五年級奧數(shù)題圖形的計(jì)數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖形的計(jì)數(shù)7.7. 在一塊畫有 4 4 4 4 方格網(wǎng)木板上釘上了 2525 顆鐵釘（如上右圖）, ,如果用線繩圍正方形，最多可以圍出_ 個(gè). .2.2. 如上右圖，0 0 為三角形 A A1A A6A A12的邊 A A1A A12上 的 一 點(diǎn),分 別 連 結(jié)0A0A2,0A,0A3, ,OAOA11,這樣圖中共有_ _3.3.個(gè)三角形. .4 4. .如上右圖中共有數(shù)一數(shù)一共有（一共有（DCAB（1 1）6.6.如下左圖中，所有正方形的個(gè)數(shù)是6個(gè)梯形 學(xué)習(xí)必備歡迎下載8.8. 一塊相鄰的橫豎兩排距離都相等的釘板，上面有 4 4 4 4 個(gè)釘（如下左圖）. .以每個(gè)釘為頂點(diǎn)

2、，你能用皮筋套出正方形和長方形共_ 個(gè). .學(xué)習(xí)必備歡迎下載9.9._如下左圖, ,方格紙上放了 2020 枚棋子,以棋子為頂點(diǎn)的正方形共有_ 個(gè). .10.10._ 數(shù)一數(shù),如上右圖是由個(gè)小立方體堆成的. .要注意那些看不見的二、解答題11.11. 如下左圖中共有 7 7 層小三角形，求白色小三角形的個(gè)數(shù)與黑色小三角形的個(gè)數(shù)之比12.12. 如上右圖中，ABAB、CDCD、EFEF、MNMN 互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是多少?1313現(xiàn)在都是由邊長為 1 1 厘米的紅色、白色兩種正方形分別組成邊長為 2 2 厘米、4 4 厘米、8 8 厘 米、9 9厘米的大小不同的正方形、它們

3、的特點(diǎn)都是正方形的四邊的小正方形都是涂有紅顏色 的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要組成這樣4 4 個(gè)大小不同的正方形，總共需要紅色正方形多少個(gè)？白色正方形多少個(gè)？14.14.將SBCSBC 的每一邊 4 4 等分，過各分點(diǎn)作邊的平行線，在所得下圖中有多少個(gè)平行四邊形？學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載- 答 案-1 .30由例 1 注可知圖形中每邊有 3+2+1=6 （條）線段，因此整個(gè)圖形中共有6 5=30 條線段.2. 37將 ZAiA6Ai2分解成以 OA6為公共邊的兩個(gè)三角形0AIA6中共有 5+4+3+2+1=15（個(gè)）三角形，一 OA6A12中共有 6+5+4+3+2+

4、1=21（個(gè)）三角形，這樣，圖中共有 15+21+1=37（個(gè)）三角形3. 15這樣的問題應(yīng)該通過分類計(jì)數(shù)求解此題中的三角形可先分成含頂點(diǎn)C 的和不含頂點(diǎn) C 的兩大類含頂點(diǎn) C 的又可分成另外兩頂點(diǎn)在線段AB 上的和在線段 BD 上的兩小類.分類圖解如下：所以原圖有（3+2+1）+（3+2+1）+3=15（ 個(gè)）三角形.4. 18梯形一共有三行，每行都有 3+2+仁 6（個(gè)）,所以一共有 6 3=18（個(gè)）梯形.5. 108,36（1）因?yàn)殚L方形是由長和寬組成的，因此可分別考慮所有長方形的長和寬的可能種數(shù).按照前面所介紹的線段的計(jì)數(shù)方法可分別求出長和寬的線段條數(shù)，將它們相乘就是所有長方形的個(gè)

5、數(shù).因?yàn)?AB 邊上有 8+7+6+2+1=36 條線段，AD 邊上有 2+1=3 條線段，所以圖中一共有 36 3=1082 2個(gè)長方形（2）三角形一共有 6 行，每行都有 3+2+仁 6（個(gè)），所以一共有 6 6=36（個(gè)）三角形.6. 30由例 5 注可知整個(gè)圖形中共有12+22+32+42=30 個(gè)正方形.7. 50此類問題一般用分類方法計(jì)數(shù).對正方形的邊長分八類計(jì)數(shù)如下：邊長為 AB 的正方形有 16 個(gè)；邊長為 AC 的正方形有 9 個(gè)；邊長為 AD 的正方形有 4 個(gè)；邊長為 AE 的正方形有 1 個(gè)；邊長為 DF 的正方形有 9 個(gè)；邊長為 CF 的正方形有 8 個(gè)；邊長為 B

6、F 的正方形有 2 個(gè)；CAD學(xué)習(xí)必備歡迎下載邊長為 CG 的正方形有 1 個(gè).所以，最多可圍出 50 個(gè)正方形.學(xué)習(xí)必備歡迎下載28. 44因?yàn)檎叫问翘厥獾拈L方形，所以可以把正方形看成長方形，這樣就不必分別求正方形和長方形的個(gè) 數(shù),仍用分類計(jì)數(shù)的方法求解先考慮有一組對邊平行于BC 的長方形有多少個(gè)這一類按其水平邊的位置可分為6 小類，即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC.同樣,其豎直邊也分為 6 類.所以這一類有 6 6=36 個(gè)長方形另一類是沒有邊平行于 BCBC 的. .這一類又分類兩小類，分解圖如下頁圖所示，其中分別有 6 6 個(gè)和2 2 個(gè)長方形 所以，一共可套出正方形和長方

7、形36+6+2=44 個(gè).9.21以正方形的面積大小分類計(jì)數(shù).設(shè)相鄰兩點(diǎn)的距離為1,則正方形面積為 1 的有 9 個(gè)；面積為 2 的有 4 個(gè)；面積為 5 的有 2 個(gè)；面積為 8 的有 4 個(gè)；面積為 13 的有 2 個(gè)；所以，共有 9+4+2+4+2=21 個(gè)正方形.10.30將原立體圖形從左至右分類計(jì)算，共有11+7+5+7=30 個(gè).(1 +6) X 611.白色小三角形個(gè)數(shù) =1+2+3+6=21,2D學(xué)習(xí)必備歡迎下載黑色小三角形個(gè)數(shù) =1+2+3+7= =28,21213 3所以它們的比=.2828 4 412.解法一本圖中三角形的個(gè)數(shù)為(1+2+3+4) 4=40(個(gè)).下面求梯

8、形的個(gè)數(shù).梯形由兩底唯一確定.首先在AB, CD, EF, MN 中,考慮兩底所在的線段，共有(43) “ 2=6(種)選法；對上述四條線段中確定的兩條線段，共有 10( 10=4+3+2+1)個(gè)梯形.共 60 個(gè)梯形.故所求差為 20.解法二在圖 三中可數(shù)出 4 個(gè)三角形,6 個(gè)梯形，梯形比三角圖形圖形多2 個(gè).而在題圖中，這種恰有 10 個(gè).故題圖中，梯形個(gè)數(shù)與三角形的個(gè)數(shù)之差為2 10=20(個(gè)).13.邊長 2 厘米的正方形：2 2=4(個(gè))紅色邊長 4 厘米的正方形(4-1)4=12(個(gè))紅色(4-2)(4-2)=4(個(gè))白色邊長 8 厘米的正方形(8-1)4=28(個(gè))紅色(8-2

9、)(8-2)=36(個(gè))白色邊長 9 厘米的正方形(9-1)4=32(個(gè))紅色(9-2)(9-2)=49(個(gè))白色所以，紅色小正方形共有4+12+28+32=76(個(gè))白色小正方形共有4+36+49=89(個(gè))注本題的要求是由邊長為 1 厘米的紅色和白色兩種正方形，分別組成邊長是 2 厘米,4 厘米,8 厘米,9厘米的大小不同的正方形，可以看作方陣問題來解四周的小正方形是涂紅色的，可看成是空心方陣，因此，涂紅色正方形的個(gè)數(shù)等于4 (n-1).其他小正方形是涂白色的，可當(dāng)作實(shí)心方陣，所以，涂白色的正方形的個(gè)數(shù)等于(n-2) (n-2).比如，由邊長為 1 厘米的正方形組成邊長為 9 厘米的正方形

10、，涂紅色的小正方形的 個(gè)數(shù)是:4(9-1)=32(個(gè)),涂白色的小正方形的個(gè)數(shù)是：(9-2)(9-2)=49(個(gè)).14.將平行四邊形分為三類：尖角在上、下方；尖角在左下、右上方；尖角在左上、右下方.就第類而言：込型6 個(gè)；型”3 個(gè)，與其對稱的 3 個(gè)；型 1 個(gè)，與其對稱的 1 個(gè)； 一_：型 1 個(gè)；共 15 個(gè).同理,第、類也分別含 15 個(gè)，故上述 三類平行四邊形共 45個(gè).注這樣數(shù)平行四邊行，很麻煩，又易出錯(cuò).我們試圖找到一種對應(yīng)關(guān)系：先考慮任一邊不與 BC 平行的 平行四邊形，延長各邊必與 BC 有 4 個(gè)交點(diǎn)，特殊情況下，第二個(gè)交點(diǎn)與第三個(gè)交點(diǎn)重合；反過來， BC 上的 任意四點(diǎn)或三點(diǎn)決定一個(gè)平行四邊形，也就是說，邊不