高等數(shù)學(xué)實(shí)用教程(第六章)

1、24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐1第六章第六章 常微分方程及其應(yīng)用常微分方程及其應(yīng)用24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐2第六章第六章 常微分方程及其應(yīng)用常微分方程及其應(yīng)用6-1常微分方程問題及基本概念6-2微分方程求解*6-3建立微分方程模型24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐3一、常微分方程問題6-1常微分方程問題及基本概念例例1鐳的衰變問題鐳的衰變問題鐳的衰變有如下的規(guī)律：鐳的衰變速度與鐳所現(xiàn)存的量R成正比有經(jīng)驗(yàn)材料斷定，鐳經(jīng)過(guò)1600年后，只余原始量R0的一半求鐳的量R與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系解：解：由題意得 )2(2)1600()0() 1 (dd00RR

2、RRkRtR（1）式為列出的含有要找的函數(shù)R(t)及其導(dǎo)數(shù) 的關(guān)系，通過(guò)此關(guān)系可求出R(t)的函數(shù)關(guān)系tRdd24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐4例例2降落傘下落速度問題降落傘下落速度問題設(shè)降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘離開塔頂（t=0）時(shí)的速度為零，求降落傘下落速度與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系（圖6-1）解：解：設(shè)降落傘在時(shí)刻下落速度為v(t)，所受空氣阻力為fkvfmgp 圖6-1由題意得： （負(fù)號(hào)表示阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反，k為常數(shù)）kvf分析傘在下降過(guò)程中受力情況得： mafmg6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐5)4(0)

3、0()3(ddvkvmgtvm則得： （3）式為列出的含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，通過(guò)此關(guān)系可求出的函數(shù)關(guān)系以上問題均是根據(jù)問題所提供的情況，列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，然后通過(guò)這種關(guān)系求出函數(shù)關(guān)系6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐6二、常微分方程的基本概念定義：定義：凡表示未知函數(shù)與未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程微分方程如果在一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只有一個(gè)自變量，這個(gè)微分方程就叫做常微分方程常微分方程 由于本章只涉及常微分方程，所以以后把常微分方程簡(jiǎn)稱為微分方程或方程 6-1常微分方程問題及基本概念24351/1

4、95數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐7微分方程的階微分方程的階：微分方程所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階數(shù)，叫做微分方程的階線性微分方程線性微分方程：當(dāng)微分方程中所含的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)全是一次冪時(shí)，微分方程就稱為線性微分方程常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程：在線性微分方程中，若未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)全是常數(shù)，則稱這樣的微分方程為常系數(shù)線性微分方程如：如：上兩例中的（1）、（3）兩式均為一階常系數(shù)線一階常系數(shù)線性微分方程性微分方程 6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐8例例3指出下列各方程那些是微分方程，并指出微分方程的階數(shù)，指出哪些是線性微分方程，那些是

5、常系數(shù)線性微分方程： ；02)()(2xyyyxA02)(2 yxyyxBxyyxC22)(210)(xyyyD 02cos)()3(xyyE0d)(d)(2222yyxxyxF6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐9解：（A）、（B）、（D）、（E）、（F）均為微分方程（A）為一階非線性一階非線性微分方程；（B）為三階三階線性線性微分方程；（D）為二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性微分方程；（E）為三階非線性三階非線性微分方程；（F）為一階非線性一階非線性微分方程6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐10例4 一曲線通過(guò)點(diǎn)

6、 (1,2),且該曲線上任意點(diǎn)P(x,y)處的切線斜率等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)平方的3倍,求此曲線的方程.(2) ).2) 1 ( 2| )()2 , 1 (1yyxyyx或記作應(yīng)滿足條件：，故又因曲線通過(guò)點(diǎn)(1) d3d 2xxy 即 ,3dd2xxy由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得設(shè)所求曲線的方程為. )(xyy 解6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐11，即式，有代入把條件112 )3()2(3CC(4) 1 3 xy于是，所求曲線方程為(3) ).( d3 ) 1 (32為任意常數(shù)式兩端求不定積分，得把CCxxxy6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)

7、用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐12例5 設(shè)有一質(zhì)量為m的物體，從空中某處，不計(jì)空氣阻力而只受重力作用由靜止?fàn)顟B(tài)自由降落.試求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(即物體在自由降落過(guò)程中，所經(jīng)過(guò)的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系).速度的乘積，于是得與加應(yīng)等于物體的質(zhì)量重力物體上的外力第二定律可知，作用在根據(jù)牛頓路程為所經(jīng)過(guò)的設(shè)物體在時(shí)刻 )(),( mmgtsst解6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐13.(5) dd dd 2222是重力加速度其中，即ggtsmgtsm，將上式改寫為gtstdddd ，因此可得tgtsdddd (6) . 0dd 0 :)(00tttsstss，滿足條件還

8、應(yīng)由降落，所以由于物體由靜止?fàn)顟B(tài)自6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐14(7) ddd )5(1，式兩端積分一次，得對(duì)Cgttgts，式，可得式和入式中的兩個(gè)條件分別代把00 )7()8()6(21CC. ,(8) 21d)( 212121是兩個(gè)任意常數(shù)其中，再對(duì)上式兩端積分，得CCCtCgttCgts21 . (9)2sgt于 是 ， 所 求 的 自 由 落 體 的 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律 為6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐15 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解.微分方程的解、通解與特解 3Cxy例如

9、 1 3 xy和.d3d2的解都是xxy .dd22的解都是gts 21212CtCgts又如221gts 和6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐16不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解. 如果微分方程的解中含任意常數(shù),且獨(dú)立的(即不可合并而使個(gè)數(shù)減少的)任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解.dd22的通解是gts 21212CtCgts又如 3Cxy例如.d3d2的通解是xxy 13 xy例如.d3d2的特解是xxy 221gts 又如.dd22的特解是gts6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)

10、踐17 用以確定微分方程解中任意常數(shù)的特定條件，稱為微分方程的初值條件.,)( ,| )( ,| 00000000000都是已知值其中或，或記作yyxyxyyyyxyyyxxxx6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐18.)11( 1 , 0 )10( 04 )(ee 5 00212221的特解的特解程滿足初值條件：程滿足初值條件：的通解，并求此微分方的通解，并求此微分方二階微分方程二階微分方程是是為任意常數(shù)為任意常數(shù)，驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)例例 xxxxyyyyCCCCy，xxCCy2221e4e4例3，得，分別求一階及二階導(dǎo)數(shù)將函數(shù)xxxxCCyCCy222

11、12221e2e2 ee解6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐190e4e4e4e44 )10(22212221xxxxCCCCyy的左端，得把它們代入微分方程.)10(.)10(ee2221程的通解該方的階數(shù)相同，所以它是的個(gè)數(shù)與微分方程常數(shù)獨(dú)立的任意常數(shù)，任意又因這個(gè)解中含有兩個(gè)的解是所給微分方程所以函數(shù)xxCCy中，得及代入”分別”及“式中的條件把xxxxxxCCyCCyyy2221222100e2e2 ee 10:)11(6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐20.41411220 212121CCCCCC，

12、解得，).ee (41 22xxy初值條件的特解為于是所求微分方程滿足6-1常微分方程問題及基本概念24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐21三三、一階線性微分方程一階線性微分方程6-2微分方程求解一、形如一、形如y y( (n n) )= =f f( (x x) )型的微分方程型的微分方程四、二階常系數(shù)線性微分方程四、二階常系數(shù)線性微分方程二、可分離變量的微分方程二、可分離變量的微分方程24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐22) 1 ( )()(xfyn一、形如y(n)=f(x)型的微分方程，兩端積分一次，即得1)1(d)( Cxxfyn方程可改寫為，或xxfyxfyxnn

13、d)( )(d )()(dd)1()1(再積分一次，得，21)2(d)(CCxxfyn 依次積分n次，得方程(1)的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐23例例1列車在平直線路上以20米/秒的速度行駛；當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度-0.4米/秒2問開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停止，以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程？解：解：設(shè)列車開始制動(dòng)后t秒鐘內(nèi)行駛了s米由題意得： 20dd0)0(4 . 0dd022ttssts解微分方程： 4 . 0dd22ts6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐24等式兩邊求積分得： ）（1.4

14、. 0d4 . 0dd1Cttts再求積分得： )2.(2 . 0d)4 . 0(2121CtCttCts）兩式得：）（代入（將2120dd0)0(0ttss21020CC）兩式得：）、（代入（把210,2021CCtttstts202 . 0)(204 . 0dd2，則列車停止時(shí)0ddts) s (50t,204 . 00得t）（于是m5005020502 . 0)50(2s6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐25.sin2. 2的通解求微分方程例xxyxCxxyd)cos(12，3221432132cos121 dsin31CxCxCxxCxCxCxxy.,co

15、s121,23213221411都是任意常數(shù)其中，即得記CCCCxCxCxxyCC，213sin31CxCxx，次，得對(duì)所給方程依次積分三12cosd)sin2( Cxxxxxy解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐26二、可分離變量的微分方程二、可分離變量的微分方程特點(diǎn)特點(diǎn)：方程是一階微分方程；等式右邊可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積，其中一個(gè)是x的函數(shù)，另一個(gè)是y的函數(shù) 定義定義：形如：形如 的微分方程稱為可分離變量的微分方程 )()(ddygxfxy 解法解法：（分離變量）（分離變量）將方程化為等式一邊只含變量 y ，而另一邊只含變量x形式，即 xxfygyd)()(d

16、 0)( yg（兩邊分別積分）（兩邊分別積分）對(duì)上式兩邊求積分得： xxfygyd)()(d 不定積分算出后，就得到微分方程的解，把這種求解過(guò)程叫做分離變量法 6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐276-2微分方程求解例例3鐳的衰變問題鐳的衰變問題解上節(jié)例1中的微分方程 2)1600()0(dd00RRRRkRtR解：解：分離變量得： 兩邊分別積分得： tkRRdd tkRRdd)(ln111CktCkteCCeeRCktR 2)1600(,)0(00RRRR 將將2C,016000ReCRk 代入得：代入得：000433. 01600ln2k,0 RC解解得得：t

17、eRR000433. 00 則得：則得：24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐28例例4降落傘下落速度問題降落傘下落速度問題解上節(jié)例2中的微分方程 0)0(ddvkvmgtvm解：解：分離變量得： 兩邊分別積分得： mddtkvmgv mddtkvmgv)1(e)(ln111kCtmkekCCkmgvCmtkvmgk kmgC 帶帶入入得得：將將0)0(v)1(vtmkekmg 則則得得：6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐29.2dd5的通解求微分方程例xyxy，兩端同時(shí)積分xxyyd2d ，即，得2112eee| |ln 12xCCxyCxy，或記作21

18、ee xCy.e ,e21xCCyC則有若記，原方程分離變量得xxyyd2d 解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐30.0d)1 (d)1 (6 22的通解求微分方程例yyxxyx，兩端積分，有122d1d1 Cxxxyyy，得兩端同除以xxxyyyyxd1d1)1)(1 (2222，積分后得122)1ln(21)1ln(21 Cxy，即即表表示示為為把把任任意意常常數(shù)數(shù))0( ln21)1ln(21)1ln(21 ,ln21221 CCxyCC).1 (1 22xCy化簡(jiǎn)得，移項(xiàng)得xyxyyxd)1 (d)1 ( 22解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)

19、用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐31.60dcos) 1(dsin27 12的特解條件滿足初值求微分方程例xyyyxxyx12d12dsincos Cxxxyyy兩端積分，有).( sin) 1( 2是任意常數(shù)其中化簡(jiǎn)得所給方程的通解CCyx)ln, 0( ln) 1ln(sinln 12CCCCxy積分后，有，由原方程得xxxyyyd12dsincos 2解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐32，即代入通解中，得把初值條件1 ,6sin) 11 ( 621CCyx. 1sin) 1( 2yx值條件的特解為于是，所求方程滿足初6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)

20、踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐33.3 , 1:12002的特解滿足初值條件求微分方程xxyyyxxy，兩端積分得12ln)1ln(ln Cxp這是可分離變量的一階微分方程，分離變量得，xxxppd12d2例8.12dd dd2pxxxpxpypy，代入原方程得，則設(shè)解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐34，代入上式，得以3 3100Cpyxx. 1 120Cyx代入，得再以. )1 ( )1 ( 2121xCyxCp即，化簡(jiǎn)得. )1 (3 2xy,3 d)1 (3232Cxxxxy這是一階微分方程，積分一次，得.133xxy所求特解為6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)

21、應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐35三、三、 一階線性微分方程一階線性微分方程定義：形如的方程稱為一階線性微分方程，其中P(x)，Q(x)是已知函數(shù).(1) )()(ddxQyxPxy)()(ddxQyxPxy 為一階非齊次線性微分方程。，則稱，則稱如果如果0)( xQ，則稱，則稱如果如果0)( xQ0)(dd yxPxy為一階齊次線性微分方程，6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐36例如，方程xyxxysin1dd是一階線性微分方程；而右端 ，因此它是一階線性非齊次方程.它對(duì)應(yīng)的齊次方程就是0sin)(xxQ，01ddyxxy而方程xxyyxyyyxxyxln2 ,e)(

22、 ,dd222等，都不是線性方程.6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐376-2微分方程求解解法：解法：（1）齊次線性微分方程 是可分離變量的微分方程，用分離變量法求解0)(ddyxPxy分離變量得： xxPyy)d(d兩邊分別積分得： xxPyy)d(d1)d(lnCxxPy)()()d()d(xxPxxPexFxCFCey 就是齊次線性微分方程 的通解 )(xCFy 0)(ddyxPxy24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐38一階線性非齊次微分方程的求解步驟如下:1.先求(2) 0)(ddyxPxy的通解：分離變量后得xxPyyd)(d，的形式，得任意

23、常數(shù)寫成CxxPyClnd)(ln ln(3) ed)(，xxPCy化簡(jiǎn)后，方程(2)的通解為其中C為任意常數(shù).6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐392.利用“常數(shù)變易法”求線性非齊次方程(1)的通解：設(shè)(4) e )()d(，xxPxCy是方程(1)的解，其中C(x)為待定常數(shù),將(4)式求其對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，得，xxPxxPxCxPxCxy)d()d(e )()(e )(dd 6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐40化簡(jiǎn)后，得，xxPxQxCd)(e )()(5) de )()(d)(，CxxQxCxxP將上式積分，得其中C為任意常數(shù).(

24、6) ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解為代入方程(1)中，得，)(e)()( e)()(e)()d()d()d(xQxCxPxCxPxCxxPxxPxxP6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐41 通過(guò)把對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出線性非齊次方程的通解，這種方法稱為常數(shù)變易法常數(shù)變易法.6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐426-2微分方程求解用常數(shù)變易法求一階非齊次線性方程的通解得步驟為：步驟為：先用分離變量法求出非齊次線性微分方程所對(duì)應(yīng)的齊先

25、用分離變量法求出非齊次線性微分方程所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解次線性微分方程的通解 )(xCFyc 設(shè)非齊次線性微分方程的通解為設(shè)非齊次線性微分方程的通解為 )()(xFxCy 代入非齊次線性微分方程得代入非齊次線性微分方程得 )()()(xQxFxC 求出求出 ，并寫出非齊次線性微分，并寫出非齊次線性微分方程的通解方程的通解 xxFxQxCd)()()(24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐436-2微分方程求解例質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度問題例質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度問題設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度等于零的時(shí)刻起，有一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向一致，大小與時(shí)間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用于它，此外還受一與

26、速度成正比（比例系數(shù)為k2）的阻力作用求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系解：解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為 ，與運(yùn)動(dòng)方向一致的力作用力為F，所受阻力為R，質(zhì)點(diǎn)受力情況如圖6-2)(tvRFmRFmRFm由題意得： vkRtkF21,24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐44根據(jù)牛頓第二定律得： tvmRFddtvmvktkdd21則：0)0(v初始條件為：上式為一階線性微分方程，標(biāo)準(zhǔn)形式是 tmkvmktv12dd解對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程 0dd2vmktvtmkcCevCtmkvtmkvvtmkvv21222lndddd6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用

27、與實(shí)踐45的解為：tmkvmktv12dd設(shè)非齊次線性微分方程 tmketCv2)(tmketCtmk12)(代入方程得：CekmtekketkmmkttemktCtmktmktmktmk)(dd)(2222221211則：tmktmktmktmkCekmtkkeCekmtekktv2222)()()(221221得：代入將)(0)0(tvv,0221Ckmk221kmkC 得6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐46)1 ()()(2222121221221tmktmkekmktkkekmkkmtkktv則：)1 ()(222121tmkekmktkktv答：答：質(zhì)

28、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是 6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐47.e22dd2的通解求微分方程xxxyxy這是一階線性非齊次微分方程.，即分方程為原方程所對(duì)應(yīng)的齊次微解法xxyyxyxyd2d , 02dd 1，Cxylnln 2，由常數(shù)變易法得2e )( xxCy.e 2xCy即例86-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐48，代入原方程得及將2222e2e )(2e )(2e )( ddxxxxxxxCxxCxCxyy，化簡(jiǎn)得xxC2)( .d2)( 2為任意常數(shù)其中，積分得CCxxxxC.e )(22xCxy故得原線性非齊次微分

29、方程的通解為，則22e )(2e )( dd xxxxCxCxy6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐49解法2 直接用通解公式(6).，2e2)(,2)(xxxQxxP代入公式(6),Cxxyxxxxxdee2ed2d22得所求線性非齊次方程的通解為Cxxxxxdee2e222. )(ed2e222CxCxxxx6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐50.edd的通解求微分方程xxyxyxxxQxxPe)(,1)(代入公式(6),得所求線性非齊次方程的通解為Cxyxxxxxdeeed1d1Cxxxxde1Cxxxxdeeeln1ln0 ),

30、ee(1xCxxxx. 0 ,ee xxCxyxx或?qū)懗衫?xyxxyxe1dd 0 時(shí)，把原方程改寫為當(dāng)解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐51.0)0(1sincos 的特解滿足初值條件求微分方程yxyxyxxQxxPsec)(tan)(，代入公式(6),得所求線性非齊次方程的通解為Cxxyxxxxdeseced)tan(d)tan(CxxxxCxxxxdcosseccos1desececoslncosln例10，把原方程改寫為xxyysectan 解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐52.seccos , 00)0(xxxxyC

31、y故得所求特解為代入通解中，得),(cos1dcos1CxxCxx6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐53.dd3的通解求微分方程yxyxy對(duì)于未知函數(shù)x(y為自變量)來(lái)說(shuō)，所給方程就是一階線性非齊次方程，對(duì)未知函數(shù)x的一階線性非齊次方程(8) )()(ddyQxyPyx 1dd23即，yxyyyxyx(7) ,1dd 2yxyyx例11對(duì)于未知函數(shù)y，它不是線性方程，但是方程可改寫為解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐54(9) de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP的通解公式為方程(7)中， 代入(9)式，即得所求上述方程的

32、通解為2)(,1)( yyQyyPCyyxyyyydeed12d1Cyyyydeeln2ln.2d212CyyCyyyy6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐55.e1的通解求微分方程xxyxy1d1d1deeeCxxpxxxxx這是一階線性非齊次方程，利用通解公式，可得例12，代入原方程，得，則設(shè)xxpxxpxpypye1dd dd解，)e(de11CxCxxxx1lnlndeeeCxxxxx6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐56，)e(dd 1CxxyxxxCxxCxyxxd)e( d)e(11于是有再積分一次，得原方程的通解為221

33、2e ) 1(CxCxx).2( e ) 1(11221CCCxCxx6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐57四、二階常系數(shù)線性微分方程 定義定義：形如 的微分方程（其中p、q為常數(shù)），稱為二階常系數(shù)線性微分方程)(xfqyypy 當(dāng) 時(shí)，有 稱其為二階二階常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程；當(dāng) 時(shí)，稱其為二二階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程 0)(xf0 qyypy0)(xf對(duì)于該類方程，有下述定理：定理定理1：（齊次線性微分方程解的疊加原理齊次線性微分方程解的疊加原理）若y1、y2是齊次線性微分方程 的兩個(gè)解，則 也是此方程的解，且

34、當(dāng)y1與y2線性無(wú)關(guān)（ （C是常數(shù)）時(shí)， 就是此方程的通解 0 qyypy2211yCyCyCyy212211yCyCy6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐58定理定理2：（非齊次線性微分方程解的解構(gòu)非齊次線性微分方程解的解構(gòu)）若yp為非齊次線性微分方程 的某個(gè)特解，yc為齊次線性微分方程 的通解，則 為非齊次線性微分方程的通解)(xfqyypy 0 qyypycpyyy6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐59. 02 e)(e)( 221的解，并寫出它的通解都是微分方程與驗(yàn)證yyyxyxyxx，及分別求導(dǎo)，得及對(duì)xxxxxxxyxyxy

35、xyxyxy222211221e4)(,e2)( e)(,e)( e)(e)(，程左端，得把它們分別代入所給方0e2e2e4 , 0e2ee 222xxxxxx.e)(e)(221都是原方程的解與故xxxyxy例2所給方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐60常數(shù)，xxxxyxy3212eee)()( ，是線性無(wú)關(guān)的兩個(gè)特解與xxxyxy221e)(e)( .,ee 21221是任意常數(shù)其中，為由定理得原方程的通解CCCCyxx6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐61)( e為常數(shù)ryrx把 代入方程(3)

36、，整理后得yyy及， 0)e(2，rxqprr，故得因0erx(5) 02，qprr稱一元二次方程(5)為二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的特特征方程征方程.是方程(3)的解，1.二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐62特征方程(5)的根為.24 22, 1qppr，是兩不相等的實(shí)根與24 ,24 , 04 (1)2221212qpprqpprrrq pxrxryy21ee21與于是都是方程(3)的解，且常數(shù)，xrrxrxryy)(121212eee即 線性無(wú)關(guān).因此方程(3)的通解為xrxryy21ee21與(6) ).,( ee2

37、12121為任意常數(shù)CCCCyxrxr6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐632 04)2(21212prrrrqp是兩相等實(shí)根與時(shí)，當(dāng)于是得到方程(3)的一個(gè)特解 ，須找出方程(3)的另一個(gè)特解y2，且xry1e1常數(shù)，12yy，設(shè))(e12xuyxr，整理都得代入方程及，將)3(222yyy，0)()2(e12111uqprrupruxr，故得由于0e1xr. 0)()2(1211uqprrupru6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐6402 0 )5(2 112121prqprrprr，的重根，是特征方程. 0 u于是前式成為，xr

38、xy1e2取u=x，于是得方程(3)的另一個(gè)特解xrxryy21ee21與線性無(wú)關(guān)，方程(3)的通解為(7) ).,( e )( ee 212121111為任意常數(shù)即，CCxCCyxCCyxrxrxr6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐65，其中，是一對(duì)共軛復(fù)根與時(shí)，當(dāng)024 ,2 i ,i 04 ) 3(221212pqprrrrqp e e i2i1xxyy與 ,sinicosei是方程(3)的復(fù)數(shù)形式特解.利用歐拉公式.sinicoseee,sinicoseeei2i1xxyxxyxxxxxx: 21寫為，將yy6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)

39、踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐66xyyyxyyyxxsinei 21cose21212211，再由定理可知，函數(shù)也是方程(3)的解，且,tancosesine21常數(shù)xxxyyxx)8( .sincose21xCxCyx即 線性無(wú)關(guān)，故得微分方程(3)的通解為21yy 與6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐67求二階常系數(shù)齊次線性微分方程(3)的通解步驟：1.寫出特征方程，并求出特征方程的兩個(gè)根；2 .根據(jù)兩個(gè)特征根的不同情況，按照公式(6)、(7)或(8)寫出微分方程的通解.可使用下表:6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐680qypyy02qpr

40、r兩個(gè)不相等的實(shí)根21rr 特征方程:微分方程:兩個(gè)相等的實(shí)根21rr 一對(duì)共軛復(fù)根)0(,21irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e )(21) sin cos(e21xCxCyx的兩個(gè)根r1,r2的通解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐69例3 求微分方程 . 032的通解yyy，有不相等的實(shí)根3 , 1 21rr.ee 321xxCCy通解為，0322 rr 解 其特征方程為即 (r+1)(r3)=0,6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐70.2dd 1| 0dd4dd4 0022的特解，滿足初值條件求微分方程tttsss

41、tsts，有兩個(gè)相同實(shí)根21 21 rr例4，特征方程為，原方程化為041 041 2rrsss解.e )( 221ttCCs故通解為6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐71，求導(dǎo)，得將上式對(duì)2222ee )1 (21dd ttCCtst，故，代入通解，得將2210e )1 ( 11tttCsCs.e321 2tts故所求特解為，代入上式得再將232dd20Ctst6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐72.032 的通解求微分方程yyy，有一對(duì)共軛復(fù)根i 21 2, 1r).2sin2cos(e 21xCxCyx通解為例5，特征方程為03

42、2 2 rr解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐73，mmmmmaxaxaxaxP1110 )(1. ，其中 是常數(shù)， 是x的一個(gè)m次多項(xiàng)式)(e)(xPxfmx)(xPm. )0(,)sincos(e)(. 2均是常數(shù)及，其中BAxBxAxfx2、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐74.e )(e )(2e )( e )(e )( 2*xxxxxxQxQxQyxQxQy，則型)(e)(. 1xPxfmx此時(shí)微分方程(1)成為(4) )(e，xPqypyymx， e )(*xxQy可設(shè)方程(4)的特解

43、為),(e*xPqypyyyyymx代入，將6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐75，得約去0ex(5) ).()()( )()2()(2xPxQqpxQpxQm ,e )(e )( e)()(e)()(2)(2xmxxxxPxqQxQxQpxQxQxQ分三種情形討論此式：(1)設(shè) 不是方程(4)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的特征方程的 根，即 .設(shè)方程(4)的一個(gè)特解為0 2qp xmxQye )(*6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐76.) 1()( 1101110個(gè)待定系數(shù)是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm 將 代入方程

44、(4)，比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，得到含有未知系數(shù) 的(m+1)個(gè)方程，由此定出(m+1)個(gè)未知系數(shù) ，從而得到方程(4)的特解 . yyy*,，mmbbbb，110*ymmbbbb，1106-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐77.) 1()( 1101110個(gè)待定系數(shù)是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm，xmxxQye )(*(2)設(shè) 是方程(4)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的特征方程的 單根，即 .設(shè)方程(4)的一個(gè)特解為02 0 2pqp， 將 代入方程(4)，比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，定出(m+1)個(gè)未知系數(shù) 得到方程(4)的特解 . yy*與m

45、mbbbb，110*y6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐78.) 1()( 1101110個(gè)待定系數(shù)是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm，xmxQxye )(2*(3)設(shè) 是方程(4)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的特征方程的重根，即 .設(shè)方程(4)的一個(gè)特解為02 0 2pqp， 將 代入方程(4)，比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，定出(m+1)個(gè)未知系數(shù) ,得到方程(4)的特解 . yy*與mmbbbb，110*y6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐79(3)當(dāng) 是對(duì)應(yīng)齊次方程的重特征根時(shí)，取k=2.小結(jié)：(4) )(e xPqy

46、pyymx對(duì)于二階常系數(shù)線性非齊次微分方程(4)，xmkxQxye)( *設(shè)方程(4)的特解為Qm是與Pm同次的多項(xiàng)式，即.)1(,)( 1210122110個(gè)待定系數(shù)是其中，mbbbbbbxbxbxbxbxQmmmmmmmmk的取法為(1)當(dāng) 不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根時(shí)，取k=0,(2)當(dāng) 是對(duì)應(yīng)齊次方程的單特征根時(shí)，取k=1,24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐80例2 求微分方程.e )2(322的一個(gè)特解xxyyy，此取不是特征方程的根，因02k. 1, 3 , 032 212rrrr解得特征方程為xbxby210*e )( 設(shè)特解為.e )(4e4 ,e )(2e 2102

47、0*21020*xxxxbxbbybxbby032 2, 2)( ,e )(e )2()( 112yyyxxPxPxxfxx對(duì)應(yīng)齊次方程為，其中解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐81，得代入所給方程，約去，將2)32(3 ,e1002*xbbxbyyyx，98 ,31 10bb 23213,100，得同次冪的系數(shù)比較兩端bbbx.e9831 2*xxy特解為6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐82.e212的通解求微分方程xyyy. 1,21)( ,e )(e21)(00 xPxPxfxx則而.e )(21xxCCY121 rr，故得

48、對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為0122 rr的特征方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程02yyy解而 是特征方程的重根，取k=2.因此，設(shè)1.e2*xbxy 例36-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐83，則xxbxbxbybxbxye )42(* e )2(* 22.e41 2*xxy 故求得一個(gè)特解為，即代入所給方程，得，將41 212 *bbyyy.e41e )( * 221xxxxCCyYy為因此，所給方程的通解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐84.1)0(, 0)0(32 2的特解滿足初值條件：求微分方程yyxyy(1)先求所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解

49、Y.，有兩個(gè)不同的實(shí)根，特征方程為1, 0 0 212rrrr(2)再求所給方程的一個(gè)特解y*.，取是特征方程的一個(gè)單根10k.e 21xCCY故得. 0, 32)(32)(222xxPxxf，則解例46-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐85，因此，設(shè)xbxbxbbxbxbxyx2213002120e )(* ，即，代入所給方程，得把32)2()26(3 32)23()26( *,*,22110202212010 xbbxbbxbxbxbxbbxbyyy，的同次冪項(xiàng)的系數(shù)，得比較上式兩端. 3202623 21100bbbbbx.26* 23* 102120bxby

50、bxbxby，6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐86，故得所給方程的特解為xxxy23232* . 142e 22xxCyxx求導(dǎo)，得將上面的通解對(duì)，解得1232 210bbb.232e * 2321xxxCCyYyx為因此得所給方程的通解6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐87. 22 110 1)0(, 0)0(21221CCCCCyy，即得，得分別代入通解及上式，把.232e22 23xxxyx于是得所求特解為. 2232e2 23xxxyx或6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐88型xBxAxfsincos)(. 2(6) sincosxBxAqypyy; 0 )6(i) i (k取征根時(shí)，所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特不是方程當(dāng)此時(shí)，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程(1)成為., 0,不同時(shí)為零是實(shí)常數(shù)，且其中BABA，)sincos(*xbxaxyk方程(6)有如下形式的特解其中a，b為待定系數(shù)，k的取法如下： . 1 )6(i)ii(k取征根時(shí)，所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特是方程當(dāng)6-2微分方程求解24351/195數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐89) 1 ( )( )(，為常數(shù)，qpxfqyp