2021九年級(jí)中考第一輪必刷題：20直角三角形與勾股定理(解析版)

1、第20課時(shí)直角三角形與勾股定理一、選擇題1、2021?渝北區(qū)如果以下各組數(shù)是三角形的三邊，那么能組成直角三角形的是A. 1，.小 2B. 1, 3, 4C. 2, 3, 6D. 4, 5, 6【答案】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可.【解析】A、12+ 一匚2= 22,故是直角三角形，故此選項(xiàng)正確；2、2021?益陽(yáng) M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM = MN = 2, NB = 1，以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為半徑畫弧；再以點(diǎn)B為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn) C,連接AC, BC,那么厶ABC 一定是A 銳角三角形B 直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形【答案】

2、B【解析】如下圖， AC= AN= 4, BC= BM= 3, AB= 2+2+1 = 5,ac2+bc2= AB2, ABC是直角三角形，且/ ACB = 90°應(yīng)選：B.3、 2021咸寧勾股定理是 人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一 .我國(guó)對(duì)勾股定理的證明是由漢代的趙爽 在注解?周髀算經(jīng)?時(shí)給出的，他用來(lái)證明勾股定理的圖案被稱為趙爽弦圖 .2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)選它作為會(huì)徽以下圖案中是趙爽弦圖的是【答案】B【解析】解：趙爽弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如下圖：應(yīng)選：B.4、2021 廣元如圖, ABC 中，/ABC = 90:BA = B

3、C = 2,將厶 ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到 DEC,連接BD,那么BD2的值是IX【答案】8+4.3【解析】連接AD,過(guò)點(diǎn)D作DM丄BC于點(diǎn)M,DN丄AC于點(diǎn)N,易得 ACD是等邊三角形，四邊形BNDM是正方形，設(shè) CM = x,那么 DM = MB = x+2, / BC = 2,CD = AC = 2'、.2,.在 Rt MCD 中，由勾股定理可求得,x = -/3 - 1 ,DM = MB = -3+1 ,在 Rt BDM 中,BD2= MD2+mb2= 8+4肩5、2021益陽(yáng) M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM=MN=2 , NB = 1,以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為

4、半徑畫??；再以點(diǎn)B為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C,連接AC、BC,那么 ABC 定是A.銳角三角形B.直角三角形C鈍角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如下圖， AM=MN=2 , NB = 1, AB=AM=MN+NB = 2+2+1=5 , AC=AN=AM+MN=2+2=4, BC=BM=BN+MN1+2=3 AB25225, AC24216, BC2329,. AC2 BC2 AB2, ABC 是直角三角形.6、2021寧波勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書?周髀算經(jīng)?中早有記載如圖1,以直角三角形的各邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖 2的方式

5、放置在最大正方形內(nèi).假設(shè)知道圖中陰影局部的面積，那么一定能求出B.最大正方形的面積C.較小兩個(gè)正方形重疊局部的面積D.最大正方形與直角三角形的面積和【答案】C【解析】設(shè)圖中三個(gè)正方形邊長(zhǎng)從小到大依次為:a,b,c,那么 S 陰影=c2 a2 b2+b(a+b c),由勾股定理可知,c2=a2 b2, S陰影=c2 a2 b2+s重疊=S重疊，即S陰影=S重疊，應(yīng)選C.7、2021畢節(jié)市積為A .3C. -5【答案】B 如圖，點(diǎn)E在正方形B 3D 5ABCD的面B = 90° BC2= EC2-EB2 = 22 - 12= 3,【解析】四邊形ABCD是正方形，/正方形ABCD的面積=B

6、C2= 3.應(yīng)選：B.8、2021?南岸區(qū)如圖，在 Rt ABC 中，/ A= 90° / C= 30° BC 的垂直 平分線交AC于點(diǎn)D,并交BC于點(diǎn)E,假設(shè)ED = 3,那么AC的長(zhǎng)為A . 3 ；B . 3C. 6D. 9【答案】D .【解析】 DE是線段BC的垂直平分線， DC = DB , DE 丄 BC,A.直角三角形的面積/ C= 30°BD = DC = 2DE = 3,/ DBC = Z C= 30°在厶 ABC 中，/ A= 90° / C= 30°/ ABC = 60°/ ABD = 60°

7、- 30°= 30° AD = BD = 3,2 AC = DC+AD = 9,應(yīng)選：D.9、2021湖州在數(shù)學(xué)拓展課上，小明發(fā)現(xiàn)：假設(shè)一條直線經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，那么這條直線平分該平行四邊形的面積.如圖是由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的圖形.P是其中4個(gè)小正方形的公共頂點(diǎn)，小強(qiáng)在小明的啟發(fā)下，將該圖形沿著過(guò)點(diǎn)那么剪痕的長(zhǎng)度是)A . 2.2B .53；5C .2D .P的某條直線剪一刀，把它剪成了面積相等的兩局部,P【答案】D .【解析】如答圖，取左下角的小正方形的中心O,作直線OP，得線段AB,那么沿折痕AB裁剪，即可將該圖形面積兩等分.過(guò)點(diǎn) A作AC丄BD于點(diǎn)C

8、,那么/ ACB= 90°由中心對(duì)稱的性質(zhì)可知， BD = EF = AG,從 而B(niǎo)C = 1.又AC = 3，故在Rt ABC中，由勾股定理，得 AB = 、32 12 = 10 . 應(yīng)選D .、填空題10、2021宜賓如圖，直角ABC 中,【答案】世【解析】解：在 Rt ABC中，AB AC2 BC25,165【答案】5、22cm 結(jié)果保存根號(hào)圖圖由射影定理得， AC2 ADgAB ,2,AC 16 f話宀、rAD，故答案為:AB 511、2021蘇州七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造可以拼出許多有趣的圖形，被譽(yù)為東方魔板圖是由邊長(zhǎng)為10cm的正方形薄板分為7塊制作成的七巧板圖是用該

9、七巧板拼成的一個(gè)家的圖形 該七巧板"中7塊圖形之一的正方形邊長(zhǎng)為【解析】此題考查了正方形性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)的綜合，由題意可知，等腰三角形與等腰三角形全等，且它們的斜邊長(zhǎng)都為1廠10=簡(jiǎn)，設(shè)正方形陰影局部的邊長(zhǎng)為xcm，那么=sin455°丄，解得2x=丄2，故答案為252212、2021棗莊把兩個(gè)同樣大小含個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另外三個(gè)銳角頂點(diǎn)45。的三角尺按如下圖的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另CD =【答案】 6 2 1【解析】在等腰直角 ABC中，/ AB = 2,二BC = 2 2 ,過(guò)點(diǎn)A作AM丄BD于點(diǎn)M,那么AM = MC =-BC =

10、2 ,2在 Rt AMD 中,AD = BC = 2.2 ,AM = 2，- MD = . 6 ,二 CD = MD MC = .6 2 .13、 2021南京無(wú)蓋圓柱形杯子的展開(kāi)圖如下圖.將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的局部至少有cm.【答案】5【解析】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長(zhǎng)度為：-門亠4 -15,那么筷子露在杯子外面的筷子長(zhǎng)度為：20 - 15= 5 cm.故答案為5.14、 2021哈爾濱如圖將 ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到厶 A B'其中點(diǎn)A與A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B與B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B'落在邊AC上,連接A B假設(shè)/ ACB=45 ,AC=3,

11、BC=2,那么A'B的長(zhǎng)為.【答案1 :13【解析】解：將 ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到厶ABC,AC= A'C = 3，/ ACB =Z ACA'= 45°/ A'CB = 90°A'B= - BC A C = -. 13故答案為,1315、2021海南如圖，將 RtA ABC的斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0 < <90 °得到AE,直角邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)【答案】帀【解析】+(0 °< <90°)得到 AF,連接 EF假設(shè) AB = 3,AC = 2,且 + =/ B,那么 EF=

12、2,. EF= . AE2 AF 2 =帀16、2021大慶我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股方圓圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼 成的一個(gè)大正方形如下圖.如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b那么a b2的值是【答案】1【解析】a b2 =護(hù)+匕2 2ab其中，由勾股定理可得，a2+b2= 13,直角三角形面積=(13 1)嗚=3,即1ab2所以 ab= 6 所以(a b)2= a2+b2 2ab= 13 12= 117、 2021北京市如下圖的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，那么PAB+ PBA =(點(diǎn)A , B , P是網(wǎng)格線交點(diǎn)第12題圖【答案】45&

13、#176;【解析】如圖12-1，延長(zhǎng)AP至C,連結(jié)BC.設(shè)圖中小正方形的邊長(zhǎng)為 1,由勾股定理得pc2 12山月2 2 2 2 2 2 225, BC 125 , PB 1310;2 2 2二PC BC PB，且PC BC .即厶PBC為等腰直角三角形，/ 由三角形外角的性質(zhì)得PAB+ PBA MPC 45 .18、 2021巴中如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,分別連接AP,BP,CP假設(shè) AP = 6,BP= 8,CP= 10,那么 Ssbp+Smpc =【答案】16 3+24BPC=45° .【解析】將厶ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到厶CBP'，連接PP

14、9;所以BP = BP', / PBP'= 60°,所以 BPP是等邊三角形，其邊長(zhǎng) BP 為 8,所以 Sbpp' = 16 .3,因?yàn)?PP= 8,P'C= PA= 6,PC= 10所以是直角三角形 $ pp'c= 24,所以 Saabp+Sbpc = Sbpp'+Spp'c= 16r：3+24.19、2021黔東南三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手將一對(duì)直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn) B 在 ED 上, AB / CF, / F =/ ACB = 90° / E = 45° / A= 60

15、76; AC = 10,那么 CD 的長(zhǎng)度是 【答案】15 - 5【解析】解：過(guò)點(diǎn) B作BM丄FD于點(diǎn)M ,在厶 ACB 中，/ ACB = 90° , / A = 60° , AC= 10 ,/ ABC = 30° , BC= 10Xtan60 = 10,/ AB / CF , BM = BCXsin30 ° 辺屈兀;：5必，CM = BCcos30 = 15,在厶 EFD 中，/ F = 90°,/ E= 45°,/ EDF = 45°,MD = BM= 5 護(hù):鳥(niǎo) CD = CM - MD = 15 - 5、'

16、/耳故答案是：15 - 5/二.三、解答題20、(2021巴中)如圖，等腰直角三角板如圖放置，直角頂點(diǎn)C在直線m上，分別過(guò)點(diǎn)A,B作AE丄直線m于點(diǎn)E,BD丄直線m與點(diǎn)D.(1) 求證:EC = BD;(2) 假設(shè)設(shè) AEC三邊分別為a,b,c,利用此圖證明勾股定理證明：(1)v ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90 °,AC = BC, / ACE+ / BCD = 90 °,/ AE 丄 EC, / EAC+ / ACE = 90°，/ BCD =/ CAE,/ BD 丄 CD, / AEC = / CDB = 90°, AEC CDB(AA

17、S), EC= BD.(2)v AEC 也厶 CDB, AEC 三邊分別為 a, b, c, BD = EC= a,CD = AE = b,BC = AC = c, S梯形1(AE+BD)ED1一 (a+b)(a+b),211 2 1S 梯形 ab+ c2 + ab,22 2111 2 1 _ (a+b)(a+b) ab+ c2+ ab,222 2整理可得a2+b2= c2,故勾股定理得證21、( 2021龍東地區(qū))如圖，在 ABC中，AB = BC, AD丄BC于點(diǎn)D , BE丄AC于點(diǎn)E, AD與BE交于點(diǎn)F , BH丄AB于點(diǎn)B,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接 FM并延長(zhǎng)交BH于點(diǎn)H .(1)

18、如圖所示，假設(shè)/ ABC = 30°求證：DF + BH =bd ；3(2) 如圖所示，假設(shè)/ ABC = 45°如圖所示，假設(shè)/ ABC = 60° (點(diǎn)M與點(diǎn)D重合)，猜測(cè)線段DF , BH ,BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜測(cè)，不需證明.CC【解題過(guò)程】解：(1)證明：連接CF AB=BC，/ ABC=30BAC= / ACB=75 .BE丄AC , BE垂直平分 AC ,/ AD 丄 BC,： / ADB=90，/BAD=60 , / DAC=15 / AB=BC , AF=CF , / ACF= / DAC=15,/ BCF=75 -15 &

19、#176;60° ,/ BH 丄 AB , / ABC=30 , / CBH=60 , / CBH= / BCF=60 在厶 BHM 和厶 CFM 中，/ CBH= / BCF ,BM=CM , / BMH= / CMF , BHM CFM , BH=CF, BH=AF , AD=DF+AF=DF+BH.在 Rt ADB中,/ ABC=30 , AD=J3 DF + BH = BD3(2)圖猜測(cè)結(jié)論：DF + BH = BD;圖猜測(cè)結(jié)論：DF + BH = . 3 BDC22、( 2021 十堰)如圖 1, ABC 中，CA = CB , / ACB= a, DABC 內(nèi)一點(diǎn)，將厶 CAD 繞點(diǎn) C 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 a得到 CBE ,點(diǎn)A , D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) B , E ,且A , D , E三點(diǎn)在同一直線上.(1 )填空：/ CDE = (用含a的代數(shù)式表示)；(2)如圖2,假設(shè)a= 60°請(qǐng)補(bǔ)全圖形，再過(guò)點(diǎn) C作CF丄AE于點(diǎn)F ,然后探究線段 CF , AE , BE之間 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)假設(shè)a= 90° AC= 5淑,且點(diǎn)G滿足/ AGB= 90° BG= 6,直接寫出點(diǎn) C到AG的距離