高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-3學(xué)案：1.1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 Word版含

1、§1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理第1課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1通過實例，能總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理(重點)2正確地理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”(易混點)3能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題(難點)基礎(chǔ)·初探教材整理1分類加法計數(shù)原理閱讀教材P3“例1”以上部分，完成下列問題完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N_種方法(也稱加法原理)【答案】m1m2mn判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)

2、(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事()(3)從甲地到乙地有兩類交通方式：坐飛機和乘輪船，其中飛機每天有3班，輪船有4班若李先生從甲地去乙地，則不同的交通方式共有7種()(4)某校高一年級共8個班，高二年級共6個班，從中選一個班級擔任星期一早晨升旗任務(wù)，安排方法共有14種()【解析】(1)×在分類加法計數(shù)原理中，分類標準是統(tǒng)一的，兩類不同方案中的方法是不能相同的(2)在分類加法計數(shù)原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標準分類的，故每類方案中的每種方法都能完成這些事(3)由分類加法計數(shù)原理，從甲地去乙

3、地共347(種)不同的交通方式(4)根據(jù)分類加法計數(shù)原理，擔任星期一早晨升旗任務(wù)可以是高一年級，也可以是高二年級，因此安排方法共有8614(種)【答案】(1)×(2)(3)(4)教材整理2分步乘法計數(shù)原理閱讀教材P4，完成下列問題完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法那么，完成這件事共有N_種方法(也稱乘法原理)【答案】m1×m2××mn判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的()(2)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩

4、步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事()(3)已知x2,3,7，y3，4,8，則x·y可表示不同的值的個數(shù)為9個()(4)在一次運動會上有四項比賽，冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有43種()【解析】(1)因為在分步乘法計數(shù)原理中的每一步都有多種方法，而每種方法各不相同(2)×因為在分步乘法計數(shù)原理中，要完成這件事需分兩步，而每步都不能完成這件事，只有各步都完成了，這件事才算完成(3)因為x從集合2,3,7中任取一個值共有3個不同的值，y從集合3，4,8中任取一個值共有3個不同的值，故x·y可表示3×39個不同的值(4)

5、5;因為每個項目中的冠軍都有3種可能的情況，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有34種不同的奪冠情況【答案】(1)(2)×(3)(4)×質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用(1)從高三年級的四個班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分別為4人，5人，6人，7人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組，選其中一人為組長，有多少種不同的選法？(2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？【精彩點撥】(1)按所選組長來自不同班級為分類標準(2)按個位(或十位)取09不同的數(shù)字

6、進行分類【自主解答】(1)分四類：從一班中選一人，有4種選法；從二班中選一人，有5種選法；從三班中選一人，有6種選法；從四班中選一人，有7種選法共有不同選法N456722種(2)法一按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8765432136(個)法二按個位上的數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，所以按分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有12345678

7、36(個)1應(yīng)用分類加法計數(shù)原理解題的策略(1)標準明確：明確分類標準，依次確定完成這件事的各類方法(2)不重不漏：完成這件事的各類方法必須滿足不能重復(fù)，又不能遺漏(3)方法獨立：確定的每一類方法必須能獨立地完成這件事2利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路再練一題1(1)某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有()A1種B2種C3種D4種(2)有三個袋子，分別裝有不同編號的紅色小球6個，白色小球5個，黃色小球4個若從三個袋子中任取1個小球，有_種不同的取法. 【導(dǎo)學(xué)號：62690000】【解析】(1)分兩類：買1本或買2本書，各類購買方式依次有2種、1種，故購買方式共有21

8、3種故選C.(2)有三類不同方案：第一類，從第1個袋子中任取1個紅色小球，有6種不同的取法；第二類，從第2個袋子中任取1個白色小球，有5種不同的取法；第三類，從第3個袋子中任取1個黃色小球，有4種不同的取法其中，從這三個袋子的任意一個袋子中取1個小球都能獨立地完成“任取1個小球”這件事，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法共有65415種【答案】(1)C(2)15分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))?【精彩點撥】根據(jù)題意，必須依次在每個撥號盤上撥號，全部撥號完畢后，才撥出一個四位數(shù)號碼，所以應(yīng)

9、用分步乘法計數(shù)原理【自主解答】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第一步，有10種撥號方式，所以m110；第二步，有10種撥號方式，所以m210；第三步，有10種撥號方式，所以m310；第四步，有10種撥號方式，所以m410.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共可以組成N10×10×10×1010 000個四位數(shù)的號碼1應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可2利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步；(2)計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)

10、果再練一題2張濤大學(xué)畢業(yè)參加工作后，把每月工資中結(jié)余的錢分為兩部分，其中一部分用來定期儲蓄，另一部分用來購買國債人民幣儲蓄可以從一年期、二年期兩種中選擇一種，購買國債則可以從一年期、二年期和三年期中選擇一種問：張濤共有多少種不同的理財方式？【解】由題意知，張濤要完成理財目標應(yīng)分步完成第一步，將一部分錢用來定期儲蓄，從一年期和二年期中任意選擇一種理財方式；第二步，用另一部分錢購買國債，從一年期、二年期和三年期三種國債中任意選擇一種理財方式由分步乘法計數(shù)原理，得2×36種探究共研型兩個計數(shù)原理的辨析探究1某大學(xué)食堂備有6種葷菜，5種素菜，3種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，試問要“完成的

11、這件事”指的是什么？若配成“一葷一素”是否“完成了這件事”？【提示】“完成這件事”是指從6種葷菜中選出一種，再從5種素菜中選出一種，最后從3種湯中選出一種，這時這件事才算完成而只選出“一葷一素”不能算“完成這件事”探究2在探究1中，要“完成配成套餐”這件事需分類，還是分步？為什么？【提示】要配成一葷一素一湯的套餐，需分步完成只配葷菜、素菜、湯中的一種或兩種都不能達到“一葷一素一湯”的要求，即都不能完成“配成套餐”這件事探究3在探究1中，若要配成“一素一湯套餐”，試問可配成多少種不同的套餐？你能分別用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理求解嗎？你能說明分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的主要區(qū)別嗎

12、？【提示】5種素菜分別記為A，B，C，D，E.3種湯分別記為a，b，c.利用分類加法計數(shù)原理求解：以選用5種不同的素菜分類：選素菜A時，湯有3種選法；選素菜B時，湯有3種選法；選素菜C時，湯有3種選法；選素菜D時，湯有3種選法；選素菜E時，湯有3種選法故由加法計數(shù)原理，配成“一素一湯”的套餐共有3333315(種)不同的套餐利用分步乘法計數(shù)原理求解：第一步：從5種素菜中，任選一種共5種不同的選法；第二步：從3種湯中，任選一種共3種不同的選法由分步乘法計數(shù)原理，配成“一素一湯”的套餐共有5×315(種)不同套餐兩個計數(shù)原理的主要區(qū)別在于分類加法計數(shù)原理是將一件事分類完成，每類中的每種方

13、法都能完成這件事，而分步乘法計數(shù)原理是將一件事分步完成，每步中的每種方法都不能完成這件事有A，B，C型高級電腦各一臺，甲、乙、丙、丁4個操作人員的技術(shù)等級不同，甲、乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型電腦從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有多少種？【精彩點撥】從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，首先將問題分類，可分為四類，然后每一類再分步完成即解答本題可“先分類，后分步”【自主解答】第一類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會操作C型電腦，分2步安排這3人操作電腦，有2×24種方法；第二類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會

14、操作A型電腦，這時安排3人操作電腦，有2種方法；第三類，選甲、丙、丁3人，這時安排3人操作電腦只有1種方法；第四類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有42118種選派方法1能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點：(1)完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；(2)完成每一步有若干種方法；(3)把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)2利用分步乘法計數(shù)原理應(yīng)注意：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；(2)“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的，但也不能重復(fù)、交叉；(3)若完成某件事情需n步，則必須依次完成這n個步驟后，這

15、件事情才算完成再練一題3一個袋子里有10張不同的中國移動手機卡，另一個袋子里有12張不同的中國聯(lián)通手機卡(1)某人要從兩個袋子中任取一張自己使用的手機卡，共有多少種不同的取法？(2)某人手機是雙卡雙待機，想得到一張移動和一張聯(lián)通卡供自己使用，問一共有多少種不同的取法？【解】(1)第一類：從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法；第二類：從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有101222種取法(2)第一步，從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法；第二步，從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有10×12120種取法構(gòu)建·

16、體系1現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為()A7B12C64D81【解析】先從4件上衣中任取一件共4種選法，再從3條長褲中任選一條共3種選法，由分步乘法計數(shù)原理，上衣與長褲配成一套共4×312(種)不同配法故選B.【答案】B2從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為()A1113B3429C3×4×224D以上都不對【解析】分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走

17、法；第三類，乘輪船，從2次中選1次有2種走法所以，共有3429種不同的走法【答案】B3從2,3,5,7,11中每次選出兩個不同的數(shù)作為分數(shù)的分子、分母，則可產(chǎn)生不同的分數(shù)的個數(shù)是_，其中真分數(shù)的個數(shù)是_. 【導(dǎo)學(xué)號：62690001】【解析】產(chǎn)生分數(shù)可分兩步：第一步，產(chǎn)生分子有5種方法；第二步，產(chǎn)生分母有4種方法，共有5×420個分數(shù)產(chǎn)生真分數(shù)，可分四類：第一類，當分子是2時，有4個真分數(shù)，同理，當分子分別是3,5,7時，真分數(shù)的個數(shù)分別是3,2,1，共有432110個真分數(shù)【答案】20104十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，不同的行車路線有_條【解析】經(jīng)過一次十字路口可分兩步：第

18、一步確定入口，共有4種選法；第二步確定出口，從剩余3個路口任選一個共3種，由分步乘法計數(shù)原理知不同的路線有4×312條【答案】125某公園休息處東面有8個空閑的凳子，西面有6個空閑的凳子，小明與爸爸來這里休息(1)若小明爸爸任選一個凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？(2)若小明與爸爸分別就坐，有多少種坐法？【解】(1)小明爸爸選凳子可以分兩類：第一類：選東面的空閑凳子，有8種坐法；第二類：選西面的空閑凳子，有6種坐法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，小明爸爸共有8614(種)坐法(2)小明與爸爸分別就坐，可以分兩步完成：第一步，小明先就坐，從東西面共8614(個)凳子中選一個坐下，共有14種坐法

19、；(小明坐下后，空閑凳子數(shù)變成13)第二步，小明爸爸再就坐，從東西面共13個空閑凳子中選一個坐下，共13種坐法由分步乘法計數(shù)原理，小明與爸爸分別就坐共有14×13182(種)坐法我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標一、選擇題1如圖1­1­1所示為一個電路圖，從左到右可通電的線路共有()圖1­1­1A6條B5條C9條D4條【解析】從左到右通電線路可分為兩類：從上面有3條；從下面有2條由分類加法計數(shù)原理知，從左到右通電的線路共有325條【答案】B2有5列火車停在某車站并排的5條軌道上，

20、若火車A不能停在第1道上，則5列火車的停車方法共有()A96種B24種 C120種D12種【解析】先排第1道，有4種排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1種，由分步乘法計數(shù)原理知共有4×4×3×2×196種【答案】A3將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有()A53種B35種C8種D15種【解析】每封信均有3種不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×335種投法【答案】B4如果x，yN，且1x3，xy<7，則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對的個數(shù)是()A15B12C5D4【解析】利用分類加法計數(shù)原

21、理當x1時，y0,1,2,3,4,5，有6個；當x2時，y0,1,2,3,4，有5個；當x3時，y0,1,2,3，有4個據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有65415個【答案】A5從集合1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，作為方程AxBy0的系數(shù)A，B的值，則形成的不同直線有() 【導(dǎo)學(xué)號：62690002】A18條B20條C25條D10條【解析】第一步，取A的值，有5種取法；第二步，取B的值，有4種取法，其中當A1，B2時與A2，B4時是相同的方程；當A2，B1時與A4，B2時是相同的方程，故共有5×4218條【答案】A二、填空題6橢圓1的焦點在y軸上，且m1,2,3,4,5，n1,2,

22、3,4,5,6,7，則滿足題意的橢圓的個數(shù)為_【解析】因為焦點在y軸上，所以0<m<n，考慮m依次取1,2,3,4,5時，符合條件的n值分別有6,5,4,3,2個，由分類加法計數(shù)原理知，滿足題意的橢圓的個數(shù)為6543220個【答案】207某班2016年元旦晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為_【解析】將第一個新節(jié)目插入5個節(jié)目排成的節(jié)目單中有6種插入方法，再將第二個新節(jié)目插入到剛排好的6個節(jié)目排成的節(jié)目單中有7種插入方法，利用分步乘法計數(shù)原理，共有插入方法：6×742(種)【答案】428如圖1&#

23、173;1­2，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連，連線標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點B向結(jié)點A傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為_圖1­1­2【解析】依題意，首先找出B到A的路線，一共有4條，分別是BCDA，信息量最大為3；BEDA，信息量最大為4；BFGA，信息量最大為6；BHGA，信息量最大為6.由分類加法計數(shù)原理，單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為346619.【答案】19三、解答題9有不同的紅球8個，不同的白球7個(1)從中任意取出一個球，有多少種不同的取法？(2)從中

24、任意取出兩個不同顏色的球，有多少種不同的取法？【解】(1)由分類加法計數(shù)原理，從中任取一個球共有8715(種)(2)由分步乘法計數(shù)原理，從中任取兩個不同顏色的球共有8×756(種)10某單位職工義務(wù)獻血，在體檢合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人(1)從中任選1人去獻血，有多少種不同的選法；(2)從四種血型的人中各選1人去獻血，有多少種不同的選法？【解】從O型血的人中選1人有28種不同的選法；從A型血的人中選1人有7種不同的選法；從B型血的人中選1人有9種不同的選法；從AB型血的人中選1人有3種不同的選法(1)任選1人去獻血，即無論選

25、哪種血型的哪一個人，“任選1人去獻血”這件事情都可以完成，所以用分類加法計數(shù)原理有2879347種不同的選法(2)要從四種血型的人中各選1人，即從每種血型的人中各選出1人后，“各選1人去獻血”這件事情才完成，所以用分步乘法計數(shù)原理有28×7×9×35 292種不同的選法能力提升1.一植物園參觀路徑如圖1­1­3所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線種數(shù)共有()圖1­1­3A6種B8種C36種D48種【解析】由題意知在A點可先參觀區(qū)域1，也可先參觀區(qū)域2或3，每種選法中可以按逆時針參觀，也可以按順時針參觀，所以第一步可以從6