數(shù)列求與方法歸納

1、數(shù)列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常見的數(shù)列的前n 項(xiàng)和： 1 2 3+n= n(n 1) ，1+3+5+(2n-1)= n22+n2 = n(n1)(2n1) ，n(n1)2122232132333+n3 =等.62例 1求1222324252629921002 解：原式(2212 )(4232 )(6252 )(1002992 )37 11199 由等差數(shù)列求和公式，得原式50(3199)50502變式練習(xí) ：已知 log 3x1，求 xx 2x 3.x n.的前 n 項(xiàng)和 .log 2 31n解：1 2二、倒序相加法此方法源于等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，目的在于利用與首末兩項(xiàng)

2、等距離的兩項(xiàng)相加有公因式可提取，以便化簡后求和 .例 2求 2122232102的和10222922821022131解：設(shè) S122232102121022292328210212則 S1029282122 10222292322102181兩式相加，得2S1111 0S5三、裂項(xiàng)相消法常見的拆項(xiàng)公式有：11 ( 11)，11 ( n kn) ，n(n k) k n n kn kn k(2 n11)1 (1111)，等.1)(2n2 2n2n1 / 7例 3已知 1222n21 n(n1)(2n1) ，6求3572n11212221222321222n2 (nN ) 的和解：an2n12n1

3、6，1222n21n(nn(n1)(2n1)1)6Sn6111223n n (1 )1611111122 3nn1611n1ln .n1小結(jié)： 如果數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式很容易表示成另一個數(shù)列 bn 的相鄰兩項(xiàng)的差，即anbn 1 bn ，則有 Snbn 1b1 .這種方法就稱為裂項(xiàng)相消求和法 .變式練習(xí)： 求數(shù)列 1，1，1， ，1， 的前 n 項(xiàng)和 S.1 3243 5n( n2)解：12)=1(11）n(n2nn 2n1(11(11111111311S =2)()= (1) =32 4n n 222 n 1 n 2 4 2n 2 2n 4四、錯位相減法源于等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，

4、 對于形如 anbn 的數(shù)列，其中 an 為等差數(shù)列， bn 為等比數(shù)列，均可用此法 .例 4求 x3x25x3(2n1)xn 的和解：當(dāng) x1時， Sn1x2x2 (1xn1 )(2n1)xn 1；當(dāng) x1 時， Snn2 x(1x)21x小結(jié)：錯位相減法的步驟是：在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列bn 的公比；將兩個等式相減；利用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求和 .2 / 7變式練習(xí)： 求數(shù)列 a,2a234n(a為常數(shù))的前n項(xiàng)和。,3a ,4a ,na ,解：（1）若 a=0, 則 Sn=0（ ）若則n+n=n ( n1)2a=1,S =1+2+3+2（3）若 a0 且 a1則 Sn234n，

5、n234n+1=a+2a +3a +4a + naaS =a n1a +2 a +3 a +na(1-a) Sn23nn+1anan1+a - na=a+ a + a +1aaan1nan1Sn1)當(dāng)a=0時，此式也成立。=(1a) 21(aan( n1)( a1)Sn=21n1aan2na( a1)(11a)a五、分組求和法若數(shù)列的通項(xiàng)是若干項(xiàng)的代數(shù)和，可將其分成幾部分來求.例 5求數(shù)列 2 1，4 1，61 ， ，2n1n1 ，的前 n 項(xiàng)和 Sn 48162Sn(2462n)1111n(n 1)112223242n 12 2n 1變式練習(xí)： 求數(shù)列 11,21,31,41,的前 n 項(xiàng)和

6、392781解：n2n1122 3n數(shù)列求和基礎(chǔ)訓(xùn)練1.等比數(shù)列 an 的前項(xiàng)和 2 ，則2222 4n1Sa1a2a3an32.設(shè) Sn1357( 1)n (2 n1) ，則 Sn ( 1)n n .3.114417(3n2)1(3n1)3 n1.n4.111.1=1111124 3546(n 1)(n 3)2 2 3 n 2 n 35.數(shù)列 1,(12),(1222 ),(12222n 1 ),的通項(xiàng)公式 an2 n1 ，前 n 項(xiàng)和 Sn2 n1n23 / 71352n13 2n36 ., , ; 的前 n 項(xiàng)和為 Snn222232 n2數(shù)列求和提高訓(xùn)練1數(shù)列 an 滿足： a1 1，

7、且對任意的 m，n N* 都有： am namanmn，則1111(A)a1a2a3a2008A 4016B 2008C 2007D 20072009200910042008解： am nam an mn， an 1 an a1n an 1 n，利用疊加法得到： an n(n1)， 122( 11) ，2ann(n1)nn1 11112(111111) 2(11)4016a1a2a3a20082232008200920092009nn1的等差數(shù)列，若其首項(xiàng)滿足1b1 5，a1b1，且 a1，2數(shù)列 a 、 b 都是公差為ab1 N* ，則數(shù)列 abn 前 10 項(xiàng)的和等于(B)A100B85C

8、70D55解： an a1 n 1， bn b1 n 1 abn a1 bn 1 a1 (b1 n 1) 1 a1 b1 n 2 5 n 2 n 3則數(shù)列 ab 也是等差數(shù)列，并且前 10 項(xiàng)和等于：413 1085答案： B.n23設(shè) m=1×2+2× 3+3×4+ +(n-1)·n，則 m 等于(A)A. n(n 21)B. 1 n(n+4)C. 1 n(n+5)D. 1 n(n+7)32223解：因?yàn)閍 n =n2 - n.，則依據(jù)分組集合即得.答案 ;A.若nn-1·n，則 S1733 50 等于( A )4S =1-2+3-4+ +(

9、-1)+SA.1B.-1C.0D.2n 1為奇)2( n解：對前 n 項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即：Sn=答案： An(n為偶 )4 / 75設(shè) an 為等比數(shù)列 , bn 為等差數(shù)列，且b1=0,cn=an+bn,若數(shù)列 cn 是 1,1,2, ,則 cn 的前 10 項(xiàng)和為(A)A.978B.557C.467D.979qd 1解由題意可得 a1=1,設(shè)公比為 q,公差為 d,則2d 2q2 q2-2q=0, q 0, q=2, an=2n-1 ,bn=(n-1)(-1)=1-n, cn=2 n-1+1-n, Sn=978.答案： A6.若數(shù)列n的通項(xiàng)公式是n( 1)n，則1 a2 a10( A

10、) a a(3n2)aA15B.12C 12D.15解析 A設(shè) bn3n 2，則數(shù)列 bn 是以 1 為首項(xiàng)， 3 為公差的等差數(shù)列，所以a1a2 a9 a10 ( b1) b2( b9) b10 (b2 b1) (b4 b3) (b10 b9) 5× 3 15.7一個有 2001 項(xiàng)且各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為解： 設(shè)此數(shù)列 an, 其中間項(xiàng)為 a1001,則 S 奇 =a1+a3 +a5+ +a2001=1001 ·a1001,S 偶 =a2+a4+a6+ +a2000=1000a1001.答案 : 100110008若 12+22+ +(n-1

11、)2=an3+bn2+cn，則 a=,b=,c=.解： 原式 = ( n 1)n(2n1) 2n33n 2n .答案： 1; 1;166326n1 1，公差 d 0，且其第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別9已知等差數(shù)列 a 的首項(xiàng) a求數(shù)列n與n的通項(xiàng)公式；是等比數(shù)列 bn 的第二、三、四項(xiàng)(1) a b (2)設(shè)數(shù)列 cn 對任意自然數(shù) n 均有 c1c2c3cnan 1 成立b1b2b3bn求 c1c2c3 c2014 的值解： (1)由題意得 (a1d)( a1 13d)(a1 4d)2(d 0)n 1解得 d2， an 2n 1，可得 bn 3(2)當(dāng) n 1 時， c1 3；當(dāng) n2 時，

12、由 cnan 1an ，得 cn 2· 3n 1，bn3(n1),故 c1c2c3 c2014 3 2× 3 2× 32 2× 32002 32015故 cn1 (n2 3n2).5 / 710.設(shè)數(shù)列 an 為等差數(shù)列， Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，已知 S77，S15 75，Tn 為數(shù)列Sn的前 n項(xiàng)和，求 Tn .n解析 設(shè)等差數(shù)列 an1，公差為 d，則 Sn na1 17 7， S15 75，的首項(xiàng)為a2n(n 1)d.S7a1 21d 7，a13d 1，1 2，Sn11a15a1 105d 75，即a17d 5，解 得n a1 2 (n 1)d 2 2 (n d 1.1)Sn1n數(shù)列Sn是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列29n.S1，Tn 1nn 1n2n244已知數(shù)列n的首項(xiàng)12，an 1 2an11. a a3an1(1)證明：數(shù)列11是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列n的前 n 項(xiàng)和 Sn.a nan解析(1) an12an，1an 11 1，111 112， 2 an，又 a1an 1an 12an2 2anan 13111 1 1 1 0， 1 1 0， an1 1，數(shù)列1是以 1為首項(xiàng)， 1為公比的等比數(shù)a12an12an22an 11n1n11nn12 3n 11 11即(2) 由 (