整數(shù)的整除性

1、.蒄羇肅膁蚆螀罿膀蝿肆羋腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蝕芅芆蒅裊膁芅薇蚈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿節(jié)薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈蝕螁芀莇蒀肇膆莆薂衿肂莆蚅肅羈蒞螇袈芆莄蒆蟻膂蒃蕿袆肈蒂蟻蠆羄蒁莁襖袀蒀薃蚇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆薆螞罿膂薅螄螂肈薄蒄羇肅膁蚆螀罿膀蝿肆羋腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蝕芅芆蒅裊膁芅薇蚈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿節(jié)薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈蝕螁芀莇蒀肇膆莆薂衿肂莆蚅肅羈蒞螇袈芆莄蒆蟻膂蒃蕿袆肈蒂蟻蠆羄蒁莁襖袀蒀薃蚇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆薆螞罿膂薅螄螂肈薄蒄羇肅膁蚆螀罿膀蝿肆羋腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蝕芅芆蒅裊膁芅薇蚈膇芄蝿羃肅芃葿螆罿

2、節(jié)薁羂芇節(jié)蚄螅膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈蝕螁芀莇蒀肇膆莆薂衿肂莆蚅肅羈蒞螇袈芆莄蒆蟻膂蒃蕿袆肈蒂蟻蠆羄蒁莁襖袀蒀薃蚇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蕆羈羇蕆薀螄芆薆螞罿膂薅螄螂肈薄蒄羇肅膁蚆螀罿膀蝿肆羋腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蝕芅芆蒅裊膁芅薇蚈膇 整數(shù)的整除性整數(shù)的整除性問題，是數(shù)論中的最基本問題，也是國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中最常出現(xiàn)的內(nèi)容之一由于整數(shù)性質(zhì)的論證是具體、嚴格、富有技巧，它既容易使學(xué)生接受，又是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和推理能力的一個有效課題，因此，了解一些整數(shù)的性質(zhì)和整除性問題的解法是很有必要的整除的基本概念與性質(zhì)30除以6得到的商是5，我們就叫30能被6整除，31除以6得到的商不是整數(shù)，31就不能

3、被6整除。一般地，所謂整除，就是一個整數(shù)被另一個整數(shù)除盡，其數(shù)學(xué)定義如下定義 設(shè)a，b是整數(shù)，b0如果有一個整數(shù)q，使得a=bq，那么稱a能被b整除，或稱b整除a，并記作ba如果不存在這樣的整數(shù)q，使得a=bq，則稱a不能被b整除，或稱b不整除a，記作ba關(guān)于整數(shù)的整除，有如下一些基本性質(zhì)：性質(zhì)1 若ba，cb，則ca性質(zhì)2 若ca，cb，則c(a±b)性質(zhì)3 若ca，cb，則c(a±b)性質(zhì)4 若ba，dc，則bdac性質(zhì)5 若a=bc，且ma，mb，則mc性質(zhì)6 若ba，ca，則b，ca(此處b，c為b，c的最小公倍數(shù))特別地，當(dāng)(b，c)=1時，bca(此處(b，c)

4、為b，c的最大公約數(shù))性質(zhì)7 若cab，且(c，a)=1，則cb特別地，若p是質(zhì)數(shù)，且pab，則pa或pb性質(zhì)8 若ab，n是自然數(shù)，則(a-b)(an-bn)性質(zhì)9 若a-b，n是正偶數(shù)，則(ab)(an-bn)性質(zhì)10 若a-b，n是正奇數(shù)，則(ab)(anbn)常見數(shù)的整除特征給出一個整數(shù)A，要求判斷這個數(shù)能否被某個非零整數(shù)m整除，這是在整除問題中常常需要解決的問題。因此，就要研究數(shù)能被某些非零整數(shù)整除的特征。 能被2,4,5,8 整除的數(shù)的特征顯然易見,當(dāng)A的個位數(shù)能被2整除時,A能被2整除;反之,若A能被2整除,則能被2整除,即（結(jié)論1）同樣有 （結(jié)論2）（結(jié)論3）（結(jié)論4）前兩個結(jié)

5、論比較明顯,對于結(jié)論3作如下證明。由100能被4整除，所以，于是當(dāng)時，；反之，當(dāng)時，結(jié)論4的正確性請同學(xué)們類似地證明。 能被3,9 整除的數(shù)的特征如果A的各位數(shù)之和能被3 (或9)整除,那么A也能被3 (或9)整除;返過來,如果A能被3 (或9)整除,那么A的各位數(shù)字之和也能被3 (或9)整除。下面以四位數(shù)為例，對于多位數(shù)只要進行類似的推理就可以了。設(shè) ，則顯然， 能被3（也能被9）整除。若能被3（或9）整除，則A能被3（或9）整除；反之，若A能被3（或9）整除，則能被3（或9）整除。 能被11整除的數(shù)的特征仍以四位數(shù)為例.對于多位數(shù)可類推.顯然, 能被11整除，于是若 ，則 ；反之，若，則

6、。 能被7（11，13）整除的數(shù)的統(tǒng)一特征。若A的末三位與A去掉末三位尾數(shù)后數(shù)之差是7（或11，13）的倍數(shù)，則A能被7（或11，13）整除。 連續(xù)整數(shù)的乘積的整除性。對于兩個連續(xù)整數(shù) n和n+1， 其中必有一個偶數(shù)，因此乘積能被2整除。對于三個連續(xù)整數(shù)n, n+1,和n+2，其中必有一個偶數(shù)，也必有一個能被3整除，因而乘積 能被整除。一般地可以推導(dǎo)，k個連續(xù)整數(shù)的乘積能被整除。說明 1·2·3k，可稱作k的“階乘”，記作k！2證明整除的基本方法證明整除常用下列幾種方法：(1)利用基本性質(zhì)法；(2)分解因式法；(3)按模分類法；(4)反證法下面舉例說明例1、 N=是一個被1

7、7整除的四位數(shù)，求x。解 因, 17|（122+6x）所以 而x為09的整數(shù),故只有當(dāng)x=2 時,才有可能。故x=2為所求。例2、 （1987年北京初二數(shù)學(xué)競賽題）x，y，z均為整數(shù)，若11（7x+2y-5z），求證：11（3x-7y+12z）。證明4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而        1111(3x-2y+3z),且      11(7x+2y-5z),     

8、0; 114(3x-7y+12z)又       (11,4)=1        11(3x-7y+12z).例3、    一整數(shù)a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.證明  a2+23=（a2-1）+24，只需證a2-1可以被24整除即可.2.a為奇數(shù).設(shè)a=2k+1(k為整數(shù)),則a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).k、k+1為二個連續(xù)整數(shù)，故k（k+1）必能被2整除，8|4k（k+1）

9、，即8|（a2-1）.又（a-1），a，（a+1）為三個連續(xù)整數(shù)，其積必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），3a，3|（a2-1）.3與8互質(zhì), 24|(a2-1),即a2+23能被24整除.例4、 (美國第4屆數(shù)學(xué)邀請賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n3+100能被n+10整除,則900也能被n+10整除.而且,當(dāng)n+10的值為最大時,相應(yīng)地n的值為最大.因為900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.例5、 證明：三個連續(xù)奇數(shù)的平方和加1，能被12整

10、除，但不能被24整除分析 要證明一個數(shù)能被12整除但不能被24整除，只需證明此數(shù)等于12乘上一個奇數(shù)即可證 設(shè)三個連續(xù)的奇數(shù)分別為2n-1，2n1，2n+3(其中n是整數(shù))，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)21=12(n2n1)所以12(2n-1)2(2n1)2(2n3)2+1又n2+n1=n(n1)+1，而n，n+1是相鄰的兩個整數(shù)，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶數(shù)，從而n2n+1是奇數(shù)，故24 (2n-1)2+(2n+1)2(2n3)2+1例6、 若x，y為整數(shù)，且2x+3y，9x5y之一能被17整除，那么另一個也能被17整除證 設(shè)u=2x3y，v=9x5y若17u，從

11、上面兩式中消去y，得3v-5u=17x所以 173v因為(17，3)=1，所以17v，即179x5y若17v，同樣從式可知175u因為(17，5)=1，所以17u，即172x3y例7、若p，q，都是整數(shù)，并且p>1,q>1，求pq的值解 若p=q，則不是整數(shù)，所以pq不妨設(shè)pq，于是是整數(shù)，所以p只能為3，從而q=5所以pq=3×5=15 例8、 已知，且能被9整除，求。解 由于能被9整除，所以5+y+9=14+y 能被9整除，又因為，所以y=4。本題的等式變?yōu)?+326=549，即=549-326=223因而 ，=6例9、已知七位數(shù)是的倍數(shù)（其中、是阿拉伯?dāng)?shù)字），試求的

12、值。（北京市“希望杯”競賽試題）分析：由×，知被和整除。解：根據(jù)題意，被和整除，則被整除，或；（）（）被整除， 或。由 ，解得，。 ××例10、 若4b+2c+d=32，試問 能否被8整除？請說明理由。分析 要說明能否被8整除，根據(jù)被8整除的數(shù)的特征，只要判斷能否被8整除。解 由 =100b+10c+d=96b+8c+=96b+8c+32=知 ，從而 聿薅蝿袈聿芄薂螄肈莇螇肅肇葿薀罿膆薁螅裊膅芁薈螁膄莃螄蚆膃薆薆肅膃芅袂羈膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂艿節(jié)蒆羈羋莄蟻襖芇蒆蒄袀芇芆螀螆芆莈薂肄芅蒁螈羀芄薃薁袆芃芃螆螂莂蒞蕿肁莁蕆螄羇莁薀薇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅羅薄袁肅羅芄蚄罿羄莆衿裊肅蒈螞螁肂薀蒅肀肁芀蝕肆肀蒂蒃羂聿薅蝿袈聿芄薂螄肈莇螇肅肇葿薀罿膆薁螅裊膅芁薈螁膄莃螄蚆膃薆薆肅膃芅袂羈膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂艿節(jié)蒆羈羋莄蟻襖芇蒆蒄袀芇芆螀螆芆莈薂肄芅蒁螈羀芄薃薁袆芃芃螆螂莂蒞蕿肁莁蕆螄羇莁薀薇羃莀荿袃衿羆