第1節(jié)函數(shù)的概念及其表示法

1、第二章 DIERZHANG第1節(jié)函數(shù)的概念及其表示法考試要求1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域；2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解 函數(shù)圖象的作用；3.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用 .知識梳理1 .函數(shù)的定義設(shè)A, B是兩個非空數(shù)集,如果按某種對應(yīng)法則 f,使對于集合A中的每一個元 素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從 A到B的 一個函數(shù)，記為y= f(x), x A.2 .函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)v= f(x), x A中，x叫做自變量，所有的輸入值 x組成的集合

2、A叫做函 數(shù)y=f(x)的定義域;對于A中的每一個x,都有一個輸出值y與之對應(yīng).我們將所 有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域.(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)法則和值域.(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.3 .分段函數(shù)在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式，像這樣的函數(shù)，通常叫做分 段函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集值域等于各段函數(shù)的值 域的并集,分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).常用結(jié)論與微點提醒1 .直線x= a(a是常數(shù))與函數(shù)v= f(x)的圖象有0個或1個交點.2 .判斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完

3、全一致.3 .注意以下幾個特殊函數(shù)的定義域分式型函數(shù)，分母不為零的實數(shù)集合.偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實數(shù)集合.(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合.(4)若f(x) = x,則定義域為xX*0.診斷自測思考辨析:1 .判斷下列結(jié)論的正誤.(在括號內(nèi)打或X”)(1)函數(shù)y= 1與y=x0是同一個函數(shù).()(2)對于函數(shù)f: A-B,其值域是集合B.()(3)f(x) = qx。+ 2。是一個函數(shù).()(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等.()解析 錯誤.函數(shù)v= 1的定義域為R,而y=x的定義域為x|xw0,其定義域 不同，故不是同

4、一函數(shù).(2)錯誤.值域C?B,不一定有C = B.錯誤.f(x)=4三 十 產(chǎn);中x不存在.(4)錯誤.若兩個函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系均相同時，才是相等函數(shù) .答案 (1)X (2)X (3)x (4)X教材近化&2 .(教材必修1練習(xí)P35T4改編)若函數(shù)y= f(x)的定義域為M = x|-2x2,值 域為N = y|0&y 2,則函數(shù)y= f(x)的圖象可能是()解析 A中函數(shù)定義域不是 2, 2; C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是 0, 2.答案 B3 .(新教材必修第一冊P66例3改編)下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x+ 1是相等函數(shù)的 是()A.y= OJXTI)2B.y=W+ 1C.

5、y=+1D.y= 1,與函數(shù)y=x+ 1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于 B,定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，是相等函數(shù)；對x2于C,函數(shù)y=l+ 1的定義域為xkw0,與函數(shù)y= x+ 1的定義域xC R不同, x不是相等函數(shù)；對于D,定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)答案 Bx2-2x, x0,4 .(2020南京一中模擬)已知函數(shù)f(x)=x 八 則f(f(1) = ()2人，x 0,2x- 2金0,解得 00,解析(1)要使函數(shù)有意義，x需滿足x+ 10,解得1x0或0vxW3,x+ 1 W 1,所以函數(shù)的定義域為(1, 0)U(0, 3.(2)因為f(x)的定義域為0, 2,01x2

6、所以要使g(x)有意義，x滿足2解得0&x& 3.08-2x,；g(x)的定義域為0, 3.答案(1)B (2)A規(guī)律方法1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應(yīng)使實際問題有 意義.2.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為a, b,則復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域可由不等式 ag(x)0且1 XW 1 ,解得X0, tan x10,且xwk：t冗+ 2(kC Z). 1 x 1 JL4+k tt x1),則 x=r2-, xt 1f(t)=ig727，即

7、f(x) = ig727(x1). t Ix I設(shè) f(x) = ax2 + bx+ c(a * 0),由 f(0) = 2,得 c= 2,f(x+ 1) f(x) = a(x+ 1)2+b(x+ 1)+2-ax2- bx2 = 2ax+ a+b = x 1,1所以2a=1,a+ b= 1,a = 2，1 2 3b= - 2.3f(x) = 2x2_2x+2.在f(x)=2f 11中,、1 1” .、將x換成一，則一換成x, x x得fX=2f（x）、/11，1f（X）=2fx vx- 1,21由解得 f（x） = rJx + -.1133眩=才（x）-21 o 321答案（1）lgxZ71（

8、x1） （2）x -2x+ 2 （3）3/x + 3規(guī)律方法求函數(shù)解析式的常用方法待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法.換元法：已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值 范圍.(3)構(gòu)造法：已知關(guān)于f(x)與f 1或f( x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另 x外一個等式，通過解方程組求出f(x).【訓(xùn)練2】(1)已知y= f(x)是二次函數(shù)，若方程f(x) = 0有兩個相等實根，且f x)= 2x+ 2,則 f(x) =.若 f(x)滿足 2f(x) + f(-x) = 3x,則 f(x) =.解析(1)設(shè) f(x)= ax2+bx+ c(a*0),貝U f

9、x) = 2ax+ b, .2ax+ b=2x+2,貝U a=1, b=2.所以f(x) = x2+2x+c=0,且有兩個相等實根.a 44c=0,則 c= 1.故 f(x) = x2+2x+1.(2)因為 2f(x)+f(x) = 3x,所以將x用一x替換，得2f(-x)+f(x)=-3x,由解得f(x) = 3x.答案(1)x2+ 2x+1 (2)3x考點三分段函數(shù)一多維探究角度1分段函數(shù)求值【例3-11 (2018江蘇卷)函數(shù)f(x)滿足f(x + 4) = f(x)(xC R),且在區(qū)間(一2, 2九xcos -2, 0x 2,上，f(x)=則用(15)的值為1x+ 2 , - 2x

10、0,解析 因為函數(shù)f(x)滿足f(x+ 4) = f(x)(xC R),所以函數(shù)f(x)的最小正周期是4.因x cos 2，為在區(qū)間(2, 2上，f(x)= 彳1 x+ 2 ,0x2,-2x 1 ,f(x)=1則不等式；,x1 ,1-xf(x)0,若f(a)+f(1) = 0,則實數(shù)a的值為 x+ 1, x1 時，不等式 f(x)&1 為 log2x&1, 1 WxW 2;, 一 ,1當(dāng)x0 時，f(a) = 2a0,此時，f(a)w2.綜上可知a = 3.答案(1)D (2)-3規(guī)律方法 1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)問，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.2.已知函

11、數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時,應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值 范圍.提醒 當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應(yīng)分類討論.【訓(xùn)練3】(1)(角度1)(2020揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=log3 (x+m) 1, x 0,1 的圖象經(jīng)過點(3, 0),則f(f(2) = ()2 020，x 1, (2)(多填題)(角度2)(2019前黃中學(xué)、姜堰中學(xué)聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)= dd則1 x, x1,則實數(shù)m的取值范圍是.(角度2)已知函數(shù)f(x) =(12a) x+ 3a, x1的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是.解析(1)因為

12、函數(shù)f(x)的圖象過點(3, 0),所以log3(3+ m)1 = 0,解得m= 0.1所以 f(2) = log321 1, (2)f(f(0) = f(1) = ln 1 = 0.如圖所示，可得f(x)=的圖象與直線y=11 x, x1,則實數(shù)m的取值范圍是(一8, 0) u (e,+ OO)(3)當(dāng) x1 時，f(x) = 2x 11,函數(shù) f(x) =(1 2a) x+3a,2x 1, x 1x0,1-2a+3a 1,當(dāng)x1時，(12a)x+ 3a必須取遍(8, 1)內(nèi)的所有實數(shù)，則-1解得0&a0時，每一個x對應(yīng)2個y,圖象中X0對應(yīng)2 個y,所以均不是函數(shù)圖象；圖象 是函數(shù)圖象.答

13、案 Bx2 1（X2）,2 .（2020北京四中月考）設(shè)函數(shù)f（x）=若f（m）=3,則實數(shù)m的log2x （0x2）,值為（）A.2B.8C.1D.2解析 當(dāng)m2時，m21 = 3,解得m=2或m= 2（舍）；當(dāng)0m2時，log2m =3,解得m= 8（舍）.綜上，m=2.答案 D3 .如圖是張大爺晨練時離家距離（y）與行走時間（x）之間的函數(shù)關(guān) 系的圖象.若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的 路線可能是（）解析 由y與x的關(guān)系知，在中間時間段y值不變，只有D符合題意.答案 D3x, x0, c-/八 1r 1A.9B. 1C. 3D. 27110g231解析 f(1og23)=

14、2= 210g23 1 = 30,ff(1og23)=f 1 =3X 1= 1. 33答案 B5.(2020漂陽中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x+ 1)的定義域為(一2, 0),則f(2x 1)的定義 域為()A.(-1, 0)B.(-2, 0)1八C.(0, 1)D. 2, 0解析 由題意，知一1x+ 11,則f(x)的定義域為(一1, 1).令一12x11,得 0x1.；f(2x 1)的定義域為(0, 1).答案 C6.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每 10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除 以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù) x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y =

15、x(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()xx 3A.y= ioB.y= To-x 4x 5C.y= To-D.y= To解析 代表人數(shù)與該班人數(shù)的關(guān)系是除以10的余數(shù)大于6,即大于等于7時要增加一名，故y=x+ 3而答案 B7.(2020西安才測)已知函數(shù)f(x)=.x+ 1, 1x0.若實數(shù)a滿足f(a) = f(a1),則f1=()aA.2B.4C.6D.8解析 由f(x)的定義域，知a0.當(dāng) 0a1 時，由 f(a) = f(a1),得 2a=2(a1),不成立.綜上可知，fl =8.a答案 Dx2+x, x0,8 .已知函數(shù)f(x)= 八 八 若af(a)-f(-a)0,則實數(shù)a的

16、取值范圍為 3x, x0 時，不等式 af(a)-f(-a)0 等價于 a22a0,解得 a2.當(dāng) a0 等價于一a22a0,解得 a0,x則 c?xw 0,1-x20x0, x? 0x1.1x1 .f(x)的定義域為(0, 1.答案(0, 12x-5, x2解析 當(dāng)x0 2時，f(x) = 2x5單調(diào)遞增，則一52 時，sin x -1, 1, . .f(x) = 3sin x 3, 3.故f(x)的值域是(一5, 3.答案 (一5, 3， 11111.(多填題)已知函數(shù) f(x)滿足 fx +xf( x) = 2x(xw0),則 f( 2) =, f 2L 2x+ 32x+1 + 22牛析

17、 f(x) 2、+ 1=2*+i =1+ 2、+ 1 ii1.,2x0,1 + 2x1, 02工1 1,-221一貝U022, 11 + 23,即 1f(x)3.當(dāng) 1f(x)2 時，f(x) = 1,當(dāng) 2&f(x)3 時，f(x)=2.綜上，函數(shù)y=f(x)的值域為1 , 2.答案 Dx+ % x 1若對任意的aCR都有ff(a)=2f成立，則入的取值范圍是()A.(0, 2B.0, 2C.2, +oo)D.( 00, 2)解析 當(dāng) a1 時，2a2.；ff(a) = f(2a) = 22a=2f(a)：m a1,即 Xa+1 恒成立，由題意X(a+ 1)max,冷2,綜上，入的取值范圍是

18、2, +oo).答案 C15.(2020安徽江南十校聯(lián)考)若必+ 3己 =x+ 3 2log2x又t x C (0,十)何成立, x x且存在x0 2, 4,使得f(x0)m成立，則m的取值范圍為.解析 f(x) + 3f 1 =x+32log2x, x x以1 代替 x得 f1 +3f(x)=1+ 3x+ 210g2x, xxx1，I聯(lián)立消去f- 得f(x)=x+ log2x, x則 xC2, 4時,f(x) = x+log2x是增函數(shù), . f(x)max=f(4) = 6,因此 m 1, f(x)的最16.(多填題)已知函數(shù)f(x)=x則f(f( 3) =lg (x2+1) , x1時，

19、f(x) = x+ 2-32/2-3,當(dāng)且僅當(dāng)x=42時，取等號，止匕時f(x)min x=2啦30;1=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取等號，此時f(x)min =當(dāng) x1 時，f(x) = lg(x2+1)lg 0.f(x)的最小值為22-3.答案 0 2.23C級創(chuàng)新猜想17.(組合選擇題)具有性質(zhì):1 fx=f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù).下列函數(shù):1 1 x丫二x一x；丫: In 1；y=x, 0x1.x其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是A.B.D.解析，一1對于，f(x) = x xfx1= 1 x=x-f(x),滿足題意；對于，f(x)= ln 1-x, 1 I x-x, 11,x ，14x 1一=ln xnf(x),不酒足;,1對于，f1 =011 , x0 , X= 1 ,-x, 0x0)存在3級“理想?yún)^(qū)間”一冗 九