人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 21-2-4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 教案教學(xué)設(shè)計優(yōu)秀公開課2

1、21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一、教材分析：本課是一節(jié)公式定理的新知課第一課時，曾在舊版的教材中占據(jù)很重要的位置，不但在中考中體現(xiàn)，延伸到高中的教學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。現(xiàn)在又將曾一度刪去的內(nèi)容恢復(fù)，可見根系關(guān)系的重要，它為進(jìn)一步解決一元二次方程、二次函數(shù)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)問題提供一些新的思路。二、學(xué)情分析：1. 學(xué)生已學(xué)習(xí)用求根公式法解一元二次方程，。2. 本課的教學(xué)對象是初中三年級學(xué)生，學(xué)生對事物的認(rèn)識多是直觀、形象的， 他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，3. 在教學(xué)初始，出示一些學(xué)生所熟悉和感興趣的東西，結(jié)合一元二次方程求根公式使他們在現(xiàn)代化的教學(xué)模式和傳統(tǒng)的教學(xué)模式

2、相結(jié)合的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。三、教法特點及預(yù)期效果分析：1、本設(shè)計采用“實踐觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，使學(xué)生既動手又動腦，且又動口，教師引導(dǎo)啟 發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。2、本設(shè)計遵循由特殊到一般，從實踐到理論（即從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識）的認(rèn)知規(guī)律。3、本設(shè)計注重了學(xué)生的反思過程，使學(xué)生將知識系統(tǒng)化、格式化。學(xué)法指導(dǎo)1、引導(dǎo)學(xué)生實踐、觀察、發(fā)現(xiàn)問題、猜想并推理。2、指導(dǎo)學(xué)生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑。3、指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，并將應(yīng)用問題和規(guī)律歸類。四、教學(xué)目標(biāo):1、知識目標(biāo)：要

3、求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 式，能運用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知數(shù)， 會求一元二次方程兩個根的倒數(shù)和與平方和，兩根之差。2、能力目標(biāo)：通過韋達(dá)定理的教學(xué)過程，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。3、情感目標(biāo)：通過情境教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗數(shù)學(xué)活動中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗數(shù)學(xué)活動中的成功感， 建立自信心。教學(xué)重點和難點1、重點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。2、難點：讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系

4、數(shù)之間的關(guān)系， 并用語言表述，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度，是教學(xué)的難點。五、教學(xué)過程:（一）探索新知問題 1.在方程 ax2+bx+c=0 中，a 的取值決定什么？b2-4ac 的取值呢？兩根怎么求？同學(xué)們可知道 a、b、c 的取值與一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根還有其它關(guān)系？今天我們進(jìn)一步研究一元二次方程的這種關(guān)系。問題 2.解下列方程并填寫下表：（1）x2-5x+6=0（2）2x2+5x+3=0（2）3x2-2x-8=0填寫下表一元二次方程x1x2x1+x2x1x2 x2-5x+6=02x2+5x+3=03x 2-2x-8=0【設(shè)計意圖】：二次項系數(shù)為 1 有 1 題；二

5、次項系數(shù)不為 1 有 2 題,系數(shù)性質(zhì)符號各有不同. 讓學(xué)生盡量體會與猜想兩根和、兩根積與系數(shù)之間的關(guān)系請觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？問題 3.請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程 ax2+bx+c=0 （a0）的根x1，x2 與 a、b、c 之間的關(guān)系： 。問題 4.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。分小組討論以上的問題，并作出推理證明。若方程 ax2+bx+c=0（a0）的兩根為 x1=，x2= 。則 x1+x2= ；x1x2=設(shè)是方程的兩個根。【設(shè)計意圖】學(xué)生在已有公式法解一元二次方程的知識基礎(chǔ)上，可以最快速度說出x1 和x2 的值

6、，接下來將字母系數(shù)表示的 x1 和 x2 的值代入相應(yīng)的代數(shù)式 x1+x2 和 x1x2 得出根系關(guān)系的結(jié)論，憑借學(xué)生自己的現(xiàn)有能力可以解決證明過程還可以讓學(xué)生體會，數(shù)學(xué)知識的一些結(jié)論是在計算的過程中產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)中那一系列的字母并不是高不可攀。（二）嘗試發(fā)展試一試：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為 x1，x2、k 是常數(shù)）（1）2x2-3x+1=0x1+x2= x1x2= （2）3x2+5x=0x1+x2= _x1x2= （3）-4x2+x-2=0x1+x2= x1x2= （4）5x2+kx-6=0x1+x2= x1x2= 【設(shè)計意圖】本例對絕大多數(shù)同學(xué)來說是可以

7、掌握的內(nèi)容，也是研究根系關(guān)系應(yīng)掌握的內(nèi)容，還可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會整體代入的數(shù)學(xué)思想方法嘗試題 1、已知方程 6x2+kx-5=0 的一個根為，求它的另一個根及 k 的值。組織學(xué)生自己分析解決，然后一學(xué)生演板，其余學(xué)生在草稿本上練習(xí)。嘗試題 2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程 3x2-3x-1=0 的兩個根的（1） 平方和，（2）倒數(shù)和。（三）歸納小結(jié)本課主要研究了什么？1、方程的根是由系數(shù)決定的。2、a0，且 b2-4ac0 時，方程 ax2+bx+c=0 的根為 x1、x23、a0，0 時，x1+x2=，x1x2=。4、方程根與系數(shù)關(guān)系的有關(guān)應(yīng)用。（1）已知一根求另一根及 k 的值；（2

8、）求有關(guān)代數(shù)式的值。六、設(shè)計說明:一、 重視知識的連貫性，由淺入深，在舊知識上構(gòu)建新知，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣， 活躍學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。在教學(xué)設(shè)計中，先復(fù)習(xí)一元二次方程的一般形式及求根公式，利用問題情境解方程，一方面鞏固前面所說的用公式法求一元二次方程，另一方面通過求出方程的兩根，引導(dǎo)學(xué)生探討一元二次方程的兩根和與兩根之積和系數(shù)的關(guān)系。讓學(xué)生自己動手，得出結(jié)論。這樣做，充分發(fā)揮了學(xué)生的主動性。二、采用循序漸進(jìn)的方法達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。先是解解方程（1）x2-5x+6=0（2）2x2+5x+3=0（2）3x2-2x-8=0觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系思考：所有的一元二次方程的兩個根都有這樣的規(guī)律嗎？接著是利用求根公式推導(dǎo)一元二次方程一般形式 ax2+bx+c=0（a0）兩根之和與兩根之積與系數(shù)的關(guān)系，做到由特殊到一般，從而得出最后的結(jié)論。在以前 的教學(xué)設(shè)計中，我們習(xí)慣于教師講，學(xué)生聽，學(xué)生自主探究的機(jī)會較少，我們先 把一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系告訴學(xué)生，之后再進(jìn)行驗證，學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和綜