三角恒等變換、正余弦定理及應(yīng)用5—7講

1、第5講兩角和與差的正弦、余弦和正切【2021年高考會這樣考】1 .考查利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式進行三角函數(shù)式的化簡與求值.2 .利用三角公式考查角的變換、角的圍.【復(fù)習指導(dǎo)】本講復(fù)習應(yīng)牢記和、差角公式及二倍角公式,準確把握公式的特征,活用公式 (正用、逆用、 變形用、創(chuàng)造條件用)；同時要掌握好三角包等變換的技巧,如變換角的技巧、變換函數(shù)名稱 的技巧等.K.AOJI2IZHLJ DAOXU E -,一,一一一 1Q1 * 考基自主導(dǎo)學(xué)曲雷君記：教學(xué)相長根底梳理1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)C( b)：cos(aB )=cos_ acos_ B+ sinasin

2、B ；(2)C()：cos(a+0 );cos acos B sinasin且；(3)S( + b)：sin(a+B )=sinacos B+ cosasin且；(4)S( b)：sin(aB )=sinacos_B cos_asin 且；tan a +tan B(5)T( + b)： tan( 01 + 6) = ,a；' ''11 tan a tan Btan a tan B(6)T(“ b)： tan( a p )=;-.1 + tan a tan B2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2 ： sin 2 a = 2sin a cos&(2)C

3、2 ： cos 2 a = cos1 + cos 2 a(2)cos a =2, a sin 2 a = 2cos2 a 1 = 1 2sin 2 a ;(3)T 2 :tan 2 a2tan a> Z-2-1 tan a3 .有關(guān)公式的逆用、變形等tan a士 tan B =tan( a士 B )(1 ? tan a tan 3 );21 cos 2 asin a -2；(3)1 + sin 2 a = (sin a+ cos a)2,1 sin 2 a = (sin a cos a)2,sin a ± cos a = 42sin,冗a ±T .44 .函數(shù) f (

4、 a ) =acos a +bsin a (a, b 為常數(shù)),可以化為 f ( a ) =,a2+ b2sin( a + 小)或f ( a ) =«+ b2cos( a 小),其中小可由a, b的值唯一確定.助考檄博兩個技巧(1)拆角、拼角技巧： 2a =(a + B) + (a B); a=(a + 0) 0; 0 = 一艮一"一萬艮.化箍技工一切化像一二 1 二的代換笠二三個變化(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角,其手法通常是“配湊.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱到達減少函數(shù)種類的目的,其手法通常有“切化弦、“開幕與降(3) 一變式一:根據(jù)式壬的結(jié)構(gòu)特征進

5、行變形,使縣里貼近某個公式或某個期待的一目標“其手法通 常有：“常值代換、“逆用變用公式、“通分約分、“分解與組合、“配方與平方雙基自測1 .(人教A版教材習題改編)以下各式的值為4的是()B. 1-2sin 75D. sin 15 cos 15A. 2cos2 77- 12tan 22.5C.1tan222.5解析 2cos 2左一1 = cos6= 2 ； 1 2sin 275cos 1502tan 22.51tan222.5tan 45=1; sin 15 cos 15= 2sin 30答案D2 . (2021)假設(shè)tan a =3,那么sn馬旦的值等于() cos aA. 2 B .

6、3 C . 4sin 2 a 2sin a cos解析 一2一 =2cos acos a= 2tan a=2X3 = 6,應(yīng)選 D.答案D3.sin2 Eo,那么 cos(37t2a等于A停19 C.解析cos2 2ot) cos2=一 (1 - 2sin 2 * a ) = 2sin 2a - 1=2X91 =19.答案B4. (2021、一 九)設(shè) sin -4- + 013'那么 sin 2 8=()7A -9C.D.解析sin 2=cos2 0 =2sin1 21=2X - 2- 1 =379.答案A5. tan 20+ tan 40+ 3tan 20tan 40解析.tan

7、600 =tan(20 0 +40tan 20+ tan 40.tan 20+ tan 40=tan 60(11 tan 20tan 40 0 '-tan 20tan 40 0 ) =,V3tan 20tan 40.原式=3- ；3tan 20tan 40+ 3tan 20tan 40 0 = 3/3.立巾 KAaXIANIi&TAN JIUDAOXI =球新雷同：案軻巽破02 * 考向探究導(dǎo)析1 1 - sin 22x212c2cos 2xc 冗、,一冗 、,_ 冗 2sin x cos x sin 2x1=2cos 2 x.方法總結(jié)?三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看原那么:1

8、1 一看“角,通過看角之間的差異與聯(lián)系,把角進行合理的拆分,從而正確使用公式；2二看“函數(shù)名稱,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式；3三看“結(jié)構(gòu)特征,分 析結(jié)構(gòu)特征,找到變形的方向.【練習11化簡:sin a + cos a 1 sin a cos a + 1sin 22sin -2cos 2sin 2-2 2sin -ycos2 + 2sin 2-2解原式:a a4sin 萬cos -cos aa . cos sin0coe 0coe萬 cosy+sin sin acos-cos acos2"2"- sin 2-2 sin -y cos s sin=cos- cos

9、 acosacos a2 a=tan .考向二三角函數(shù)式的求值a -萬=-9, sin一 一 一 一, 九 一【例20< B << a <九,且cos的化審題視點拆分角：紀/ = .%彳B ,利用平方關(guān)系分別求各角的正弦、余弦.解. 0< B < < a < 兀,. 九 a 八 九 冗B-I< 5- B < 萬,a 一萬 九, cos y- B = q1 一 sin 2 -2一 B =舍B _452=9'a + B cos2= cos acPaP +sin a sin -2=1x加+逑*2=電9X3 + 9X3 27, .co

10、s( a + B ) = 2cos1 2 " ；“49X 5239T = 2X 729 -1 = -729方法總結(jié)?三角函數(shù)的給值求值,關(guān)鍵是把待求角用角表示:(1)角為兩個時,待求角一般表示為角的和或差.(2)角為一個時,待求角一般與角成“倍的關(guān)系或“互余互補關(guān)系.【練習2】a冗0, "2" , sin4a =1,tan( a 0 ) 51求cos B的值. 37t7ta冗萬,又. tan( a B )=九 ° _一萬< a B < 0.12cos a=1 + tan (a B )10=5., c、 3 10. ,_10cos(a B)=

11、10 , sin( a B)=- 10.X sin a=,cos a =.55 .cos B =cos a ( a 0 )= cos a cos( a B ) + sin a sin( a B )3 3 10 4=一義 7 + -X5105105010;方.考向三三角函數(shù)的求角問題【例3】?cos1a = 7 , cos( ac、 13 L-c7tqeB ) =14,且 0< B < a <,求 B ,審題視點由cosB = cos a ( aB )解決.c 工 i. ,c、 13B < 2 .又 cos( a _ 0 ) :14,3 3147,二 sinsin( a

12、B ) =71 COS2a ( .COS B =cos a ( a 0)= cos c cos( a B)+ sin s sin( a - B)1=7X去羋x喏=； 147142一c九八0 0< B <_2". . . B方法總結(jié)?通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時,遵照以下原那么：正切函. - . . 兀 .數(shù)值,選正切函數(shù)；正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù)；假設(shè)角的圍是0,萬,選正、*、一一 冗 冗 ,、,、,余弦皆可；右角的圍是(0 ,冗),選余弦較好；右角的圍為 一萬,選正弦較好.【練習3】 民,B C ,萬,且tan a , tan B是方程x2 +

13、3/3x + 4 = 0的兩個根,求a + B的化解 由根與系數(shù)的關(guān)系得：tan a +tan B= 3/3, tan a tan B =4, .tan a <0, tan B <0,兀 < a + B <0.又 tan( a + B )=tan a + tan1 tana tan B 1 4=3.考向四三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例 4】? (2021 )函數(shù) f(x) = 2cos 2x+sin 2x.(1)求f彳的值； 3(2)求f (x)的最大值和最小值.審題視點先化簡函數(shù)y=f(x),再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.解(1) f 3 =2cos23 + sin 2"

14、;33=實用文檔(2) f(x)=2(2cos2x1)+(1 -cos2x)=3cos2x - 1, x C R . cos x 1,1,當cos x=±1時,f(x)取最大值2;當cos x = 0時,f (x)取最小值一1.方法總結(jié)?高考對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查還往往滲透在研究 三角函數(shù)性質(zhì)中.需要利用這些公式,先把函數(shù)解析式化為y = Asin(x+(|)的形式,再進一步討論其定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì).【練習4】 函數(shù)f (x) =2sin(兀x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；求f(x)在區(qū)間»上

15、的最大值和最小值.解：f(x)=2sin xcos x= sin 2 x(1) f(x)的最小正周期丁=2=兀. 冗冗(2) .一3<xw萬,九一 一一 § 0 2x< 九.一 sin 2 x0 1.2：3；f(x)的最大值為1,最小值為一.03步 考題專項突破者鏤晨示1名加解讀難點突破10一三角函數(shù)求值、求角問題策略面對有關(guān)三角函數(shù)的求值、化簡和證實,許多考生一籌莫展,而三角恒等變換更是三角函數(shù) 的求值、求角問題中的難點和重點,其難點在于：其一,如何牢固記憶眾多公式,其二,如 何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇適宜的求值、求角方法.一、給值求值一般是給出某些角的三角函數(shù)式的值,

16、 求另外一些角的三角函數(shù)值,解題的關(guān)鍵在于“變角, 如a=(a + B)B, 2a =(a + B)+(aB)等,把所求角用含角的式子表小,求解 時要注意角的圍的討論._ .九 一.tan x 【小例】 (2021 )tan x +7 =2,那么:一丁的值為45 tan 2 x 俚成求tan工樨溟羸宿錄插同窗證;而巢巨疝代藪支最訪 反感-求代數(shù)式比擬復(fù)雜.要注意先將代數(shù)式化簡, 餡比擬與所求之間的聯(lián)系 二、給值求角“給值求角：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值,關(guān)鍵也是變角,把所求角用含角的式子表 示,由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.1-1【小例】 2021 月考tan a B ;萬,tan

17、B = 7,且a , B C 0 ,兀,求2 a B的值.*求tan2a一汾的值 1* 先求 lan c = 3口L味一 3 -=t Q .、 tan 2c Ian 3, fh ：lan2d 3 = z-J = 11 Fl Ian a =r 1 -F lan 2對a口 口：；.4 60 *k知 a f >.由 lan 戶=_ : F E. n.知3 £ tt »二2以一日£幾0二2心3=一半 4解此類問題.以下兩個步驟缺二不可：1根 據(jù)題設(shè)條件,求用的集三年函數(shù)值幻討 *論角的他用必要時還需根據(jù)三角函數(shù) 能縮小角的落鼠從而確定角的太小.三角包等變換與向量的綜

18、合問題教師備選兩角和與差的正弦、余弦、正切公式作為解題工具,是每年高考的必考容,常在選擇題中以 條件求值的形式考查.近幾年該局部容與向量的綜合問題常出現(xiàn)在解做題中,并且成為高考 的一個新考查方向.【例如】 (2021 一模)向量a = (sin 8, 2)與b=(1, cos 8)互相垂直,其中9-一 九CO,萬.求sin 0和cos 0的值;(2)假設(shè) 5cos( 9 小)=347tq,.cos小,0<小 < ,求cos小的值.(1由Lil h得到sin rj與cos J的美系,再結(jié)合:3譏匕十005匕=1求解.(£)利用姜角公式展開：(D : d _L 氏二 sin

19、JX 1 +c- 21 X cos J = 0*1sin' J+ cqs! v1 1/. 4 cosE J+ cosE 3 = =>casf J =?.(2圖 5 cos【,一1 = 3 而t &s有.5(二05 凱8 1；十,in i'in 1=3 后gq0+ 2 后sin 丁 = ? JSc&s C05 if = 5ln I'."0 V Y g 一: 0、: - -y11要熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu),體會公式間即聯(lián)系,并衾靈活應(yīng)用.要重視平面向量的工具;作用% ¥ « S W第6講正弦定理和余弦定理【2021年高考會這

20、樣考】1 .考查正、余弦定理的推導(dǎo)過程.2 .考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀.3 .考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.【復(fù)習指導(dǎo)】1 .掌握正弦定理和余弦定理的推導(dǎo)方法.2 .通過正、余定理變形技巧實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換,解題過程中做到正余弦定理的優(yōu)化選 擇.K.AOJI2IZHLJ DAOXU E - ,一,一一一 1Q1 * 考基自主導(dǎo)學(xué)弗雷勢記：教學(xué)相長根底梳理、 a b c一. 一 1.正弦定理： 前方=而*= 曠C= 2R,其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為：(1) a ： b ： c=sin A ： sin B ： sin C；(2) a= 2Rsin A

21、, b = 2Rsin B, c = 2Rsin C(3)sin A=, sin B=, sin C=/等形式,以解決不同的三角形問題. 2R2R2R2 .余弦定理：a2=b2+c22bccos A, b2 = a2+ c22accos B, c2=a2+ b2 2abcos C.余弦定TA b2+c2 a2 c a2+c2 b2a2+ b2 c2理可以變形為：cos A= 12bc -,cos B= 12ac -,cos C= -2ab 一r(R是三角形外接圓半徑,3 . &abc=2absin C= Jbcsin A=:acsin B= -c='；(a+b+c) 2224R

22、 2是三角形切圓的半徑),并可由此計算R r.4 .兩邊和其中一邊的對角,解三角形時,注意解的情況.如a, b, A,那么A為銳角A為鈍角或直角圖形_四必 4k他IA.段也關(guān)系式a< bsin Aa= bsin Absin A< a<ba>baba< b解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解脅號微博一條規(guī)律在三角形中,大角對大邊,大邊對大角；大角的正弦值也較大,正弦值較大的角也較大,即在 ABC中,A> B? a>b? sin A> sin B.兩類問題在解三魚形時正弦定理史解決兩婁問題一：(1)一兩角一及任二邊一求其它邊或角(2)一 兩邊及二邊的對角

23、“一求其它邊或角,情況一一小結(jié)果支能有二解一兩ik一無 1L -應(yīng)注意區(qū)一分,余 弦定理過解決兇類問題;一-池邊及夾角.求第二邊和其他囪角；(2) -匕劃三邊,一求各角二 兩種途徑根據(jù)所紿條件確定三角.形的形狀,主要直兩種途徑;一化邊為角,一化角為邊,并常川一正我(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換二一雙基自測1.(人教A版教材習題改編)在4人3., A= 60° , B= 75° , a=10,那么c等于().A. 5 2B. 10,2C.1036D. 5 .6解析由 A+ B+ C= 180° ,知 C= 45° ,、一 a c由正弦JE理得：=7 =二 ,s

24、in A sin C10：. c =3210 ；63答案Csin A cos B 2.在 ABC中,假設(shè)0=不,那么B的值為.A 30° B . 45°C . 60° D . 90解析由正弦定理知:二 sinB= cos B,B= 45sin A cos Ba2 + b2-c2 C=-2ab實用文檔故C= 150°為三角形的最大角.答案150 0II* <AOXI ANGT ANJIItJDAOXI 一一一一 2.*ccUZ . 考向探究導(dǎo)析嫡忻豐向i家橫突碰考向一利用正弦定理解三角形【例 1】在4ABC中,a =,3, b=,2, B= 45&#

25、176; .求角 A, C和邊 c.審題視點兩邊及一邊對角或兩角及一邊,可利用正弦定理解這個三角形,但要注意解的判斷.解由正弦定理得 .a = . b 中=.磐., sin A sin B,sin A sin 45sin A= -2.va>b, :.A= 60° 或 A= 120° .當 A=60° 時,C=180° 45° 60° =75° ,bsin C J6 + J2c= = o ; sin B 2當 A=120° 時,C=180° 45° 120° =15° ,

26、bsin C /6_J2c=nnrB =2.方法總結(jié)?(1)兩角一邊可求第三角,解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)兩邊和一邊對角,解三角形時,利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角,這 是解題的難點,應(yīng)引起注意. _ , , _九 一.【練習 1】(2021 )在ABC中,假設(shè) b=5, /B= , tan A= 2,那么 sin A=； a =實用文檔答案255 2 10考向二 利用余弦定理解三角形【例2】在礪中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,且翁C 搐.(1)求角B的大小;(2)假設(shè)b=yi3, a+c=4,求 ABC的面積.cos B審題視點由cosz=b2,

27、利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解.解(1)由余弦定理知:a* 2+c2-b2 cos B=,2aca,、2得 b = (a+c) -2ac-2accos B, 13= 16-2ac+ b2 c2cos C=2ab將上式代入cos Bcos C2a+ c行： c 1_、 abc= 2acsinb_3.JB 4 .a2 + c2 b22ab方法總結(jié)?(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答此題的關(guān)鍵.(2)熟練運用余弦定理及其推論,同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用.【練習2】(2021 模擬)A, B, C為4ABC的三個角,其所對的邊分別為 a, b, c

28、,且2cos2cos A= 0.(1)求角A的值;(2)假設(shè) a=243, b+c=4,求 ABC的面積.解(1)由 2cos2,+ cos A= 0,得 1 + cos A+ cos A= 0,(2)由余弦定理得, a2 = b2+ c2 - 2bccos A, A=2,貝(J a2= (b+c)2-bc,又 a = 2<3, b+c = 4,有 12 = 42 bc,貝U bc = 4,1故S直 ABC=2bcsin A= 13.考向三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例 3】?在4ABC中,假設(shè)(a2+ b2)sin( A- B) = (a2 b2)sin C,試判斷 ABC勺形狀.

29、 審題視點首先邊化角或角化邊,再整理化簡即可判斷.解 由(a2+b2)sin( A B)=(a2 b2)sin C,得 b2sin( A B) + sin q = a2sin C sin( A B),即 b2sin Acos B= a2cos Asin B, 22即 sin Bsin Acos B= sin Acos Bsin B,所以 sin 2 B= sin 2 A, 由于A, B是三角形的角.故 0<2A<2 兀,0<2B< 2 兀.故只可能2A= 2B或2A=兀2B,即A= B或A+ B=5.故 ABC為等腰三角形或直角三角形.方法總結(jié)?判斷三角形的形狀的根本思

30、想是；利用正、余弦定理進行邊角的統(tǒng)一.即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式,然后利用三角包等變換得出角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只 含有邊的關(guān)系式,然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系.a b c . 一【練習3】 在ABC,假設(shè)那么AABCg().cos A cos B cos CA.直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形解析 由正弦定理得a = 2Rsin A, b = 2Rsin B, c=2Rsin qR為AB"卜接圓半徑).sin A sin B sin C:-=cos A cos B cos C即 tan A=tan B=tan C, . .A=B=C.答

31、案B考向三 正、余弦定理的綜合應(yīng)用_. ._. 一. . 兀【例3】?在 ABC中,角A, B, C對邊的邊長分別是a, b, c,c=2, C=.3(1)假設(shè)4ABC的面積等于3,求a, b； 假設(shè) sin C+ sin( B- A) =2sin 2 A,求 ABC的面積.審題視點第(1)問根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于a, b的方程,通過方程組求解；第(2)問根據(jù)sin C+ sin( B- A) =2sin 2A進行三角包等變換,將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān) 系,求出邊a, b的值即可解決問題.解(1)由余弦定理及條件,得 a2 + b2-ab = 4.廠 1廠a2+b2 ab= 4,

32、又由于 ABC的面積等于也所以2absin C=出,得ab= 4,聯(lián)立方程組正,解得a = 2, b = 2. 由題意,得 sin( B+ A) + sin( B A) =4sin Acos A, 即 sin Bcos A=2sin Acos A當cos A= 0,即A七時,bJ當 cos Aw 0 時,得 sin B= 2sin A, 由正弦定理,得b = 2a.聯(lián)立方程組a +b ab=4, b= 2a,解得所以 ABC的面積 S=；a bsin C= -r. 23方法總結(jié)?正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立,通過這些等式就可以 把有限的條件納入到方程中,通過解方程組獲得

33、更多的元素,再通過這些新的條件解決問題.【練習3】2021 西城一模設(shè) ABC的角A, B, C所對的邊長分別為a, b, c,且cos Bb = 2.當A= 30°時,求a的值； 當4ABC的面積為3時,求a+c的值.解1由于 cos B= 4,所以 sin B=3.55、 a b a 10由正弦止理 工= o,可得 , o ,sin A sin B,sin 303所以a=1. 3由于 ABC的面積 S=1ac sin B, sin B=3,253所以77ac=3, ac=10.10由余弦定理得b2=a2+c2 2accos B,得 4 = a2+ c2 8ac = a2+ c2-

34、 16,即 a2+ c2=20. 5所以a+c2 2ac = 20, a+c2=40.所以 a+c=2,10.03步 考題專項突破共報晨示1名加篇說閱卷報告4無視三角形中的邊角條件致錯【問題診斷】考查解三角形的題在高考中一般難度不大,但稍不注意,會出現(xiàn)“會而不對,對而不全的情況,其主要原因就是無視三角形中的邊角條件.,【防舉措】 解三角函數(shù)的求值問題時,估算是一個重要步驟,估算時應(yīng)考慮三角形中的邊角 條件.【例如】(2021 )在ABC中,a, b, c分別為角A, B, C所對的邊長,a= 8 b= " 1 + 2cos(B+ C) = 0,求邊 BC上的高.錯因 無視三角形中“大

35、邊對大角的定理,產(chǎn)生了增根.實錄由 1 + 2cos(B+ C)=0,1 1“冗知 cos A、,A=,23、一 a b 根據(jù)正弦定理si7k si得:sin B=bsin A 2IB4或/以下解答過程略.正解 : 在 ABC中,cos( B+ C) = cos A,. 一 , 一 一 一 1.一 .九 .1+2cos(B+ C) = 1 2cos A= 0,.A=.3a b在AABC中,根據(jù)正弦定理 解二小,bsin A 2 .sin B="-.a 2._ 冗. a>b, . B= 45C= it (A+ B) = 12 兀. .sin C= sin( B+ A)=sin B

36、cos A+ cos Bsin A22224.,BC邊上的高為bsin O中.【試一試】(2021 )zABC的三個角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, asin Asin B+ bcos2A= 2a.4b求 a實用文檔(2)假設(shè) c2= b2 +,3a2,求 B.嘗試解答(1)由正弦定理得,sin 2Asin B+ sin Bcos2A= 2sin A,即sin B(sin 2A+ cos2A) = sin A.一b -故 sin B= 2sin A,所以a= 2. 由余弦定理和c2=b2+y3a2,得cos B=142ca.由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+,3)a2.可

37、得 cos2B= 2,又 cos B>0,故 cos B=半,所以 B= 45第7講正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例【2021年高考會這樣考】考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題中的角度、方向、距離及測量問題.【復(fù)習指導(dǎo)】1 .本講聯(lián)系生活實例,體會建模過程,掌握運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的根本方法.2 .增強解三角形及解三角形的實際應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模水平.KAOJI2IZMIUDAOXUE m n +.一 + f * :* m.d F -立 八 一 - 工一一 .w .一一.工一十Q1 , 考基自主導(dǎo)學(xué)且考必用j總學(xué)相手根底梳理1 .用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問

38、題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.2 .實際問題中的常用角(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方白角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(如圖(1)(2)方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角,如B點的方位角為a (如圖(2).(3)方向角：相對于某正方向的水平角,如南偏東30° ,北偏西45° ,西偏東60°等.(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).助號微博一個步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意,弄清問題的實際背景,明確與未知,理清量與量之間的關(guān)系.(2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實際問題抽象成解三

39、角形問題的模型.(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.(4)將三角形問題復(fù)原為實際問題,注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.兩種情形解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1)實際問題經(jīng)抽象概括后,量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)實際問題經(jīng)抽象概括后,量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形,這時需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時需設(shè)出未知量,從幾個三角形中列出方程(組):解方程(組)得出所要求的解.雙基自測1618A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C,數(shù)學(xué)1618 .shuxue1618.為您分享 此文檔,更多高質(zhì)量素材盡在數(shù)

40、學(xué)1 .(人教A版教材習題改編)如圖,設(shè)A, B兩點在河的兩岸,一測量者在測出AC的距離為50 m, /ACB= 45.,/ CAB= 105°后,就可以計算出 A, B兩點的距離為(A 50 2 m B . 50 3 m C . 25 2 m解析由正弦定理得AB ACsin / ACB sin B'又丁 B= 30°AB=AC- sin / ACBsin B5M(m).答案 A2 .從A處望B處的仰角為a ,從B處望A處的俯角為§ ,那么a , §的關(guān)系為.A. a > § B . a = §C. a + §

41、 = 90° D . a + § =180°解析 根據(jù)仰角與俯角的定義易知a = B .答案 B3 .假設(shè)點A在點C的北偏東30° ,點B在點C的南偏東60° ,且AC= BC,那么點A在點8的.A.北偏東15°B ,北偏西15°C.北偏東10°D.北偏西10°解析如圖.答案 B4 . 一船向正北航行,看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏西 60.,另一燈塔在船的南偏西 75.,那么這艘船的速度是每小時 .A. 5海里B,4海里C. 10海里D.

42、10xf3海里解析 如下圖,依題意有/ BAC= 60° , / BA氏75° ,所以/ CAD= / CDA= 15° ,從而 CD= CA= 10海里,在 Rt ABO43,得 AB= 5海里, 5.于是這艘船的速度是 =10海里/時.0.5答案 C5.海上有 A, B, C三個小島,測得 A, B兩島相距10海里,/ BAC60 , / ABC 75 ,那么B, C間的距離是 海里.一 . BC解析由正弦定理,知而如前一180. 60. 75° .解得 BC=胞海里, 答案 5 ,6力的 KAOXI ANGT ANJ I UDAOXI 一考向一測量

43、距離問題02 * 考向探究導(dǎo)析【例1】如下圖,為了測量河對岸A, B兩點間的距離,在這岸定一基線 CD現(xiàn)已測出CD= a和/ ACD= 60° , / BCD= 30° ,Z BDC= 105 , / ADC= 60 ,試求 AB的長.審題視點在BCDK 求出BC在 ABC中,求出 AB解 在ACDK CD= a, /ACD= 60° , Z ADC= 60° ,所以 AC= a. . Z BCD= 30° , Z BDC= 105ZCBD= 45°在BCD4由正弦定理可得 BC= as1n 105.=蟲口a. sin 452在 AB

44、C中,已經(jīng)求得 AC和BC又由于/ AC& 30° ,所以利用余弦定理可以求得A, B兩點之間的距離為 AB= <aC+bC 2AC- BC cos 30= 2a.方法總結(jié)?1利用示意圖把量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個解三角形的模型.2利用正、余弦定理解出所需要的邊和角,求得該數(shù)學(xué)模型的解.【練習1】 如圖,A, B, C D都在同一個與水平面垂直的平面,B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75° , 30° ,于水面C處測得B點和D點的仰角均為60° ,AC= 0.1 km.試探究圖中B

45、、D間距離與另外哪兩點間距離相等,然后求B, D的距離.解 在ACDK /DAC= 30 , /ADC= 60° -Z DAC= 30 ,所以 CD= AC= 0.1 km.又/ BCD= 180° -60-60° =60° ,故CB是CADS邊AD的中垂線,所以 BD= BA又一/ ABC 15在 ABC43,AB _ ACsin / BCA sin / ABCAQsin 60 所以 AB= sin 15 °3心+ 620(km),同理,BD= 320 鄧(km).故B、D的距離為"03km.考向二測量高度問題【例2】如圖,山腳下有

46、一小塔AR在塔底B測得山頂Q的仰角為60.,在山頂Q測得塔頂A的俯角為45° ,塔高 A氏20 m,求山高 QD審題視點過點Q作QE/ DB延長BA交QE于點E,在 AEQ中建立關(guān)系.解如圖,設(shè)QD= x m,那么 AE= x-20 m,tan 60QDBDQDx13 ,、一 BD= ' . = p= -x (m).tan 60# 3 ' ',：3在,£口,x-20=-t-x,3解得x= 10(3+蝕)m ,故山高 QD為10(3 +#) m.方法總結(jié)?(1)測量高度時,要準確理解仰、俯角的概念;(2)分清和待求,分析(畫出)示意圖,明確在哪個三角形

47、應(yīng)用正、余弦定理.【練習2】 如下圖,測量河對岸的塔高AB時,可以選與塔底 B在同一水平面白兩個測點 Q與D,現(xiàn)測得/ BQD= a , / BDG= 3 , QD= s,并在點Q測得塔頂A的仰角為0 ,求塔高AB實用文檔解 在 BCDK / CB注兀一a由正弦定理得BC CDsin BDC sin CBDLi,CD;in Z BDC s - sin 3所以 BC= sin / CBD =sin 一釘,.stan 0 sin在 Rt ABO43, AB= BCan / ACB= -,sin a + 3考向三 正、余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用【例 3】?如下圖,在梯形 ABC用,AD/ BC

48、AB= 5, AC= 9, Z BCA= 30° , / ADB= 45° ,求 BD的長.審題視點由于AB= 5, /ADB= 45° ,因此要求 BD可在 ABD43,由正弦定理求解,關(guān)鍵是確定/ BAD的正弦值.在 ABO43, AB= 5, AC= 9, / ACB= 30° ,因此可用正弦定理求出sin / ABC再依據(jù)/ ABCW / BADS補確定sin / BADRT.解 在ABC3, AB= 5, AC= 9, Z BCA= 30° .由正弦定理,得AB ACsin / ACB sin Z ABCsin / ABC=AC- s

49、in / BCA 9sin 30Ab =5"910. AD/ BC / BAD= 180° -Z ABC是 sin / BAD= sin / ABC=2109同理,在 陽區(qū),AB= 5, sin Z BAD=/ADB= 45° ,由正弦定理:AB BDsin / BDA sin / BAD解得BD=竽.故BD的長為吟. 一要利用正、余弦定理解決問題,需將多邊形分割成假設(shè)干個三角形,在分割時,要注意有利于應(yīng) 用正、余弦定理.【練習3】 如圖,在 ABC43,/ B= 45° , D是BC邊上的一點,AD= 10, AC= 14, DC= 6,求AB的長.解

50、在ADB, AD= 10,AC= 14, DC= 6,由余弦定理得cos / AD住AD)+ DC-AC2AD- DC100+36-1962X 10X610X孚TJt*1, 八 .,.2, ./ ADC= 120 , .ADB= 60在ABD43, AD= 10, / B= 45° , A ADB= 60° ,AB AD由正弦7H理信 sin /ADB sin BAD- sin / ADB 10sin 60AB=sin B sin 45MKAOTI2HUANJCIANGTUPO 士0*1*, . 考題專項突破者之考i名舞諜規(guī)解答9如何運用解三角形知識解決實際問【問題研究】1

51、解三角形實際應(yīng)用問題的一般步驟是：審題一一建模準確地畫出圖形一一求解檢3作答.,2三角形應(yīng)用題常見的類型：,實際問題經(jīng)抽象概括后,量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之；,實際問題經(jīng)抽象概括后,量與未知量涉及兩個三角形,這時需按順序逐步在兩個三角形中求出問題的解；,實際問題經(jīng)抽象概括后,涉及的三角形只有一個,但由題目條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理.,【解決方案】 航海、測量問題利用的就是目標在不同時刻的位置數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)反映在坐標系中就構(gòu)成了一些三角形,根據(jù)這些三角形 就可以確定目標在一定的時間的運動距離,因此解題的關(guān)鍵就是通過這些三角形中的數(shù)據(jù)把測量目標 歸入到一個可解三角形中.【例如】此題總分值12分如圖,甲船以每小時 309海里的速度向正北方