實用文庫匯編之平面幾何五種模型

1、*實用文庫匯編之平面幾何五種模型等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊1、等積模型等底等高的2個三角形面積相等2個三角形高相等，回積比二底之比2個三角形底相等，面積比二高之比夾在一組平行線之間的等積變形（方方模型）等積模型是基本應(yīng)用應(yīng)是爛熟于心的都是利用面積公式得到的推定比例如下：1等底等高的2個平行四邊形面積相等 2三角形面積等于它等底等高的平行四邊形面 積的一半32個平行四邊形高相等，面積比二底之比；2個平行四邊形底相等，面積比2、鳥頭模型（共角定理）鳥頭走理：2個三角形中，有一個角相等或互補，這2個三角形叫 做共角三角形。共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補小X小角）兩夾邊的乘積之比（夾角

2、2邊6 ）烏頭定理的使用要火眼金睛，經(jīng)常需要自己補一條輔助線同時經(jīng)過2次以上轉(zhuǎn)換對應(yīng)才能得到結(jié)果。“u如圖，淺紫色的三角形 ADE跟大三角形ABC是公用A角的，等于淺紫色三角形是"嵌入"在大三角形ABC里面，注意，鳥頭 定理用的 是乘積比！不是單獨的線段比 ADX AE記憶上用夾角2邊大殳天 最好記，這里等于 AB X AC鳥頭定理的證明，寫出來是因為很多題目的解題過程,都需要補這么一條輔 助線來過度連接2個看起來無關(guān)的圖形證明的途徑其實跟我們口常解題途徑重合，所以寫出來，仔細看。B經(jīng)由媒介的AABE ,聯(lián)系了 AADE和大三角形 AABCBE輔助線很重要！鳥頭定理是用等高

3、（等于是用等積推算而得） 第二種的證明方式將對頂角壓回來 ZXABC內(nèi)，對頂角性質(zhì)是相等 的，所 以壓回來的新跟 AADE是全等，再做一條輔助線就能用共 角的方式證 明出對角的鳥頭定理z>互補角的鳥頭定理證明DBSZkADE=SAAD'E.因為同底等高ADMD：高相等，所以面積相等寫了這幾個證明，其實,特別重說的目的只有一個：連接小三角形和大三角形過度的那條輔助線 要!3蝴蝶模型任意四邊形中的比例關(guān)系("蝴蝶定理")任蝴蝶芹上/正歹''右上蕊、除/r ! 7 / / S=B 匕4c右下 S: S? = S4 :$ 或者 S x S3 = S?

4、xS4AO:OC = (Si +52)：(54+S3)S1左上 S4右上S1.左上+ S4虧上=上面枳上線【上下比】S2左下=S3右下S2左下+ S3右下二下面積=下線S1左上S2左下S1左上十S2左下二左面積二線上上比S4右上S3右下=S4右上+ S3右下=右面積右線由上述比例可以按數(shù)學運算原則推出很多規(guī)則：如S1左上 S4右上面積乂叉相乘的乘積相等 S2左下：=S3右下=SXSs梯形蝴蝶定理(梯蝴蝶)Sg":上：下*2 “2 S ： S. : S 2：S4=a2 :b 2 : ab: ab f 上：下：左：右=CC : b 2 : ab: abs的對應(yīng)份數(shù)為 (”+>a2+

5、2ab+b 2=a2+b2+ab+ab有木有f4相似三角形形狀相同，大小不同的三角形，只要形狀不變，無論大小怎么改 變們都相似。1相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且二它們的相似比2相似三角形的面積比二 相似比的平方3連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線就是:多三角形中位線走理：三角形的中位線長二它所對應(yīng)的底邊長的一半三角形任2邊中點連出來的中位線就是第三邊長的一半！出題幾率 產(chǎn)生于2條平行線造成的相似三角形沙漏模型金字塔模型AD AE DE afAB=AC- BC = agSAADE SAABC=AF2 AG八特別注意！相似三角形的面積比是等于相似比的平方5共邊走理燕尾模型、風箏

6、模型、塞瓦走理共邊走理說明如圖一想知道 APAB禾0AQAB的面積比？我們就如圖二做個高,因為同底（就是共用一個邊）所以面積比二高之比”再想辦法偷懶”延長PQ、AB的線相交于M ,那么剛學的相似三角形可以派上用場，因為 APDM- AQEM 如圖三PPD PM 所以亍二-八一共邊走理：若直線AB和PQ相交于點M （ 4種情況）則有PAB PM QAB = qm圖一p最常應(yīng)用到的其實是圖一,無論在三角形或四邊形上我們喜歡用共 邊2 方的不同三角形面積比來比出線段比。（圖形不重疊） 圖二的比例圖形 有重疊，所以線段長度也是重疊比 圖三就是燕尾走理圖形不重疊 ， 所以線段比不重疊。線段圖四是四邊形，做比的三角形有重疊，而比值是四邊形的頂：延長QM （切記，唯一對比線段不在圖形內(nèi)的哈）共邊定理的證明PAB PM QAB = qm1, M點是PQ和AB延長后的交點2,取N,使得M N長度二ABs PAB -s PNM3、S qAB =?=S QNMAPNM和zQNM是等圖,塞瓦定理（燕尾定理模型補充） 三邊比例互乘為1在MBC內(nèi)任取一點O，直線AO、BO、CO分別交對邊于 E、F、D ,則得出BE CF AD無 x