo)體中的電流均為，但電流的流向相反，導(dǎo)體的磁性可不考慮.試計算以下各處的磁感應(yīng)強度：（1）（2）；（3）；（4）.畫出圖線.分析 同軸電纜導(dǎo)體內(nèi)的電流均勻分布，其磁場呈軸對稱，取半徑為的同心圓為積分路徑，利用安培環(huán)路定理，可解得各區(qū)域的磁感強度. 由上述分析得 磁感強度的分布曲線略。 （磁場的安培環(huán)路定理）17.電流均勻地流過半徑為的圓形長直導(dǎo)線，試計算單位長度導(dǎo)線內(nèi)的磁場通過圖中所示剖面的磁通量. 分析 由題16可得導(dǎo)線內(nèi)部距軸線為處的磁感應(yīng)強度 在剖面上磁感強度分布不均勻，

18、因此，需從磁通量的定義來求解.沿軸線方向在剖面砂鍋取面元，考慮到面元上各點相同，故穿過面元的磁通量，通過積分，可得單位長度導(dǎo)線內(nèi)的磁通量 由分析可得單位長度導(dǎo)線內(nèi)的磁通量 （磁通量積分四步走）18. 如圖所示，一根長直導(dǎo)線載有電流，矩形回路載有電流.試計算作用在回路上的合力.已知，分析 矩形上、下兩段導(dǎo)線受安培力和的大小相等，方向相反，對不變形的矩形回路來說，兩力的矢量和為零.而矩形的左右兩段導(dǎo)線，由于載流導(dǎo)線所在處磁感強度不等，所受安培力和大小不同，且方向相反，因此線框所受的力為這兩個力的合力. 由分析可知，線框所受總的安培力為左、右兩邊安培力和之矢量和，它們的大小分別為 故合力的大小為 合

19、力的方向朝左，指向直導(dǎo)線. （安培力）19.有兩根相距為的無限長平行直導(dǎo)線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以的變化率增長.若有一邊長為的正方形線圈與兩導(dǎo)線處于同一平面內(nèi)，如圖所示.求線圈中的感應(yīng)電動勢和自感系數(shù).分析 本題仍可用法拉第電磁感應(yīng)定律來求解.由于回路處在非均勻磁場中，磁通量就需用來計算（其中為兩無限長直電流單獨存在時產(chǎn)生的磁感強度和之和）. 為了積分的需要，建立坐標(biāo)系.由于僅與有關(guān)，即，故取一個平行長直導(dǎo)線的寬為、長為的面元，如圖中陰影部分所示，則，所以，總磁通量可通過線積分求得（若取面元，則上述積分實際上為二重積分）.本題在工程技術(shù)上又稱為互感想象，也可用公式求解. 穿

20、過面元的磁通量為 因此穿過線圈的磁通量為 再由法拉第電磁感應(yīng)定律，有 由,得互感系數(shù)： 當(dāng)兩長直導(dǎo)線有電流通過時，穿過線圈的磁通量為 線圈與兩長直導(dǎo)線間的互感為 當(dāng)電流以變化時，線圈中的互感電動勢為 （先求磁通量，再求感生電動勢和互感系數(shù)）20.長為的銅棒，以距端點處為支點，以角速度繞通過支點且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動.設(shè)磁感強度為的均勻磁場與軸平行，求棒兩端的電勢差.分析 首先應(yīng)分清棒兩端的電勢差與棒上的動生電動勢不是一個概念，它們之間的關(guān)系如同電源的路端電壓與電源電動勢之間的關(guān)系.在開路情況中，兩者大小相等，方向相反（電動勢的方向是電勢升高的方向，而電勢差的正方向是電勢降落的方向）.本題可直接用

21、積分法求解棒上的電動勢，此時積分上下限應(yīng)為和.另外，可將整個棒的電動勢看作是棒與棒上電動勢的代數(shù)和，如圖所示. 如圖所示，在棒上距點為處取導(dǎo)體元，則 因此棒兩端的電勢差為 當(dāng)時，端點處的電勢較高. 將棒上的電動勢看作是棒和棒上電動勢的代數(shù)和，其中 ，則 (動生電動勢)21.長為的導(dǎo)體棒，處于均勻磁場中，并繞軸以角速度旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為，磁感強度與轉(zhuǎn)軸平行.求棒在圖示位置的電動勢.分析 本題既可以用法拉第電磁感應(yīng)定律計算（但此時必須構(gòu)造一個包含導(dǎo)體在內(nèi)的閉合回路，如直角三角形導(dǎo)體回路)，也可用來計算.由于對稱性，導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)至任何位置時產(chǎn)生的電動勢與圖示位置是相同的. 由上分析，得 由矢量的方

22、向可知端點的電勢較高. (動生電動勢)22.金屬桿以勻速平行于一長直導(dǎo)線移動，此導(dǎo)線通有電流.問：此桿中的感應(yīng)電動勢為多大？桿的哪一端電勢較高？分析 本題可用公式求解，可建立圖所示的坐標(biāo)系，所取導(dǎo)體元，該處的磁感強度. 根據(jù)分析，桿中的感應(yīng)電動勢為 式中負號表示電動勢方向由指向，從低到高，故點電勢較高. (動生電動勢)23.在“無限長”直載流導(dǎo)線的近旁，放置一個矩形導(dǎo)體線框，該線框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率向右移動，求在圖示位置處，線框中感應(yīng)電動勢的大小和方向.分析 本題可用公式求解，但用此公式須注意，式中應(yīng)該是線框運動至任意位置處時，穿過線框的磁通量.為此可設(shè)時刻時，線框左邊距導(dǎo)線的距離為，

23、如圖所示，顯然是時間的函數(shù)，且有.在求得線框在任意位置處的電動勢后，再令，即可得線框在題目所給位置處的電動勢. 設(shè)順時針方向為線框回路的正方向.根據(jù)分析，在任意位置處，穿過線框的磁通量為 相應(yīng)電動勢為 令，得線框在圖示位置處的電動勢為 由可知，線框中電動勢方向為順時針方向. (先求磁通量,再由法拉第電磁感應(yīng)定律求感生電動式)24.半徑為的無限長直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場可視為均勻磁場，管外磁場可近似看作零.若通電電流均勻變化，使得磁感強度隨時間的變化率為常量，且為正值，試求：管內(nèi)外由磁場變化激發(fā)的感生電場EK分布；（2）如，求距螺線管中心軸處感生電場的大小和方向.分析 變化磁場可以在空間激發(fā)感生電場，感生電場的空間分布與場源變化的磁場（