第8章 代數(shù)方程與差分方程模型

1、6.1 投入產(chǎn)出模型投入產(chǎn)出模型6.2 CT技術(shù)的圖像重建技術(shù)的圖像重建6.3 原子彈爆炸的能量估計(jì)原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析與量綱分析6.4 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型第六章第六章 代數(shù)方程與差分方程模型代數(shù)方程與差分方程模型 國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)之間存在著國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)之間存在著相互依存和制約相互依存和制約關(guān)系，關(guān)系，每個(gè)部門(mén)將其他部門(mén)的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過(guò)加工（每個(gè)部門(mén)將其他部門(mén)的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過(guò)加工（投入投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出產(chǎn)出）. 根據(jù)各部門(mén)間根據(jù)各部門(mén)間投入和產(chǎn)出的平衡投入和產(chǎn)出的平衡關(guān)系，確定各部關(guān)系，確定各部門(mén)的產(chǎn)出水平以滿足社會(huì)的需求門(mén)的產(chǎn)出

2、水平以滿足社會(huì)的需求 . 20世紀(jì)世紀(jì)30年代由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂節(jié)夫提出和研究年代由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂節(jié)夫提出和研究. 從靜態(tài)擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)，與數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析方法日益融合，從靜態(tài)擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)，與數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析方法日益融合，應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大 .6.1 投入產(chǎn)出模型投入產(chǎn)出模型背景背景建立靜態(tài)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，討論具體應(yīng)用建立靜態(tài)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，討論具體應(yīng)用. 投入產(chǎn)出表投入產(chǎn)出表 國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)間生產(chǎn)和消耗、投入和產(chǎn)出的數(shù)量關(guān)系國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)間生產(chǎn)和消耗、投入和產(chǎn)出的數(shù)量關(guān)系 產(chǎn)出產(chǎn)出投入投入農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)工業(yè)工業(yè)建筑建筑業(yè)業(yè)運(yùn)輸運(yùn)輸郵電郵電批零批零餐飲餐飲其他其他服務(wù)服務(wù)外部外部需求需求總產(chǎn)出

3、總產(chǎn)出農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)464788229131271312842918工業(yè)工業(yè)499860514444035571223408316814建筑業(yè)建筑業(yè)593202312426912875運(yùn)輸郵電運(yùn)輸郵電62527128163671464771570批零餐飲批零餐飲79749140431302739272341其他服務(wù)其他服務(wù)146128527222521954227255414初始投入初始投入1663485165970312183093總投入總投入2918168142875157023415414中國(guó)中國(guó)2002年投入產(chǎn)出表（產(chǎn)值單位：億元）年投入產(chǎn)出表（產(chǎn)值單位：億元） 直接消耗系數(shù)表直接消耗系數(shù)表

4、 產(chǎn)出產(chǎn)出投入投入農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)工業(yè)工業(yè)建筑業(yè)建筑業(yè)運(yùn)輸郵電運(yùn)輸郵電批零餐飲批零餐飲其他服務(wù)其他服務(wù)農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)0.1590.0470.0800.0080.0540.002工業(yè)工業(yè)0.1710.5120.5020.2570.2380.226建筑業(yè)建筑業(yè)0.0020.0010.0010.0130.0100.023運(yùn)輸郵電運(yùn)輸郵電0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐飲批零餐飲0.0270.0450.0490.0270.0560.050其他服務(wù)其他服務(wù)0.0500.0760.0950.1430.0940.100一個(gè)部門(mén)的單位產(chǎn)出對(duì)各個(gè)部門(mén)的直接消耗一個(gè)部門(mén)的單位產(chǎn)出對(duì)各個(gè)部門(mén)的直

5、接消耗 中國(guó)中國(guó)2002年直接消耗系數(shù)表年直接消耗系數(shù)表 由投入產(chǎn)出表直接得到由投入產(chǎn)出表直接得到 農(nóng)業(yè)每農(nóng)業(yè)每1億元產(chǎn)出直接消耗億元產(chǎn)出直接消耗0.159億元農(nóng)業(yè)產(chǎn)品億元農(nóng)業(yè)產(chǎn)品 直接消耗直接消耗0.171億元工業(yè)產(chǎn)品億元工業(yè)產(chǎn)品 反映國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)之間的投入產(chǎn)出關(guān)系反映國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)之間的投入產(chǎn)出關(guān)系投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型 xi第第i部門(mén)的總產(chǎn)出部門(mén)的總產(chǎn)出di對(duì)第對(duì)第i部門(mén)的部門(mén)的外部需求外部需求xij第第i部門(mén)對(duì)第部門(mén)對(duì)第j部門(mén)的投入部門(mén)的投入aij直接消耗系數(shù)直接消耗系數(shù)第第j部門(mén)部門(mén)單位產(chǎn)出單位產(chǎn)出對(duì)對(duì)第第i部門(mén)的直接消耗部門(mén)的直接消耗 xij第第j部門(mén)總產(chǎn)出對(duì)第

6、部門(mén)總產(chǎn)出對(duì)第i部門(mén)的直接消耗部門(mén)的直接消耗每個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出等于總投入每個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出等于總投入 xj第第j部門(mén)的總投入部門(mén)的總投入 injijidxx1jijijxxa/ijnjijidxax1設(shè)共有設(shè)共有n個(gè)個(gè)部門(mén)部門(mén)nnijaA)(T1( ,)nxxxT1(,)nddddAxx技術(shù)水平?jīng)]有明顯提高技術(shù)水平?jīng)]有明顯提高模型應(yīng)用模型應(yīng)用 假設(shè)直接消耗系數(shù)不變假設(shè)直接消耗系數(shù)不變 問(wèn)題問(wèn)題1 如果某年對(duì)農(nóng)業(yè)、工業(yè)、建筑業(yè)、運(yùn)輸郵如果某年對(duì)農(nóng)業(yè)、工業(yè)、建筑業(yè)、運(yùn)輸郵電、批零餐飲和其他服務(wù)的外部需求分別為電、批零餐飲和其他服務(wù)的外部需求分別為1500, 4200, 3000, 500, 950,

7、3000億元億元, 問(wèn)這問(wèn)這6個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？出分別應(yīng)為多少？d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T A由直接消耗系數(shù)表給出由直接消耗系數(shù)表給出6個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（億元）（億元）.dAxx(),IA xddAIx1)(求解求解模型應(yīng)用模型應(yīng)用 dAxx(),IA xddAIx1)(dAIx1)(總產(chǎn)出對(duì)外部需求線性總產(chǎn)出對(duì)外部需求線性dd增加增加1個(gè)單位個(gè)單位 x的增量的增量若農(nóng)業(yè)的外部需求增加若農(nóng)業(yè)的外部需求增加1單位單位 Td)0 , 0

8、, 0 , 0 , 0 , 1 (1)( AIx為為 的第的第1列列 6個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出分別增加個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出分別增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325單位單位. 問(wèn)題問(wèn)題2 如果如果6個(gè)部門(mén)的外部需求分別增加個(gè)部門(mén)的外部需求分別增加1個(gè)單位個(gè)單位, 問(wèn)它們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？問(wèn)它們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？求解求解其余外部需求增加其余外部需求增加1單位單位 1)( AIx為為 的其余各列的其余各列 6.2 CT技術(shù)的圖像重建技術(shù)的圖像重建 CT(計(jì)算機(jī)斷層成像計(jì)算機(jī)斷層成像 )技術(shù)是技術(shù)是20世紀(jì)世紀(jì)50至至70年代由年代由美國(guó)科學(xué)家科馬克和英

9、國(guó)科學(xué)家豪斯費(fèi)爾德發(fā)明的美國(guó)科學(xué)家科馬克和英國(guó)科學(xué)家豪斯費(fèi)爾德發(fā)明的. 1971年第一代供臨床應(yīng)用的年第一代供臨床應(yīng)用的CT設(shè)備問(wèn)世設(shè)備問(wèn)世. 螺旋式螺旋式CT機(jī)等新型設(shè)備被醫(yī)療機(jī)構(gòu)普遍采用機(jī)等新型設(shè)備被醫(yī)療機(jī)構(gòu)普遍采用. CT技術(shù)在工業(yè)無(wú)損探測(cè)、資源勘探、生態(tài)監(jiān)測(cè)技術(shù)在工業(yè)無(wú)損探測(cè)、資源勘探、生態(tài)監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用等領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用. 背景背景什么是什么是CT，它與傳統(tǒng)的，它與傳統(tǒng)的X射線成像有什么區(qū)別？射線成像有什么區(qū)別？ 光源光源人眼人眼光源光源人眼人眼一個(gè)半透明物體嵌入一個(gè)半透明物體嵌入5個(gè)不同透明度的球個(gè)不同透明度的球 概念圖示概念圖示 單方向觀察無(wú)法確定單方向觀察無(wú)

10、法確定球的數(shù)目和透明度球的數(shù)目和透明度 讓物體旋轉(zhuǎn)從多角度觀察能讓物體旋轉(zhuǎn)從多角度觀察能分辨出分辨出5個(gè)球及各自的透明度個(gè)球及各自的透明度 人體內(nèi)臟人體內(nèi)臟膠膠片片 傳統(tǒng)的傳統(tǒng)的X射線成像原理射線成像原理 CT技術(shù)原理技術(shù)原理 探探測(cè)測(cè)器器 X射射線線X光光管管人體內(nèi)臟人體內(nèi)臟CT技術(shù)技術(shù): 在在不同深度不同深度的斷面上的斷面上,從從各個(gè)角度各個(gè)角度用探測(cè)器用探測(cè)器接接收旋轉(zhuǎn)的收旋轉(zhuǎn)的X光管發(fā)出、穿過(guò)人體而使光管發(fā)出、穿過(guò)人體而使強(qiáng)度衰減的射線強(qiáng)度衰減的射線;經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)測(cè)量和計(jì)算測(cè)量和計(jì)算將人體器官和組織的將人體器官和組織的影像影像重新重新構(gòu)建構(gòu)建. 圖像圖像重建重建 X射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的

11、數(shù)學(xué)原理射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理 射線強(qiáng)度的衰減射線強(qiáng)度的衰減率與強(qiáng)度成正比率與強(qiáng)度成正比. I射線強(qiáng)度射線強(qiáng)度 l物質(zhì)在射線方向的厚度物質(zhì)在射線方向的厚度 物質(zhì)對(duì)射線的衰減系數(shù)物質(zhì)對(duì)射線的衰減系數(shù) ddIIl I0入射強(qiáng)度入射強(qiáng)度 射線沿直線射線沿直線L穿行穿行, 穿過(guò)由穿過(guò)由不同衰減系數(shù)的物質(zhì)組成的不同衰減系數(shù)的物質(zhì)組成的非均勻物體非均勻物體(人體器官人體器官).0elII0( , )dlnLIx ylI0exp( , )d )LIIx ylI0LOyx(x, y)( ,)dLlx ylX射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理 0( , )dlnLIx y

12、lI右端數(shù)值可從右端數(shù)值可從CT 的測(cè)量數(shù)據(jù)得到的測(cè)量數(shù)據(jù)得到 多條直線多條直線L的線積分的線積分 ( , )dLx yl被積函數(shù)被積函數(shù)(x, y) ( )( , )dfLP Lf x ylFQ(q)與與Q相距相距q的直線的直線L的線積分的線積分Pf(L)對(duì)所有對(duì)所有q的平均值的平均值 拉東變換拉東變換 0d( )1( )QFqf Qq 拉東逆變換拉東逆變換 圖像圖像重建重建反映人體器官大小、形狀、密度的圖像反映人體器官大小、形狀、密度的圖像 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)原理原理實(shí)際上只能在有限條直線上得到投影實(shí)際上只能在有限條直線上得到投影(線積分線積分). 圖像重建在數(shù)學(xué)方法上的進(jìn)展，為圖像重建在數(shù)學(xué)方法上

13、的進(jìn)展，為CT技術(shù)在各個(gè)技術(shù)在各個(gè)領(lǐng)域成功的和不斷拓廣的應(yīng)用提供了必要條件領(lǐng)域成功的和不斷拓廣的應(yīng)用提供了必要條件. 圖像重建的代數(shù)模型圖像重建的代數(shù)模型 lj每個(gè)像素對(duì)射線的衰減系數(shù)是常數(shù)每個(gè)像素對(duì)射線的衰減系數(shù)是常數(shù) m個(gè)像素個(gè)像素(j=1, m), n束射線束射線(i=1,n) iII)/ln(0Li的強(qiáng)度測(cè)量的強(qiáng)度測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) j像素像素j的衰減系數(shù)的衰減系數(shù) lj射線在像素射線在像素j中的穿行長(zhǎng)度中的穿行長(zhǎng)度 J(Li)射線射線Li穿過(guò)的像素穿過(guò)的像素j的集合的集合 LIIdlyx0ln),(像素像素j 射線射線LiniIIliLJjjji, 2 , 1,)/ln(0)(jLilij

14、圖像重建的代數(shù)模型圖像重建的代數(shù)模型 常用算法常用算法 設(shè)像素的邊長(zhǎng)和射線的寬度均為設(shè)像素的邊長(zhǎng)和射線的寬度均為 ,)/ln(0iibIIjjx中心線法中心線法 aij射線射線Li的中心線在像素的中心線在像素j內(nèi)的內(nèi)的長(zhǎng)度長(zhǎng)度lij與與之比之比.iLJjjjIIli)/ln(0)(bAx 面積法面積法 aij射線射線Li的中心線在像素的中心線在像素j內(nèi)的面積內(nèi)的面積sij與與之比之比.sijnibxamjijij, 2 , 1,1中心法中心法 aij=1射線射線Li經(jīng)過(guò)像素經(jīng)過(guò)像素j的中心點(diǎn)的中心點(diǎn).圖像重建的代數(shù)模型圖像重建的代數(shù)模型 中心法的簡(jiǎn)化形式中心法的簡(jiǎn)化形式 假定射線的寬度為零假定

15、射線的寬度為零, 間距間距 aij=1 Li經(jīng)過(guò)像素經(jīng)過(guò)像素j內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)987654321L4L8L7L6L5L3L2L1100100000010110100001011010000000001011000000110011001100110011000000100AbAx 根據(jù)根據(jù)A和和b, 由由 確定像素的衰減系數(shù)向量確定像素的衰減系數(shù)向量x m和和n很大且很大且m n, 方程有無(wú)窮多解方程有無(wú)窮多解 + 測(cè)量誤差和噪聲測(cè)量誤差和噪聲 在在x和和e滿足的滿足的最優(yōu)準(zhǔn)則下估計(jì)最優(yōu)準(zhǔn)則下估計(jì)x 代數(shù)重建技術(shù)代數(shù)重建技術(shù)(ART)beAx6.3 原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析原子彈爆炸的能

16、量估計(jì)與量綱分析1945年年7月月16日美國(guó)科學(xué)家在新墨西哥州的阿拉日美國(guó)科學(xué)家在新墨西哥州的阿拉莫戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈莫戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈, 震驚世界震驚世界!當(dāng)時(shí)資料是保密的當(dāng)時(shí)資料是保密的, 無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)爆炸的威力無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)爆炸的威力.英國(guó)物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國(guó)公開(kāi)的錄像帶英國(guó)物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國(guó)公開(kāi)的錄像帶, 利用利用數(shù)學(xué)模型估計(jì)數(shù)學(xué)模型估計(jì)這次爆炸釋放的能量為這次爆炸釋放的能量為19.2103t. 后來(lái)公布爆炸實(shí)際釋后來(lái)公布爆炸實(shí)際釋放的能量為放的能量為21103t t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms

17、)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒測(cè)量：泰勒測(cè)量： 時(shí)刻時(shí)刻t 所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的“蘑菇云蘑菇云”的的半半徑徑r原子彈爆炸的能量估計(jì)原子彈爆炸的能量估計(jì)爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點(diǎn)為中心呈球面向四周傳播爆炸產(chǎn)生的沖擊

18、波以爆炸點(diǎn)為中心呈球面向四周傳播,爆炸的能量越大，在一定時(shí)刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn)爆炸的能量越大，在一定時(shí)刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn). 沖擊波由爆炸形成的沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云蘑菇云”反映出來(lái)反映出來(lái). 泰勒用泰勒用量綱分析方法量綱分析方法建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型, 輔以小型試驗(yàn)輔以小型試驗(yàn),又利用測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)爆炸的能量進(jìn)行估計(jì)又利用測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)爆炸的能量進(jìn)行估計(jì).物物理理量量的的量量綱綱長(zhǎng)度長(zhǎng)度 l 的量綱記的量綱記 L=l質(zhì)量質(zhì)量 m的量綱記的量綱記 M=m時(shí)間時(shí)間 t 的量綱記的量綱記 T=t動(dòng)力學(xué)中動(dòng)力學(xué)中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量綱221

19、rmmkf 加速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱的量綱 k對(duì)無(wú)量綱量對(duì)無(wú)量綱量 ， =1(=L0M0T0)量綱齊次原則量綱齊次原則=fl2m-2=L3M-1T-2在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則,確定各物理量之間的關(guān)系確定各物理量之間的關(guān)系. 量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量綱一致量綱分析量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng))1 (321glmt 321glmt lmgm

20、求擺動(dòng)周期求擺動(dòng)周期 t 的表達(dá)式的表達(dá)式設(shè)物理量設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式之間有關(guān)系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達(dá)式的量綱表達(dá)式2ltg 與與 對(duì)比對(duì)比33212TLMT12003321對(duì)對(duì) x,y,z的兩組測(cè)量值的兩組測(cè)量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp為什么假設(shè)這種形式為什么假設(shè)這種形式?設(shè)設(shè)p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyax

21、fzyxfzyxfx,y,z的量綱單的量綱單位縮小位縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp量綱齊量綱齊次原則次原則321glmt 單擺運(yùn)動(dòng)單擺運(yùn)動(dòng)0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運(yùn)動(dòng)中單擺運(yùn)動(dòng)中 t, m, l, g 的一般表達(dá)式的一般表達(dá)式0),(glmtf020041243yyyyy21t l g )/(glt3124yyyyt m l

22、 g y1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量( )0F T(2,0, 1,1)T1234( ,)yy y y y基本解基本解設(shè)設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià), F未定未定. 定理定理 (Buckingham)是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，X1,X2, ,Xn 是是基本量綱基本量綱, n m, q1, q2, ,qm 的量綱可表為的量綱可

23、表為,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作RankAr若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個(gè)基本解，記作個(gè)基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量, 且且則則記爆炸能量為記爆炸能量為E，將，將“蘑菇云蘑菇云”近似看成一個(gè)球近似看成一個(gè)球形形.時(shí)刻時(shí)刻 t 球的半徑為球的半徑為 rt, E空氣密度空氣密度, 大氣壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng)P基本量綱：基本量綱：L, M, T 21322; ;MTLPMLMTLETtLr),(PEtr原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模 r與哪些因素有關(guān)？與哪些因素有關(guān)？ r t E P

24、 20210111001320153ALMT量綱矩陣量綱矩陣 0),(PEtrfy=(1,-2/5,-1/5,1/5,0) y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模 Rank3A 5/125/15/15/21EtrErt5/132565/35/25/62EPtPEt0),(21F5/132565/12EPtEtrT123450,( , , , , )Ayyy y y y y有有2個(gè)基本解個(gè)基本解5/132565/12EPtEtr兩個(gè)無(wú)兩個(gè)無(wú)量綱量量綱量原子彈爆炸能量估計(jì)的數(shù)值計(jì)算原子彈爆炸能量估計(jì)的數(shù)值計(jì)算5/ 132

25、565/ 12EPtEtr時(shí)間時(shí)間 t 非常短非常短能量能量 E 非常大非常大 )0(5/13256EPt泰勒泰勒根據(jù)一些小型爆炸試驗(yàn)的數(shù)據(jù)根據(jù)一些小型爆炸試驗(yàn)的數(shù)據(jù)建議建議1)0(5/12Etr用用r, t 的實(shí)際數(shù)據(jù)做平均的實(shí)際數(shù)據(jù)做平均空氣密度空氣密度 =1.25 (kg/m3) 1103t (TNT能量能量)= 4.1841012J 25trEE=19.7957 (103t)E=8.28251013(J)實(shí)際值實(shí)際值21 103t泰勒的泰勒的計(jì)算計(jì)算5/12Etrtr最小二乘法擬合最小二乘法擬合 r=atbEtr101010log51log52logE=8.02761013 (J),

26、即即19.2 103t取取y平均值得平均值得c=6.9038 Ectrycy101010log21,loglog25,模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)b=0.40582/5量綱分析法的評(píng)注量綱分析法的評(píng)注 物理量的選取物理量的選取 基本量綱的選取基本量綱的選取 基本解的構(gòu)造基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性結(jié)果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個(gè)數(shù)基本量綱個(gè)數(shù)n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解的基本解. 方法的普適性方法的普適性函數(shù)函數(shù)F和無(wú)量綱量未定和無(wú)量綱量未定.不需要特定的專(zhuān)業(yè)知識(shí)不需要特定的專(zhuān)業(yè)知識(shí).物理模擬示

27、例：物理模擬示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒(méi)面積浸沒(méi)面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g .0),(fsvlg量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 物理模擬物理模擬: 按照一定的按照一定的比例尺寸比例尺寸構(gòu)造它的物理模型構(gòu)造它的物理模型,通過(guò)對(duì)模型的研究得出原型的結(jié)果通過(guò)對(duì)模型的研究得出原型的結(jié)果.量綱分析可以指導(dǎo)物理模擬中量綱分析可以指導(dǎo)物理模擬中比例尺寸比例尺寸的確定的確定. 0),(fsvlg物理模擬示例：物理模擬示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力slgvlglf232/12

28、/121131,定理定理 232323,),(lsglvglf待定，0),(321F232323,),(lslgvglf 同上，原型船原型船模型船模型船gvlsf, 模型船的模型船的 均已知均已知 gvls,當(dāng)原型船的當(dāng)原型船的 給定后計(jì)算給定后計(jì)算 f物理物理模擬模擬ggllvv2)(llss3322,3)(llff232323,),(lsglvglf232323,),(lslgvglf 物理模擬示例：物理模擬示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力原原型型船船模模型型船船),(),(3232模擬模擬條件條件量測(cè)模型船阻力量測(cè)模型船阻力f，可計(jì)算，可計(jì)算 f. 按一定尺寸比例建造按一定尺寸比例

29、建造模型船模型船, 并調(diào)節(jié)船速并調(diào)節(jié)船速.無(wú)量綱化示例：火箭發(fā)射無(wú)量綱化示例：火箭發(fā)射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射火箭星球表面豎直發(fā)射火箭. 初速初速v, 星星球半徑球半徑r, 星球表面重力加速度星球表面重力加速度g.研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律.t=0 時(shí)時(shí) x=0, 火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律)0( xgx grkm223個(gè)獨(dú)立參數(shù)個(gè)獨(dú)立參數(shù)用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)用無(wú)量綱化方

30、法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2變量變量 x,t 和獨(dú)立參數(shù)和獨(dú)立參數(shù) r,v,g 的的量綱量綱用用參數(shù)參數(shù)r,v,g的組合的組合, ,分別分別構(gòu)造與構(gòu)造與x,t具有相同具有相同量綱量綱的的xc, tc （特征尺度）（特征尺度）無(wú)量綱變量無(wú)量綱變量tx ,vrtrxcc/,如如),;(gvrtxx 利用新變量利用新變量, tx將被簡(jiǎn)化將被簡(jiǎn)化cctttxxx,令令 xc, tc的不同構(gòu)造的不同構(gòu)造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,2222ddddxxvvxtvxvxxrtr),;(gvrtxx );(txx 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量rvttrxx

31、/,/1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)的不同簡(jiǎn)化結(jié)果的不同簡(jiǎn)化結(jié)果),;(gvrtxx ,)(22rxgrx vxx)0(, 0)0(gvtgvxcc/,/23）令),;(gvrtxx 10001122)(,)(,)(xxrgvxx );(txx 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx2200011,)()()( );(txx 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù))m/s(80008 . 91063703rg1) 2) 3)

32、的共同點(diǎn)的共同點(diǎn)只含只含1個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù)無(wú)量綱量無(wú)量綱量 );(txx 解解1) 2) 3) 的重要差別的重要差別rgv2考察無(wú)量綱量考察無(wú)量綱量v1在在1) 2) 3) 中能否忽略以中能否忽略以 為因子的項(xiàng)？為因子的項(xiàng)？1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 1)忽略忽略 項(xiàng)項(xiàng)無(wú)解無(wú)解x不能忽略不能忽略 項(xiàng)項(xiàng)1)0(, 0)0(, 0) 1(12xxx無(wú)量綱無(wú)量綱化方法化方法tttx2)(21) 0(, 0) 0(, 1xxx 0)0(, 0)0(,) 1(12xxxx rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 3)

33、忽略忽略 項(xiàng)項(xiàng)0)(tx不能忽略不能忽略 項(xiàng)項(xiàng)忽略忽略 項(xiàng)項(xiàng)0)(tx1) 2) 3) 的重要差別的重要差別無(wú)量綱無(wú)量綱化方法化方法vxxgx)0(0)0( ,2)() 32tttxgvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭發(fā)射過(guò)程火箭發(fā)射過(guò)程中引力中引力m1g不變不變 即即 x+r rvxxrxgrx)0(, 0)0()(22 原原問(wèn)問(wèn)題題可以忽略可以忽略 項(xiàng)項(xiàng)vtgttx221)(是原問(wèn)題是原問(wèn)題的近似解的近似解1) 2) 3) 的重要差別的重要差別無(wú)量綱化方法無(wú)量綱化方法為什么為什么3)能忽略能忽略 項(xiàng)，得到原問(wèn)題近似解，而項(xiàng)，得到原問(wèn)題近似解，而1) 2)不能

34、不能?vrtrxcc/,1）令）令grtrxcc/,2）令）令gvtgvxcc/,/23）令）令火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為v/g, 高度為高度為v2/2g,cctttxxx/,/大體上具有單位尺度大體上具有單位尺度)1(項(xiàng)可以忽略項(xiàng)可以忽略cxx 1,tx)1(項(xiàng)不能忽略項(xiàng)不能忽略無(wú)量綱化方法無(wú)量綱化方法 選擇特征尺度的一般討論見(jiàn)：選擇特征尺度的一般討論見(jiàn)：林家翹著林家翹著自然科學(xué)中確定性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)自然科學(xué)中確定性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)無(wú)無(wú) 量量 綱綱 化化 無(wú)量綱化無(wú)量綱化是研究物理問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法是研究物理問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法. 選擇選擇特征尺度特征尺度主要依賴(lài)于物理知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主

35、要依賴(lài)于物理知識(shí)和經(jīng)驗(yàn). 恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨(dú)立參數(shù)恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素個(gè)數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素.6.4 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問(wèn)問(wèn) 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象 商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定? 當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?價(jià)格下降價(jià)格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲價(jià)格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求 描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律.商品商品數(shù)量數(shù)量與與價(jià)格價(jià)格在振蕩在振蕩蛛

36、蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxyOxk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格.消費(fèi)者的需求關(guān)系消費(fèi)者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)f與與g的交點(diǎn)的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, 且且 xk+1=xk+2=x0 , yk+1=yk+2= =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù)xyOfgy0 x0P0設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)gfKKxyOy0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲