新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修2空間中的平行關(guān)系專題教案

1、研卷知古今；藏書教子孫?？臻g中的平行關(guān)系專題教案一.課標(biāo)要求：1 .平面的基本性質(zhì)與推論借助長方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間 線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理： 公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)； 公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面； 公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直 線； 公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行； 定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。2 .空間中的平行關(guān)系以立體幾何的上述定義、公理和定理為

2、出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨 論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過直觀感知、操 作確認(rèn)，歸納出以下判定定理： 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行； 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明： 一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直 線平行； 兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行； 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。二.命題走向立體幾何在高考中占據(jù)重要的地位，通過近幾年

3、的高考情況分析，考察的重點(diǎn)及難點(diǎn)穩(wěn)定，高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn)。在 難度上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進(jìn)行了降低，重點(diǎn)在對圖形及幾何體的認(rèn)識(shí)上， 實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化， 示知識(shí)深化和拓展的重點(diǎn)， 因而在這部分知識(shí) 點(diǎn)上命題，將是重中之重。預(yù)測2007年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關(guān)系：(1)考題將會(huì)出現(xiàn)一個(gè)選擇題、一個(gè)填空題和一個(gè)解答題；(2)在考題上的特點(diǎn)為：熱點(diǎn)問題為平面的基本性質(zhì)，考察線線、線面和面面關(guān)系的 論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主。三.要點(diǎn)精講1 .平面概述1 1)平面的兩個(gè)特征：無限延展

4、 平的(沒有厚度)2 2)平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面3 3)平面的表不：用一個(gè)小寫的希臘字母a、P、丁等表不，如平面豆、平面P ;用表示平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母表示，如平面AC。4 .三公理三推論：公理1：若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則該直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)：A l ,B l ,A 三：工，B : = l 二"公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的 集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線。公理3:經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論二：經(jīng)過兩條相交直線，有

5、且只有一個(gè)平面。推論三：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。5 .空間直線：(1)空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線一一有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線一一在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。相交直線和平行直線也稱為共面直線。異面直線的畫法常用的有下列三種：(2)平行直線：在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個(gè)結(jié)論在空間也是成立的。即公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。(3)異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線。推理模式：AFa,BWa,aCa,Ba= AB與a是異面直線。6 .直線和平面的位

6、置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn))(2)直線和平面相交(有且只有一個(gè)公共點(diǎn))(3)直線和平面平行(沒有公共點(diǎn))一一用兩分法進(jìn)行兩次分類。aa。它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為au”，a|a = A ,線面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。推理模式：a<zot,buo(,ab= a/a .a線面平行的性質(zhì)定理： 如果一條直線和一個(gè)平面平行， 經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。推理模式： a/a,aa P,a QP =b=s a/b .7 .兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交(有一條公共

7、直線)、兩平面平行(沒有公共點(diǎn))(1)兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行。auP、定理的模式：buPa n b = P =:： a/ab /:(推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交 直線，那么這兩個(gè)平面互相平行。推論模式：a Hb = P, a 一斗b 一斗 arb . = P , a， 1 ,b :, a a , b/b = ： / ：(2)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)(1)如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于 另一個(gè)平面；(2)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。四.典例解析題型1:

8、共線、共點(diǎn)和共面問題例1. (1)如圖所示，平面 ABdQ平面BCD =直線BD , M、N、P、Q分別為線段AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，四邊形 MNPQ是以PN、QM為腰的梯形。試證明三直線BD、MQ、NP共點(diǎn)。證明：:四邊形MNPQ是梯形，且 MQ、NP是腰， 直線MQ、NP必相交于某一點(diǎn) O 。 O W直線MQ ;直線MQ仁平面ABD , O W 平面 ABD。同理，O W平面BCD ,又兩平面 ABD、BCD的交線為 BD , 故由公理二知，O W直線BD ,從而三直線 BD、MQ、NP共點(diǎn)。點(diǎn)評：由已知條件，直線 MQ、NP必相交于一點(diǎn) O ,因此，問題轉(zhuǎn)化為求證點(diǎn) O在直線BD上

9、，由公理二，就是要尋找兩個(gè)平面， 使直線BD是這兩個(gè)平面的交線， 同時(shí)點(diǎn)O 是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)即可.“三點(diǎn)共線”及“三線共點(diǎn)”的問題都可以轉(zhuǎn)化為證明“點(diǎn)在 直線上”的問題。(2)如圖所示，在四邊形 ABCD中，已知AB/CD,直線 AB, BC , AD , DC分別與 平面a相交于點(diǎn)E, G, H, F.求證：E, F, G, H四點(diǎn)必定共線。證明：AB / CD, .AB, CD確定一個(gè)平面 3 .又 ABI a =E, AB 二 3 ,EC a , EC 3 ,即E為平面a與3的一個(gè)公共點(diǎn)。同理可證F, G, H均為平面a與3的公共點(diǎn).兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過公共點(diǎn)的公共

10、直線,.E, F, G, H四點(diǎn)必定共線。點(diǎn)評：在立體幾何的問題中，證明若干點(diǎn)共線時(shí)，常運(yùn)用公理 2,即先證明這些點(diǎn)都是某二平面的公共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論。例2.已知：a, b, c, d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證： a, b, c, d共面。證明：1o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)7Aa '/a, b, c 相交于一點(diǎn) A,/, d一a E F b G c但Ad,如圖1所不：圖1(XH :K“/d/a1三直線d和A確定一個(gè)平面 &。又設(shè)直線d與a, b, c分別相交于E, F, G,則 A, E, F, GC “。- ' A, E

11、C a , A, ECa,，aua。同理可證bC a , cC a o二.a, b, c, d在同一平面a內(nèi)。2o當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖2所示：這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a, b確定一個(gè)平面設(shè)直線c與a, b分別交于點(diǎn)H, K,則H, KC a。又 H , K c, . . cC a o同理可證d U a。.a, b, c, d四條直線在同一平面 a內(nèi).點(diǎn)評：證明若干條線（或若干個(gè)點(diǎn)）共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理3或推論，由題給條件中的部分線（或點(diǎn)）確定一個(gè)平面，然后再根據(jù)公理1證明其余的線（或點(diǎn)）均在這個(gè)平面內(nèi)。本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情況。因此，在分析題意時(shí)，

12、應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義。題型2：異面直線的判定與應(yīng)用例 3.已知：如圖所示，a Cl P = a , buB, a b = A , cUct , c /a。求證 直線b、c為異面直線。證法一：假設(shè)b、c共面于飛.由Aa , a /c知，A弟c,而a 1b=A, a =a ,A w Y , a w ao又c uct ,?、ct都經(jīng)過直線c及其外的一點(diǎn) A,丁與Ot重合，于是a匚；'，又b匚口。又¥、P都經(jīng)過兩相交直線a、b ,從而K P重合。a、P、¥為同一平面，這與a Cl P = a矛盾。b、c為異面直線.證法二：假設(shè)b、c共面，則b , c相交或平行。(

13、1)若b / c ,又a / c ,則由公理4知a / b ,這與a Q b =A矛盾。（2）若b Plc = P，已知b uP , c uot ,則P是a、P的公共點(diǎn)，由公理 2, Pa a，又b 1c=P ,即 P Wc,故 a Qc=P ,這與 a / c 矛盾。綜合（1）、（2）可知，b、c為異面直線。證法三：=a Ap=a , a Hb = A，. Awa。a / c , A 正 c ,在直線b上任取一點(diǎn) P （P異于A）,則P走a （否則buct,又auct,則a、P都 經(jīng)過兩相交直線 a、b ,則ot、P重合，與a C B =a矛盾）。又c仁口，于是根據(jù)“過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)

14、的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是 異面直線”知，b、c為異面直線。點(diǎn)評：證明兩直線為異面直線的思路主要有兩條：一是利用反證法；二是利用結(jié)論“過 平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.。異面直線又有兩條途徑：其一是直接假設(shè)b、c共面而產(chǎn)生矛盾；其二是假設(shè)b、c平行與相交；分別產(chǎn)生矛盾。判定直線異面，若為解答題，則用得最多的是證法一、二的思路；若為選擇或填 空題，則往往都是用證法三的思路。用反證法證題，一般可歸納為四個(gè)步驟：（1）否定結(jié)論；（2）進(jìn)行推理；（3）導(dǎo)出矛盾；（4）肯定結(jié)論.宜用反證法證明的命題往往是（1）基本定理或某一知識(shí)系統(tǒng)的初始階段的命題（如立 體幾

15、何中的線面、面面平行的判定定量的證明等）；（2）肯定或否定型的命題（如結(jié)論中出現(xiàn)“必有”、“必不存在”等一類命題）；（3）唯一型的命題（如“圖形唯一”、“方程解唯一” 等一類命題）；（4）正面情況較為繁多，而結(jié)論的反面卻只有一兩種情況的一類命題；（5）結(jié)論中出現(xiàn)“至多”、“不多于”等一類命題。例4.（1）已知異面直線a,b所成的角為700,則過空間一定點(diǎn)。，與兩條異面直線a,b 都成600角的直線有（）條D. 40,過點(diǎn)。有3條直線與a,b所成角A. 1B. 2C. 3（2）異面直線a,b所成的角為日，空間中有一定點(diǎn)都是600,則e的取值可能是（）A. 300 B . 500C . 600a：

16、b都成600角解析：（1）過空間一點(diǎn) 0分別作a7/ab/b。將兩對對頂角的平分線繞0點(diǎn)分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，總能得到與的直線。故過點(diǎn) 0與a,b都成600角的直線有4條，從而選Do（2）過點(diǎn)O分別作a'/a、b'/b,則過點(diǎn)O有三條直線與a,b所成角都為600,等價(jià)于過點(diǎn)O有三條直線與a：b所成角都為600,其中一條正是e角的平分線。從而可得選項(xiàng) 為Co點(diǎn)評：該題以學(xué)生對異面直線所成的角會(huì)適當(dāng)轉(zhuǎn)化，較好的考察了空間想象能力。題型3:線線平行的判定與性質(zhì)例5. （2003上海春，13）關(guān)于直線a、b、l及平面M、N,下列命題中正確的是（）A.若 a/ M, b/ M,貝U a/

17、 bB.若 a/ M, b±a,則 b±MC.若 a至M, b至M,且 l,a, l±b,則 UMD.若 a±M , all N,則 M±N解析：解析：A選項(xiàng)中，若a / M , b / M ,則有a / b或a與b相交或a與b異面。B 選項(xiàng)中，b可能在M內(nèi)，b可能與M平行，b可能與M相交.C選項(xiàng)中須增加a與b相交， 則l,M。D選項(xiàng)證明如下： a / N,過a作平面”與N交于c,則c/ a, .,.c± M.故MLN。 答案Do點(diǎn)評：本題考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的基本性質(zhì)。例6.兩個(gè)全等的正方形 ABCD和ABEF所在

18、平面相交于 AB, M C AC, N C FB,且AM=FN, 求證：MN/平面BCE。證法一：作 MPXBC, NQXBE, P、Q為垂足，則MP/ NQ,又 AM = NF, AC=BF, MC=NB, / MCP=/NBQ=45° RtAMCPRtANBQ .MP=NQ,故四邊形 MPQN為平行四邊形MN / PQ,PQU平面BCE, MN在平面 BCE外， .MN/平面 BCE。證法二：如圖過 M作MH LAB于H,則MH / BC,.AM AHAC AB連結(jié) NH,由 BF=AC, FN=AM ,得 FN-二型 BF ABNH/AF/BE由 MHBC, NH/BE 得:平

19、面 MNH平面 BCE .MN/平面 BCE。題型4:線面平行的判定與性質(zhì)例7. （ 2006四川理 19 ）如圖，在長方體ABCD - A B C DK E,P 分別是 BC, A1D1 的中點(diǎn)，M ,N 分另ij 是 A ,E 1 C的D中點(diǎn) ，AD = AA1 =a,AB =2a,求證：MN / 面 ADD1A。MP /AB, NQ/ AB。證明：取CD的中點(diǎn)K,連結(jié)MK,NK ;.M,N,K分別為AK,CD1，CD的中點(diǎn) MKAD,NK/DDi. MK 面 ADDA，NK 面 ADD1A面 MNK 面 ADD1A MN 面 ADD1A點(diǎn)評：主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的

20、關(guān) 系等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考察線面平行的判定定理。例8. (i999全國文22,理2i)如圖所示，已知正四棱柱 ABCD 一 AiBiCiDi,點(diǎn)E在棱 DiD上，截面EAC/ DiB,且面EAC與底面 ABCD所成的角為45° , AB=a.(I)求截面 EAC的面積；(II)求異面直線 AiBi與AC之間的距離；圖解：(I)如圖所示，連結(jié) DB交AC于O,連結(jié)EO。 底面ABCD是正方形，DO± AC又£口，底面AC, EOXAC / EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，DO = a, AC = 72a,2EO=a - sec45 = a, ./ EOD

21、 = 45°故-acEO-AC=逅a2.(n)由題設(shè) ABCDAiBiCiDi是正四棱柱，得 A1A，底面AC, AiAXAC. 又 AiAXAiBi, AiA是異面直線AiBi與AC間的公垂線.DiB /W EAC,且面 DiBD 與面 EAC 交線為 EO,DiB II EO,又。是DB的中點(diǎn)，E是 DiD 的中點(diǎn)，DiB=2EO = 2a.Dq= <fD1B2 - DB2 =2a證o a異面直線AiBi與AC間的距離為2a a.題型5:面面平行的判定與性質(zhì)例9.如圖，正方體 ABCDAiBiCiDi的棱長為 明：平面ACDi /平面AiCiB。證明：如圖， AiBCDi是

22、矩形，AiB / DiC 。又DiC U平面DiCA , A1B遼平面DiCA ,AiB /平面 DiCA。，.二 平面 DiCA /平面 BAiCi .同理 A1C1 /平面 DiCA ,又 AiCi Pl AiB =A1點(diǎn)評：證明面面平行，關(guān)鍵在于證明 例i0. P是4ABC所在平面外一點(diǎn),AiCi與AiB兩相交直線分別與平面 ACDi平行。A'、B'、C'分別是 PBC、APCA> APAB 的重心。(i)求證：平面 A B' C'平面ABC;(2) SA B，C Saabc 的值。解析：(i)取AB、BC的中點(diǎn)M、N,PC _ PA _ 2

23、則 PM - PN 一 3A' C MN ArCr /平面 ABC。同理A B7/面ABC ,A C _ PA _ 2(2) MN - PN 一 3 二 AAC i22 i iC 3MN= 3 2 AC= 3 AC.A' B' C'面 ABC.AC 3 ,A B _i _ BC 同理 AC 一 3 一 BCS星=(AC)2S.abcAC五.思維總結(jié)在掌握直線與平面的位置關(guān)系 （包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān) 系）的基礎(chǔ)上，研究有關(guān)平行的判定依據(jù)（定義、公理和定理 卜判定方法及有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用；在有關(guān)問題的解決過程中，進(jìn)一步了解和掌握相關(guān)公理、定理的內(nèi)容和功能， 并探索立體幾何中論證問題的規(guī)律；在有