數(shù)學(xué)建模方法導(dǎo)引

1、 模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物來(lái)的原型的替代物 3. 按照精密程度按照精密程度 集中參數(shù)模型、分布參數(shù)模型集中參數(shù)模型、分布參數(shù)模型 4. 按照研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征按照研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征 初等模型初等模型 優(yōu)化模型優(yōu)化模型 邏輯模型邏輯模型 穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型 擴(kuò)散模型擴(kuò)散模型 統(tǒng)計(jì)模型統(tǒng)計(jì)模型 模擬模型等模擬模型等數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例示例示例1. 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問(wèn)題分析問(wèn)題分析: 把椅子往不平的地面上一放，把椅子往不平的地面上一

2、放，通常只有三只腳著地（通常只有三只腳著地（放不穩(wěn)放不穩(wěn)），但），但只需挪動(dòng)幾次，就可以使四只腳同時(shí)只需挪動(dòng)幾次，就可以使四只腳同時(shí)著地（著地（放穩(wěn)了放穩(wěn)了）。我們能否將這個(gè)問(wèn)）。我們能否將這個(gè)問(wèn)題抽象出用數(shù)學(xué)語(yǔ)言給以描述并證明題抽象出用數(shù)學(xué)語(yǔ)言給以描述并證明之？之？ 模型假設(shè)模型假設(shè) 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接 觸，四腳連線呈正方形，椅子中心不動(dòng)觸，四腳連線呈正方形，椅子中心不動(dòng) 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面連續(xù)曲面; 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。少三只腳同時(shí)著地。

3、 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)系表示出來(lái)椅子位置椅子位置椅腳連線呈正方形，以中心為對(duì)稱點(diǎn)，椅腳連線呈正方形，以中心為對(duì)稱點(diǎn)，椅子位置的改變對(duì)應(yīng)于正方形繞中心的椅子位置的改變對(duì)應(yīng)于正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表旋轉(zhuǎn)，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置（如圖）。示椅子的位置（如圖）。四只腳著地四只腳著地可以各椅腳離地面的距離表示，椅腳著可以各椅腳離地面的距離表示，椅腳著地距離為零；在地面平滑一定的情況下，地距離為零；在地面平滑一定的情況下，各椅腳離地面的距離是其位置的函數(shù)；各椅腳離地面的距離是其位置的函數(shù)；由于正方形的中

4、心對(duì)稱性，只要設(shè)兩個(gè)由于正方形的中心對(duì)稱性，只要設(shè)兩個(gè)距離即可。距離即可。ABCDOA B C D xyf( )A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( ) 表示表示B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地對(duì)任意對(duì)任意 , f( ), g( )至少至少一個(gè)為一個(gè)為0已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意對(duì)任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) =

5、 g( 0) = 0.模型求解模型求解將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) ，即即對(duì)角線對(duì)角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)數(shù)的基本性質(zhì), 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因?yàn)橐驗(yàn)閒( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.090數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例 示例示例2. 商人們?cè)鯓影踩^(guò)河商人們?cè)鯓影踩^(guò)河問(wèn)題

6、問(wèn)題(智力游戲智力游戲) 三名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，一只小船只能容三名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由它們自己劃行。隨從們密約納二人，由它們自己劃行。隨從們密約, 在河的任一岸在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨就殺人越貨. 但是乘船渡河的但是乘船渡河的方案由商人決定方案由商人決定. 商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析問(wèn)題分析 多步?jīng)Q策過(guò)程多步?jīng)Q策過(guò)程狀態(tài)狀態(tài) 某一岸的人員狀況某一岸的人員狀況決策決策 船上的人員狀況船上的人員狀況問(wèn)題可表述為在狀態(tài)的允許變化范圍內(nèi)（即安問(wèn)題可表述為在狀態(tài)的允許變化范圍內(nèi)（即安全渡河

7、條件），確定每一步的決策，達(dá)到渡河全渡河條件），確定每一步的決策，達(dá)到渡河的目的的目的模型構(gòu)成模型構(gòu)成 第第k次渡河前此岸的商人數(shù)次渡河前此岸的商人數(shù) 第第k次渡河前此岸的隨從數(shù)次渡河前此岸的隨從數(shù)kxkyk=1,2, , =0,1,2,3; =( , ) 過(guò)程的狀態(tài)過(guò)程的狀態(tài)kSS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2kxkykxky 第第k次渡船上的商人數(shù)次渡船上的商人數(shù)第第k次渡船上的隨從數(shù)次渡船上的隨從數(shù)kukvk=1,2, , =0,1,2；kukv =( , ) 表示決策表示決策kukvkd允許允許決策決策集合集合 D=(u

8、 , v) u+v=1, 2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移律狀態(tài)轉(zhuǎn)移律 1( 1)kkkkSSd 多步?jīng)Q策問(wèn)題多步?jīng)Q策問(wèn)題 求求 ，使，使 , 并并按按轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由 到到 達(dá)達(dá) (1,2,., )kdD knkSS1(3,3)S 1(0,0)nS窮舉法窮舉法kdxy3322110d11d1允許決策允許決策 是是沿方格線移動(dòng)沿方格線移動(dòng)1或或2格，格， 為奇為奇數(shù)時(shí)向左、下數(shù)時(shí)向左、下方移動(dòng)，方移動(dòng)， 為偶為偶數(shù)時(shí)向右、上數(shù)時(shí)向右、上方移動(dòng)，方移動(dòng)，kk數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例示例示例3 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)問(wèn)題的背景：?jiǎn)栴}的背景： 人口增長(zhǎng)是當(dāng)前世界上普遍關(guān)注的問(wèn)題，我們經(jīng)?？吹交蚵牭接嘘P(guān)人口

9、增長(zhǎng)的預(yù)報(bào)，說(shuō)到本世紀(jì)末，或下世紀(jì)中葉，世界（或某地區(qū)）人口將達(dá)到多少多少億，這些說(shuō)法是否可信？有何依據(jù)？下面就建立數(shù)學(xué)模型來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題的提出：已知過(guò)去幾十年世界（或某地區(qū)）人口統(tǒng)計(jì)數(shù)問(wèn)題的提出：已知過(guò)去幾十年世界（或某地區(qū)）人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)今后幾年或幾十年的人口狀據(jù)，試建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)今后幾年或幾十年的人口狀況。況。世界人口增長(zhǎng)概況世界人口增長(zhǎng)概況 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60中國(guó)人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年年 1908 1933 1953 1964

10、1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0年年17901800181018201830184018501860人口人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年年18701880189019001910192019301940人口人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年年195019601970198019902000人口人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4 美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)一、指數(shù)增長(zhǎng)模型一、指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提

11、出馬爾薩斯提出 (1798)指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型2. 基本假設(shè)：基本假設(shè)：0(0)xx記記 x(t) 第第t年的年的人口人口總數(shù)總數(shù) r 人口人口(相對(duì)相對(duì))增長(zhǎng)率增長(zhǎng)率()( )( )xx ttx trx ttt由基本假設(shè)得由基本假設(shè)得()(1) ( )x ttr t x t 或或 (1)0(0)xx0(1)1)xr x（20(2)(1) (1)(1)xr xrx0( )(1)tx tr x (2)0t dxrxdt0(0)xx （3）0( )rtx tx e （4） 如果如果r很?。ê苄。╮1) 時(shí)，則時(shí)，則1rer 00( )()(1)rttx tx exr （5）（4）式表示人口按

12、指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間增長(zhǎng)，稱為）式表示人口按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間增長(zhǎng)，稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型（5）式表明最簡(jiǎn)單的人口預(yù)測(cè)模型）式表明最簡(jiǎn)單的人口預(yù)測(cè)模型（2）是指數(shù)增長(zhǎng)模型（）是指數(shù)增長(zhǎng)模型（4）的離散近似形式。）的離散近似形式。r0 xyrta如何利用已有數(shù)據(jù)估計(jì)如何利用已有數(shù)據(jù)估計(jì) 和和 ？將（將（4）式取對(duì)數(shù)得）式取對(duì)數(shù)得lnyx0lnax（5） 利用最小二乘擬合，經(jīng)利用最小二乘擬合，經(jīng)MATLAB軟件計(jì)算得軟件計(jì)算得以以1790年至年至1900年的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果年的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果 00.2743/104.1884rx年， 以以1790年至年至2000年的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果年的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果 00.202

13、2/106.0450rx年， 指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合圖形指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合圖形 （a）1790年至年至1900年年 （b）1790年至年至2000年年可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不能預(yù)測(cè)可用于較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)不能預(yù)測(cè)可用于較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng) 過(guò)程過(guò)程 不符合不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律二、阻滯增長(zhǎng)模型二、阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型模型)且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，r( )x t( )r x( ),(0,0)r xrsx rsr 稱為稱為固有增長(zhǎng)率固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí)很小時(shí))(2) 自然資源和環(huán)境條件年容納的最

14、大人口自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口 數(shù)量數(shù)量mx（6）mxx()0mr xmrsx( )(1)mxr xrx于是于是 （7）模型（模型（3）變?yōu)椋┳優(yōu)?(1)(0)mdxxrxdtxxx （8）0( )1 (1)mrtmxx txex （9）/2mxmx Logistic模型模型 曲線曲線/dx dtx Logistic模型模型xt曲線曲線mxr/dx dtrsxxmrsx （10）r=0.2557, =392.1mx利用利用MATLAB軟件計(jì)算得軟件計(jì)算得 阻滯增長(zhǎng)模型擬合圖形阻滯增長(zhǎng)模型擬合圖形(2000)267.94x 實(shí)際數(shù)據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù) 281.4 誤差誤差 4.8% 6. 模型應(yīng)

15、用模型應(yīng)用 預(yù)報(bào)美國(guó)預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口年的人口加入加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)r=0.2490, =434.0mx x(2010)=306.0問(wèn)題分析假設(shè)數(shù)學(xué)模型模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用符合實(shí)際符合實(shí)際 不符合實(shí)際不符合實(shí)際 問(wèn)問(wèn)題題分分析析了解實(shí)際背景了解實(shí)際背景明確建模目明確建模目的的 搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征掌握對(duì)象特征模模型型假假設(shè)設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè) 用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題模模型型建建立立發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具模模型型求求解解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù) 如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、 模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型模型分析分析模型模型檢驗(yàn)檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型模型應(yīng)用應(yīng)用用已建立的模型分析、解釋已用已建立的模型分析、解