24223切線長定理和三角形的內(nèi)切圓(1)

1、（2）直線）直線l 和和 O相切相切 （1）直線）直線l 和和 O相離相離（3）直線）直線l 和和 O相交相交drd=rdrdorldorlodrl1.直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系(1)若直線與圓的一個若直線與圓的一個公共點已指明公共點已指明，則連接這點和圓心，然后說明直線垂直于則連接這點和圓心，然后說明直線垂直于經(jīng)過這點的半徑；經(jīng)過這點的半徑； 連半徑，證垂直連半徑，證垂直(2)若直線與圓的若直線與圓的公共點未指明公共點未指明，則過圓心作直線的垂線段，然后說明這條則過圓心作直線的垂線段，然后說明這條線段的長等于圓的半徑線段的長等于圓的半徑 作垂直，證相等作垂直，證相等2.2.證明直線

2、是圓的切線有如下兩種方法證明直線是圓的切線有如下兩種方法: : 畫一畫畫一畫O PO P1.已知已知O上有一點上有一點P,P,你能過點你能過點p p作出作出O的切線嗎的切線嗎? ?2.已知已知O外有一點外有一點P,P,你還能過點你還能過點P P點作出點作出O的的切線嗎切線嗎? ?oop1.連結(jié)連結(jié)OP2.以以O(shè)P為直徑作為直徑作 O， 與與 O交于交于A、B兩點。兩點。AB即直線即直線PA、PB為為 O的切線的切線 如圖，已知如圖，已知 O外一點外一點P，你能用尺規(guī)過點，你能用尺規(guī)過點P作作 O的切線嗎？的切線嗎？通過作圖你能發(fā)現(xiàn)什么呢？通過作圖你能發(fā)現(xiàn)什么呢？1.過圓外一點作圓的切線可以作兩

3、條過圓外一點作圓的切線可以作兩條2.點點A和點和點B關(guān)于直線關(guān)于直線OP對稱對稱經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，段的長，叫做這點到圓的切線長。叫做這點到圓的切線長。切線長是切線長是一條線段一條線段如圖，過圓外一點有兩條直線如圖，過圓外一點有兩條直線PAPA、PBPB與與O相相切。切。在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切這點和切點之間點之間的線段長，叫做這點到圓的的線段長，叫做這點到圓的切線長切線長。 ABPO。切線與切線長的區(qū)別與聯(lián)系：切線與切線長的區(qū)別與聯(lián)系： （1 1）切線是一條與圓相切的直線；切線是一

4、條與圓相切的直線；（2 2）切線長是指切線長是指切線上切線上某一點與切點間的線段某一點與切點間的線段的長。的長。opAB如圖，如圖，PA、PB是是 O的切線，的切線，A、B為切點。如果連結(jié)為切點。如果連結(jié)OA、OB、OP，圖中的，圖中的PA與與PB，APO與與BPO有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ PA、PB是是 O的切線，的切線， A、B為切點為切點OAPA，OBPB又又OAOB，OPOPRtAOP RtBOPPAPB，APOBPO切線長定理：切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等，從圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。這一點和圓心的連線平分兩

5、條切線的夾角。opAB PA、PB是是 O的切線，的切線， A、B為切點為切點PAPB，APOBPO如圖，若連接如圖，若連接AB，則，則OP與與AB有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ PA、PB是是 O的切線，的切線， A、B為切點為切點PAPB，APOBPOOPAB，且，且OP平分平分ABCD從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線垂直平分切點所成的弦；平分切點的連線垂直平分切點所成的弦；平分切點所成的弧。點所成的弧。AD與與BD相等嗎？相等嗎？我們學(xué)過的切線，常有我們學(xué)過的切線，常有 五個五個 性質(zhì)：性質(zhì)：1 1、切線和圓只有一個公共點；、切線和圓只有一個公共

6、點；2 2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3 3、切線垂直于過切點的半徑；、切線垂直于過切點的半徑；4 4、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；5 5、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。6 6、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。六個六個例1已知已知，如圖，如圖，PA、PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為切點為切點.直線直線 OP 交交 O 于點于點 D、E

7、，交，交 AB 于于 C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）寫出圖中所有的全等三角形）寫出圖中所有的全等三角形.（3）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半徑求半徑 OA 的長的長.AOCDPBE解：解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCA OCB ACP BCP.(3) 設(shè)設(shè) OA = x cm , 則則 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在在 RtOAP 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2

8、 解得解得 x = 3 cm 所以，半徑所以，半徑 OA 的長為的長為 3 cm. POABc如圖，如圖，P為為 O 外一點，外一點， PA、PB分別切分別切 O于于A、B兩點，兩點，OP交交 O于于C，若，若PA6，PC2 ，求，求 O的半徑的半徑OA及兩切線及兩切線PA、PB的夾角。的夾角。3解：解：連接連接OA、AC，則，則OAAP在在RtAOP中，設(shè)中，設(shè)OAx則則OP x23OA2PA2OP2即即 x262（x2 ）23解得解得x2 ，即，即OAOC233OP4 3在在RtAOP中，中，OP2OAAPO30PA、PB是是 O的切線的切線APB2APO60 O的半徑為的半徑為2 ，兩，

9、兩切線的夾角為切線的夾角為603ABCDEO21例2如圖，已知：在如圖，已知：在ABC中，中，B90，O是是AB上一點，以上一點，以O(shè)為圓心，為圓心，OB為半徑的圓交為半徑的圓交AB于點于點E，切，切AC于點于點D。求證：。求證：DEOC證明：連接證明：連接，為，為 的半徑的半徑是是 的切線的切線是是 的切線，是切點的切線，是切點，是是 的直徑的直徑，即，即例1、已知：PA，PB分別切 O于A、B，CD切 O于E,PO=13,AO=5,則PCD周長為 _ ?D?O?P?B?A?C切線長定理的應(yīng)用解：PA是切線APAO又PO=13，AO=5AP=12又 PB是切線 PB=PA=12又 CD是切線

10、 DA=DE，CE=CB PCD周長=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE =PA+PB =24E練習(xí)練習(xí)1、如圖，如圖，PA、PB分別切圓分別切圓O于于A、B，并與，并與 O的切線的切線DC分別相交于分別相交于C、D，已知，已知PA=7cm，則，則PCD的周長等于的周長等于_?B?A?C?D?P?O切線長定理的應(yīng)用。PBAO（3）連結(jié)圓心和圓外一點）連結(jié)圓心和圓外一點（2）連結(jié)兩切點）連結(jié)兩切點（1）分別連結(jié)圓心和切點）分別連結(jié)圓心和切點常見輔助線常見輔助線已知：如圖已知：如圖,PA,PA、PBPB是是OO的切線，切點分別的切線，切點分別是是A A、B B，Q Q為為ABAB上一點，過

11、上一點，過Q Q點作點作OO的切線，的切線，交交PAPA、PBPB于于E E、F F點，已知點，已知PA=12CMPA=12CM，求，求PEFPEF的周長。的周長。EAQPFBO易證易證EQ=EA,?FQ=FB,EQ=EA,?FQ=FB,?PA=PB?PA=PB?PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周長為24cm 變式：變式：如圖所示如圖所示PA、PB分別切分別切圓圓O于于A、B，并與圓，并與圓O的切線分別相交于的切線分別相交于C、D，已知，已知PA=7cm，(1)求求PCD的周長的周長(2) 如果如果P=46,求求COD的度數(shù)的度數(shù)C?

12、? OPBDAE 如圖是一塊三角形木料，木工師傅要如圖是一塊三角形木料，木工師傅要從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？的圓的面積盡可能大呢？ABC三角形的內(nèi)切圓的定義：三角形的內(nèi)切圓的定義：ABC和三角形各邊都相切的圓叫和三角形各邊都相切的圓叫三角三角形的內(nèi)切圓形的內(nèi)切圓? ?三角形叫三角形叫圓的外切三角形圓的外切三角形 如圖，是一張三角形的鐵皮，如何在它如圖，是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且使圓的面上面截下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大呢？積盡可能大呢？ICABDEF I I與與ABCABC的三邊的三邊

13、相相切切于點于點D D、E E、F.F.因此因此ID=IE=IF=IID=IE=IF=I的半徑的半徑r r. .問題：問題：作圓的關(guān)鍵是什么？作圓的關(guān)鍵是什么？問題：問題：怎樣確定圓心的位置？怎樣確定圓心的位置？問題：問題：圓心的位置確定后怎樣確定圓的半徑？圓心的位置確定后怎樣確定圓的半徑？ABC（確定圓心和半徑）（確定圓心和半徑）（作兩條角平分線，其交點就是圓心的位置）（作兩條角平分線，其交點就是圓心的位置）（過圓心作三角形一邊的垂線，垂線段的長就是圓的半徑）（過圓心作三角形一邊的垂線，垂線段的長就是圓的半徑） 作圓，使它和已知三角形的各邊都相切作圓，使它和已知三角形的各邊都相切已知：已知：

14、 ABC（如圖）（如圖）求作：和求作：和ABC的各邊都相切的圓的各邊都相切的圓問題問題: :在這塊三角形材料上還能裁下更大的圓嗎在這塊三角形材料上還能裁下更大的圓嗎? ?（不能）（不能）任何一個三角形都只有一個內(nèi)切圓任何一個三角形都只有一個內(nèi)切圓 如何作出這個圓？（尺規(guī)作圖）如何作出這個圓？（尺規(guī)作圖）ICABEDFu與三角形的各邊都相切的與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的圓叫做三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓，內(nèi)，內(nèi)切圓的圓心是三角形切圓的圓心是三角形三條角三條角平分線的交點平分線的交點，叫做三角形，叫做三角形的的內(nèi)心內(nèi)心。u三角形的內(nèi)心到三角形三三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。邊的距離相等。3、

15、以、以I為圓心，為圓心，ID為半徑作為半徑作 I， I就是所求的圓就是所求的圓. 作圓，使它和已知三角形的各邊都相切作圓，使它和已知三角形的各邊都相切已知：已知： ABC（如圖）（如圖）求作：和求作：和ABC的各邊都相切的圓的各邊都相切的圓ABCMNID作法：作法：1 1、作、作ABCABC、?ACBACB的平分線的平分線BMBM和和CNCN，交點為，交點為I.I.2 2、過點、過點I I作作IDBCIDBC，垂足為，垂足為D.D.三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等三角形的內(nèi)心是三角形角平分線的交點三角形的內(nèi)

16、心是三角形角平分線的交點三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部三角形內(nèi)心的性質(zhì)定義：和多邊形各邊都相切的圓定義：和多邊形各邊都相切的圓叫做叫做 ，這個，這個多邊形叫做多邊形叫做 。 多邊形的內(nèi)切多邊形的內(nèi)切 圓圓圓的外切多邊形圓的外切多邊形內(nèi)切內(nèi)切外切外切如上圖，四邊形如上圖，四邊形DEFG是是 O的的 四邊形，四邊形， O是四邊形是四邊形DEFG的的 圓，圓，DEFG.O思考思考:我們所學(xué)的平行四邊形，矩形，菱形，正方我們所學(xué)的平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四邊形一定有內(nèi)切圓？形，等腰梯形中，哪些四邊形一定有內(nèi)切圓？( (菱形，正方形一定有內(nèi)切圓菱形，

17、正方形一定有內(nèi)切圓) )例例2、如圖，四邊形、如圖，四邊形ABCDABCD的邊的邊ABAB、BCBC、CDCD、DADA和和圓圓OO分別相切于點分別相切于點L L、M M、N N、P P，?求證：求證：?AD+BC=AB+CD?AD+BC=AB+CDDLMNABCOP證明：由切線長定理得證明：由切線長定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC，?DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP? ?即即?AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC補充：補充：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等圓的外切四

18、邊形的兩組對邊的和相等1.1.一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓；一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓；2.2.一個圓有無數(shù)個外切三角形；一個圓有無數(shù)個外切三角形；3.3.三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平 分線的交點；分線的交點；4. 4. 三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。ABCO名稱名稱確定方法確定方法圖形圖形性質(zhì)性質(zhì) ABCO 內(nèi)內(nèi) 心心（三角形（三角形內(nèi)切圓的內(nèi)切圓的圓心）圓心）三 角 形 三三 角 形 三邊 中 垂 線邊 中 垂 線的交點的交點三角形三條三角形三條角平分線的角平分線的交點交點(1)OA=OB=OC(2)外心不一定

19、在外心不一定在三角形的內(nèi)部三角形的內(nèi)部（1）到三邊的）到三邊的距離相等；距離相等；（2）OA、OB、OC分別平分分別平分BAC、ABC、ACB；（3）內(nèi)心在三）內(nèi)心在三角形內(nèi)部角形內(nèi)部外外?心心( (三角形三角形外接圓的外接圓的圓心圓心) ) 如圖，在如圖，在ABC中，點中，點O是內(nèi)心，是內(nèi)心， （1）若）若ABC=50， ACB=70，求，求BOC的度數(shù)的度數(shù)ABCO（2 2）若）若A=80?A=80?, ,則則BOC=BOC=?度。度。（3 3）若）若BOC=100?BOC=100?，則，則A=A=?度。度。 BOC=180 -（ABC ACB）12 = 180 60 =120 同理同理

20、OCB= OCA=12ACB=35 解解（1）點點O是是ABC的內(nèi)心，的內(nèi)心，ABC= 25 OBC= OBA=12試探討試探討B(tài)OC與與A之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由請說明理由如圖，如圖，ABCABC中，中，ABC=50ABC=500 0, ,ACB=75ACB=750 0, ,點點O O是內(nèi)心，求是內(nèi)心，求BOCBOC的度數(shù)。的度數(shù)。CABO0000117.5OCBOBC180BOC37.5ACB21OCB25ABC21OBCO是內(nèi)心是內(nèi)心點點解：解： 思考：如果如果BDEFOCA如圖，如圖，ABC的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為r, ABC的周長為的周長為l

21、,求求ABC的面積的面積S.解：解：設(shè)設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，則則ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr設(shè)設(shè)ABC的三邊為的三邊為a、b、c，面積為，面積為S，則則ABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 r2Sabc三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計算三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計算三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓已知已知: :如圖如圖, ,ABCABC的面積的面積S=4cmS=4cm2 2, ,周長等于周長等于10cm.10cm.求內(nèi)切圓求內(nèi)切圓O O的半徑的半徑

22、r r. .ABCOODEFw老師提示老師提示: :wABCABC的面積的面積= =AOBAOB的面積的面積+ +BOCBOC的面積的面積+ +AOCAOC的面積的面積. .ABCEDFO如圖，如圖，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O為為RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓. 求：求：RtABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 r. 解：解：設(shè)設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)連結(jié)OD、OE、OF則則OAAC，OEBC，OFAB。abc2設(shè)設(shè)RtABC的直角邊為的直角邊為a、b，斜邊為，斜邊為c，則，則RtABC的的內(nèi)切圓的半徑內(nèi)切圓的半徑 r 或或r

23、abc2ababc直角三角形的內(nèi)切圓直角三角形的內(nèi)切圓已知已知: :如圖如圖, ,OO是是RtRtABCABC的內(nèi)切的內(nèi)切圓圓,C,C是直角是直角,AC=3,BC=4.,AC=3,BC=4.求求O O的半徑的半徑r r. . . 12543rABCOODEF1.1.已知三角形的內(nèi)切圓半徑為已知三角形的內(nèi)切圓半徑為3 3，三角形的，三角形的周長為周長為2020，則該三角形的面積為，則該三角形的面積為 。CABO2 2、RtRtABCABC中，斜邊中，斜邊AB=10cmAB=10cm，AC=6cmAC=6cm，則，則內(nèi)切圓半徑為內(nèi)切圓半徑為 . .ABCO3 3、如圖、如圖, ,ABCABC中，中，AB=AC=10cmAB=AC=10cm，BC=8cmBC=8cm，求求ABCABC的外接圓半徑的外接圓半徑r和內(nèi)切圓半徑和內(nèi)切圓半徑R. .CABDOI（A）梯形）梯形 （B）菱形）菱形 （C）矩形）矩形 （D）平行四邊形）平行四邊形1、下列圖形中，一定有內(nèi)切圓的四邊形是（、下列圖形中，一定有內(nèi)切圓的四邊形是（ ）2、如圖，、如圖，ABC中，中，E是內(nèi)心，是內(nèi)心，A的平分線和的平分線和ABC