圓內接四邊形的性質與判定定理數學教學課件PPT

1、返回返回返回返回 讀教材讀教材填要點填要點 1圓內接四邊形的性質定理圓內接四邊形的性質定理定理定理1：圓內接四邊形的對角：圓內接四邊形的對角 定理定理2：圓內接四邊形的外角等于它的內角的：圓內接四邊形的外角等于它的內角的 互補互補對角對角返回返回 2圓內接四邊形的判定定理圓內接四邊形的判定定理 (1)定理：如果一個四邊形的對角定理：如果一個四邊形的對角 ，那么這個四邊，那么這個四邊形的四個頂點共圓形的四個頂點共圓 (2)符號語言表述：在四邊形符號語言表述：在四邊形ABCD中，如果中，如果BD 或或AC180，那么四邊形，那么四邊形ABCD內接于內接于圓圓 3判定定理的推論判定定理的推論 如果四

2、邊形的一個外角等于它的內角的如果四邊形的一個外角等于它的內角的 ，那么這，那么這個四邊形的四個頂點共圓個四邊形的四個頂點共圓互補互補對角對角180返回返回 小問題小問題大思維大思維 1所有的三角形都有外接圓嗎？所有的四邊形是否都所有的三角形都有外接圓嗎？所有的四邊形是否都有外接圓？有外接圓？ 提示：提示：所有的三角形都有外接圓，但四邊形并不一定所有的三角形都有外接圓，但四邊形并不一定有外接圓有外接圓 2如果一個平行四邊形有外接圓，它是矩形嗎？如果一個平行四邊形有外接圓，它是矩形嗎？ 提示：提示：因為平行四邊形的對角相等，圓內接四邊形的因為平行四邊形的對角相等，圓內接四邊形的對角和為對角和為18

3、0，所以該平行四邊形一定是矩形，所以該平行四邊形一定是矩形返回返回 研一題研一題 例例1如圖，在如圖，在ABC中，中，ADBD，DFAB交交AC于點于點F，AEEC，EGAC交交AB于點于點G. 求證：求證：(1)D、E、F、G四點共圓；四點共圓； (2)G、B、C、F四點共圓四點共圓 分析：分析：本題考查四點共圓的判定定理及性質定理的本題考查四點共圓的判定定理及性質定理的應用解決問題應用解決問題(1)可利用可利用“如果四個點到一定點的距離如果四個點到一定點的距離相等，那么這四個點共圓相等，那么這四個點共圓”，解決問題，解決問題(2)可利用判定定可利用判定定理的推論證明理的推論證明返回返回 證

4、明：證明：(1)連接連接GF，由，由DFAB，EGAC， 知知GDFGEF90， GF的中點到的中點到D、E、F、G四點距離相四點距離相等，等，D、E、F、G四點共圓四點共圓 (2)連接連接DE.由由ADDB，AEEC，知，知DEBC， ADEB. 又由又由(1)中中D、E、F、G四點共圓，四點共圓， ADEGFE，GFEB， G、B、C、F四點共圓四點共圓返回返回 悟一法悟一法 判定四點共圓的方法常有：判定四點共圓的方法常有： (1)如果四個點與一定點的距離相等，那么這四個點如果四個點與一定點的距離相等，那么這四個點共圓共圓 (2)如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊如果一個四邊形的一

5、組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓形的四個頂點共圓 (3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內對角，那如果一個四邊形的一個外角等于它的內對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓么這個四邊形的四個頂點共圓 (4)如果兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等如果兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等且在公共邊的同側，那么這兩個三角形的四個頂點共圓且在公共邊的同側，那么這兩個三角形的四個頂點共圓返回返回 通一類通一類 1在在ABC中，中，ABAC，延長，延長CA到到P，延長，延長AB到到Q，使，使APBQ，連接，連接PQ.求證：求證：ABC的外心的外心O與與A、P、Q四點共圓四點共圓證明：證明：如圖，連

6、接如圖，連接OA、OC、OP、OQ.在在OCP和和OAQ中，中，OCOA.由已知由已知CAAB，APBQ.CPAQ.又又O是是ABC的外心，的外心，返回返回OCPOAC.由于等腰三角形的外心在頂角平分線上，由于等腰三角形的外心在頂角平分線上，OACOAQ，從而，從而OCPOAQ.OCP OAQ.CPOAQO.O、A、P、Q四點共圓四點共圓.返回返回 研一題研一題 例例2如圖，兩圓如圖，兩圓 O1， O2相交于相交于A，B. O1的的弦弦BC交交 O2于于E點，點， O2的弦的弦BD交交 O1于于F點點返回返回 證明：證明：(1)若若DBACBA，則，則DFCE. (2)若若DFCE，則，則DB

7、ACBA. 分析：分析：本題考查圓內接四邊形的判定及性質解決本本題考查圓內接四邊形的判定及性質解決本題需要借助三角形全等證明角相等或邊長相等題需要借助三角形全等證明角相等或邊長相等返回返回返回返回 悟一法悟一法 (1)圓內接四邊形性質定理為幾何論證中角的相等或圓內接四邊形性質定理為幾何論證中角的相等或互補提供了一個理論依據，因而也為論證角邊關系提供互補提供了一個理論依據，因而也為論證角邊關系提供了一種新的途徑了一種新的途徑 (2)在解有關圓內接四邊形的幾何問題時，既要注意在解有關圓內接四邊形的幾何問題時，既要注意性質定理的運用，也要注意判定定理的運用，又要注意性質定理的運用，也要注意判定定理的

8、運用，又要注意兩者的綜合運用兩者的綜合運用(3)構造全等或相似三角形，以達到證構造全等或相似三角形，以達到證明線段相等、角相等或線段成比例等目的明線段相等、角相等或線段成比例等目的返回返回 通一類通一類 2兩圓相交于兩圓相交于A、B，過，過A作兩直線作兩直線分別交兩圓于分別交兩圓于C、D和和E、F.若若EABDAB，求證：求證：CDEF.證明：證明：如圖，連接如圖，連接EC、BE、BD、BC、BF.因為四邊形因為四邊形ABEC為圓內接四邊形，為圓內接四邊形，所以所以2CEB.返回返回又因為又因為1ECB，且，且12，所以所以CEBECB.所以所以BCBE.在在CBD與與EBF中，中，BCDBE

9、F，DF，BCBE，所以所以CBD EBF.所以所以CDEF.返回返回 研一題研一題 例例3如圖所示，如圖所示，AB、CD都是圓的都是圓的弦，且弦，且ABCD，F(xiàn)為圓上一點，延長為圓上一點，延長FD、AB交于點交于點E. 求證：求證：AEACAFDE. 分析：分析：本題考查圓內接四邊形的判定及性質以及相似三本題考查圓內接四邊形的判定及性質以及相似三角形等問題解答本題可連接角形等問題解答本題可連接BD，通過證明，通過證明EBDEFA來解決來解決返回返回返回返回 悟一法悟一法 證明比例線段或比例式通常利用三角形相似來解決，證明比例線段或比例式通常利用三角形相似來解決，而證明三角形相似，常利用圓內接

10、四邊形的性質尋找角而證明三角形相似，常利用圓內接四邊形的性質尋找角之間的關系之間的關系返回返回 通一類通一類 3試證明：在圓內接四邊形試證明：在圓內接四邊形ABCD中，中，ACBDADBCABCD.返回返回返回返回 圓內接四邊形的判定及性質是高考重點考查的對圓內接四邊形的判定及性質是高考重點考查的對象之一，象之一，2011年全國新課標卷將圓內接四邊形的判定年全國新課標卷將圓內接四邊形的判定與三角形的相似及一元二次方程的根與系數的關系相與三角形的相似及一元二次方程的根與系數的關系相結合綜合考查，是高考模擬命題的一個新考向結合綜合考查，是高考模擬命題的一個新考向返回返回考題印證考題印證 (2011全國課標卷全國課標卷)如圖，如圖，D，E分別分別為為ABC的邊的邊AB，AC上的點，且不與上的點，且不與ABC的頂點重合已知的頂點重合已知AE的長為的長為m，AC的長為的長為n，AD，AB的長是關于的長是關于x的方程的方程x214xmn0的兩的兩個根個根 (1)證明：證明：C，B，D，E四點共圓；四點共圓