排列組合經(jīng)典例題透析

1、組合經(jīng)典例題透析類型一：組合數(shù)公式及其性質(zhì)思路點(diǎn)撥：可以直接依據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算，也可以先利用性質(zhì)化簡(jiǎn)后再計(jì)算解析：X 10x9x8x7x6x5x4x3io = -3- = 4,3x7x6x5x4x5x2xl(i)萬法一：胃_ ri2 _._ 1 口丈 一氣Luo = -2 =.+團(tuán)2乂1萬法二：J；一十1二空邏+沖歷箝30O方法一*2Ml 3x2 戈 1方法二:100x99x983x2x1161700總結(jié)升華:比較簡(jiǎn)便.性質(zhì)2表達(dá)組合數(shù)的遞推性質(zhì)，它可用于計(jì)算求值，更重要的是用于恒等式的證明舉一反三：【變式1】計(jì)算:戶4廣4 pN(1) f ; (2)1。；(3)口【答案】。5 =芟=爰呆充E

2、 X “6 7乂 45 = r =力(1)F或本家翳源窗山電Y去黑皿或W瑞二以產(chǎn)華”=4政(3)【變式2】計(jì)算：鯨望+亡人保+斗鍋【答案】或+瑁+*+維=雞+多+亡：+代二。：卜武）4團(tuán)十+此=3 nxix9=16511 3xSxl田+以+用+十/ 或）+d+優(yōu)二Q：+黑）+普+G，二僧匕升琮+或W xl3xl2xll；W a=JUUJ5x4x3x2xl【變式3】求證：_ -+1 0MH1 證明：右邊“陽毒一耀 w+1）!（-w-1）!抬！陽+1（.噌+ l）l （刑）（黑一加一1）1 m !（.i -fin） I嶼=24%解析：原方程可化為ii , .、31-3）!24.112 1（工-1）

3、1整理得：-T- L5X =-解得工三1 或 11 （不合題意舍去）.經(jīng)檢驗(yàn)苫三1是原方程的根.總結(jié)升華：解含組合數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意組合數(shù)以 中，絡(luò)黑口廣 M 三法這些限制條件，要注意含組合數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；應(yīng)強(qiáng)調(diào)解組合數(shù)方程要驗(yàn)根。舉一反三：【答案】原方程為匕5 35，2x = x+4 或 2x = 21-x解得：x = 4或x=7經(jīng)檢驗(yàn)x=4 , x = 7都是原方程的根。類型二：組合的應(yīng)用.平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),(1)以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?(2)以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?思路點(diǎn)撥：線段不考慮線段兩個(gè)端點(diǎn)的順序，是組合問題；有向線段考慮線

4、段兩個(gè)端點(diǎn)的順序，是排列問題.解析:(1)以每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù),即以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有10x92（條）(2)由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)，一個(gè)是終點(diǎn)，以每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從 10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，/ - 10x0= 90即以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共 10(條)總結(jié)升華：一個(gè)問題是排列問題還是組合問題，在于取出的元素之間有沒有順序，交換其中兩個(gè)元素是否改變所得的結(jié)果.舉一反三：【變式11下面的問題是排列問題？還是組合問題？并計(jì)算結(jié)果。(1)從1, 3, 5, 9中任取兩個(gè)數(shù)相加，可以得到多

5、少個(gè)不同的和？(2)從1, 3,5, 9中任取兩個(gè)數(shù)相除，可以得到多少個(gè)不同的商？(3) 10個(gè)同學(xué)畢業(yè)后互相通了一次信，一共寫了多少封信？(4) 10個(gè)同學(xué)畢業(yè)后見面時(shí)，互相握了一次手，共握了多少次手？【答案】C 6(1)組合問題，可以得到 4 個(gè)不同的和；(2)排列問題，可以得到4 = 12個(gè)不同的商;(3)排列問題，一共寫了或二90封信;(4)組合問題，共握了- 45次手.【變式2】一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白土和1個(gè)黑球.(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中恰有1個(gè)黑球，有多少種取法?(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？【答案

6、】(1) 56;從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是8x7x63x2x1(2) 21 ;從口袋內(nèi)取出3個(gè)球恰有1個(gè)黑球，也就是除黑球外還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè),C 口 - 21取法種數(shù)是,(3) 35;由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是C?=352張.4.在100張獎(jiǎng)券中，有1張一等獎(jiǎng)，3張二等獎(jiǎng)，6張三等獎(jiǎng)，從中任意抽出(1) 一共有多少種不同的抽法？(2)其中恰好有1張是二等獎(jiǎng)的抽法有多少種?(3)其中至少有1張是二等獎(jiǎng)的抽法有多少種？思路點(diǎn)撥：2張中恰好有1張是二等獎(jiǎng)即為1張是二等獎(jiǎng)1張非二等獎(jiǎng)，可以分步完成；“2張中至少有1張是二等獎(jiǎng)即為2張

7、中恰好有1張是 二等獎(jiǎng)或2張都是二等獎(jiǎng)，可以從對(duì)立面解決。解析：或口(1)所求就是從100張獎(jiǎng)券中取出2張的組合數(shù)，為(2)分兩步完成:第一步，從3張二等獎(jiǎng)中抽出1張二等獎(jiǎng)的抽法有%,第二步，從97張非二等獎(jiǎng)中抽出1張的抽法有種.因此共有但叫二3黑97 = 291種。(3)方法一：直接法分兩類:第一類：2張中恰好有1張是二等獎(jiǎng)的抽法有C2 -3第二類：2張都是二等獎(jiǎng)的抽法有R 故共有方法*巨弓:29,方法二：間接法抽出的2張中至少有1張二等獎(jiǎng)的抽法的種數(shù)，就是從100張中抽出2張的抽法種數(shù)減去2張都是非二等獎(jiǎng)的抽法的種數(shù)，即；- 1I總結(jié)升華：1 .組合問題的解法，既要注意兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，

8、還要恰當(dāng)?shù)剡x擇直接法或間接法.2 .至少”的問題可以從正面用直接法來計(jì)算，也可以從反面用間接法計(jì)算。舉一反三：【變式11在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1) 一共有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？【答案】(1)所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，100x99x986161700(2)第一步從2件次品中抽出1件次品的抽法有-2種,第二步從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有因此抽出的3件中/&有1件是次品的抽法的種數(shù)是(3)方法一：間接法抽出

9、的3件中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件都是合格品的抽法的種數(shù),方法二：直接法分兩類:恰有一件次品恰有兩件次品出弋.怎=9604故共有上邱 上澗(種)?！咀兪?】某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)要挑選5名隊(duì)員參加比賽，種子選手有且僅有一個(gè)在內(nèi)，那么不同的選法共有多少種？【答案】70;分兩步完成：第一步，選種子選手有第二步，選非種子選手有在二*珅共有 丁種。【變式3】有11個(gè)工人，其中5人只會(huì)當(dāng)鉗工，4人只會(huì)當(dāng)車工，還有甲、乙2人既會(huì)當(dāng)鉗工又會(huì)當(dāng)車工.現(xiàn)在要從這 11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，一共有多少種選法？【答案】185;分為以下三類

10、完成：第一類：甲、乙都沒有被選在內(nèi)的方法有=5種.第二類：甲、乙中恰有一人被選在內(nèi)_ -in甲、乙中有一人被選當(dāng)鉗工的方法有2 _54種*. C3 =40甲、乙中有一人被選當(dāng)車工的方法有 J?、種.第三類：甲、乙都被選在內(nèi).甲、乙都被選當(dāng)鉗工的方法有拿；=10種甲、乙都被選當(dāng)車工的方法有種.甲、乙中有一人當(dāng)鉗工，另一人當(dāng)車工的方法有所以一共有：54jO+40-10+30+30 = 1S5種選法.類型三：分配問題5r5.教育局將11個(gè)夏令營指標(biāo)分配給8所不同的學(xué)校，要求每校至少分到1個(gè)名額，共有多少種不同的分配結(jié)果?思路點(diǎn)撥：夏令營指標(biāo)是相同的元素，分配的不同方法是指各校獲得的數(shù)量不同解析：方法

11、一：由各校至少分到1個(gè)名額，可先給每校1個(gè)名額，只需考慮余下3個(gè)名額的分配方法有多少種不同情況。第一類：將3個(gè)余額分給3所不同的學(xué)校，共有第二類：將3個(gè)余額分給2所不同的學(xué)校，共有種方法;第三類：將3個(gè)余額分給1所學(xué)校，共有C18種方法,M =盤+4 + Cj = 120(#)不同分配結(jié)果的總數(shù)為一 一，-方法二：可將11個(gè)名額分成非零的8份，將8所學(xué)?？闯墒欠胖眠@8份名額的位置。11個(gè)名額排一列，共有12個(gè)空檔，去掉兩端的空檔，還有10個(gè)空檔，從中彳E取7個(gè)空檔，則11個(gè)名額被取到的空檔分成了 8份，每一份對(duì)應(yīng)地放在學(xué)校的位置上,即不同分配結(jié)果共有蘇二片二品二120(腫)舉一反三:【變式11

12、電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種 不同的下樓方法?【答案】分2步完成:第一步，先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種;第二步，選擇10層中的四層下樓有共有煜eg；熱.【變式2】有6本不同的書按下列分配方式分配，問各有多少種不同的分配方式?分成1本、2本、3本三組；（非均勻分組）分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本;分成每組都是2本的三個(gè)組；（均勻分組）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人 2本。C1（1）先選出1本的方法有 幣種,再由剩下的5本中選出2本的方法有 J種,剩下的3本

13、為一組有 3種,- 60依分步計(jì)數(shù)原理得分組的方法有L5 3種。4 = 360（2）把上面分好的三組分給甲、乙、丙三人有。 3?- 種。廣2種,（3）選2本為一組有 C種，剩下4本再選2本為另一組有種，最后2本為一組有CPC” 4?= 15 又每種分法只能算-種，所以不同的分法有 方4 2f（種）。（重復(fù)情況列舉如下：記6本書為a、b、c、d、e、f。以下種分法只能算一種：ab / cd / ef ; ab / ef / cdcd / ef / ab ; cd / ab / ef ; ef / cd / ab ; ef / ab / cd )有（噂淞（或甲先選有一有9。種。）經(jīng)典例題透析類型一

14、：排列數(shù)公式1.解不等式:外甘思路點(diǎn)撥：依據(jù)排列數(shù)公式（月-密）!化簡(jiǎn)后解答。9!9!解析：原不等式等價(jià)于 （!（11-因?yàn)?I! 1所以日）： r，工,解得工13所以，原不等式的解集為 】總結(jié)升華:常用來1 .產(chǎn)述均為已知時(shí)，公式父=M*W）S-陰+1）常用來求值；公式或工e啕1證明或化簡(jiǎn);2 .解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)4中，也再且事三匐這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍。舉一反三:【變式1】計(jì)算:（1）4 = 16算15句4 = 3360 ; -6x5x4x3=360.【變式2】/=1X6泊5一對(duì)4,貝評(píng)若看” 3 -用（56 -同一（6”冷（69

15、-用排列數(shù)符號(hào)表示為17,肉=14;.風(fēng)則（55-雙56-瓊（68-嘔6”和（69-蹴68-嘰.斯并）【變式3】計(jì)算：加1)1(1)-4;唱(!【答案】8x7x6x5x4x3x2k1+6x5x4k3x2x57x6x5x4x3x25130 = ，-1:二一=;1-(w-1)!二(赭 7!：-伽一I原式(修一聞)【變式4】解方程:3：:一二【答案】由排列數(shù)公式得：3元(工一 1)(工一 2) 2(xH 1.了之3 M-2-1)+657, , 一即二I, ，一：,解得尤=5或京之鄉(xiāng)，且入已加，原方程的解為無二$/十加簟1證明：理!十超界!(依-僧+ 1)!厚!03 -雁+1) +僧(程-昭+1)!/

16、甜多41類型二：應(yīng)用(1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法?(2)有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解析：(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué),對(duì)應(yīng)于從5個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是:4=5x4x3 = 60所以，共有60種不同的送法.（2）由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法,因此送給3名同學(xué)，每人各i本書的不同方法種數(shù)是：5x5x5=125所以，共有125種不同的送法.總結(jié)升華：本例題兩小題的區(qū)別在于元素是否可以重復(fù)，第（1）小題是從5本不同的書中選出3

17、本分送給3位同學(xué)，各人得到的書不同，其中的元素不能重復(fù)，屬于求排列數(shù)問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，其中的元素可以重復(fù)，只能用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算。舉一反三：【變式1】從205711這五個(gè)數(shù)字中，任取2個(gè)數(shù)字組成分?jǐn)?shù)，不同值的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)?【答案】20;問題可以看作5個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列 = 5x4=20【變式2】5人站成一排照相，共有多少種不同的站法?【答案】120;問題可以看作5個(gè)元素的全排列號(hào)；【變式3】某年全國足球甲級(jí)（A組）聯(lián)賽共有14隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場(chǎng)分別比賽 1次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?【答案】182;問題可以看作14個(gè)元

18、素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列= 14x13 = 182【變式4】7位同學(xué)站成兩排（前3后4）,共有多少種不同的排法?【答案】5040;方法一：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理:7x6x5x4x3x 2x1 = 71 = 5040方法二：?jiǎn)栴}可以看作7個(gè)元素的全排列 =7x6x5x4x3x2x1=71 = 5040O【變式5】某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán) 3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)?【答案】15;分3類：第一類用1面旗表示的信號(hào)有第二類用2面旗表示的信號(hào)有凸種;第三類用3面旗表示的信號(hào)有其種,由分類計(jì)數(shù)原理，所求的信號(hào)

19、種數(shù)是:4+4+ & = 3+3x2+3x2x1=15類型三：有限制條件的排列應(yīng)用題3 .有6個(gè)隊(duì)員排成一列進(jìn)行操練，其中隊(duì)員甲不能站排頭，也不能站排尾，有多少種不同的站法?思路點(diǎn)撥：隊(duì)員甲不能站排頭，也不能站排尾”中可以優(yōu)先考慮特殊的元素：隊(duì)員甲，也可以優(yōu)先考慮特殊的位置：頭與尾，還可以從事件的對(duì)立面解決。解法一：特殊元素優(yōu)先考慮第一步：要使甲不在排頭和排尾，可先讓甲在中間 4個(gè)位置中任選1個(gè)位置，有4 種站法;第二步：對(duì)其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有另種站法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法（種）解法二：特殊位置優(yōu)先考慮第一步：由于甲不站排頭和排尾，這兩個(gè)位置只能在其余5個(gè)人中，選2個(gè)人站，

20、有種站法;第二步：對(duì)于中間的四個(gè)位置,4個(gè)人有種站法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法（種）解法三：對(duì)立面若對(duì)甲沒有限制條件，共有種站法，其中包含三種情況：甲在排頭；甲在排尾；甲不排頭，也不排尾.對(duì)立面：甲在排頭有凸種站法；甲在排尾有丐種站法，這都不符合題設(shè)條件，4? 一 2左-480從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)即得所求的站法數(shù)，共有：尸0 個(gè)（種）總結(jié)升華：一般地，對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，可以有兩種不同的計(jì)算方法：1 .直接計(jì)算法：排列問題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個(gè)（或某些）位置、某個(gè)（或某些）位置只能放某些元素，因此進(jìn)行算法設(shè)計(jì)時(shí)，常優(yōu)先處理這些特殊要求?？梢詢?yōu)先處理特殊元

21、素或優(yōu)先處理特殊位置，這些統(tǒng)稱為“特殊元素（位置）優(yōu)先考慮法”,本題的方法一就是先處理 特殊隊(duì)員甲，方法二則是先處理特殊位置排頭、排尾。2 .間接計(jì)算法：先不考慮限制條件，把所有的排列種數(shù)算出，再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)， 間接得出符合條件的排列種數(shù).這種方法也稱為去雜法”.在去雜時(shí)，特別注意要不重復(fù)，不遺 漏（去盡）。3 .對(duì)于“在與不在的問題，常常使用直接法或排除法”,對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮。舉一反三：【變式11 7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？【答案】720;甲站的位置已經(jīng)固定，余下的6個(gè)元素有排法=720故共有方法720種?！咀兪?】7位同學(xué)站成

22、一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？【答案】240;分二步完成：第一步甲、乙站在兩端有種;第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有 耳 種,所以，共有.=240種方法?！咀兪?】7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？【答案】2400;種;方法一：直接法第一步從(除去甲、乙)其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列(全排列)有種,所以共有= 2400種方法。方法二：排除法 若甲站在排頭有4種方法;若乙站在排尾有凸5種方法;若甲站在排頭且乙站在排尾則有 f種方法,所以，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有4+ 21下 =2400種。.5個(gè)人

23、站成一排:(1)其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法?(2)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法?解析:(1) 48;分二步完成:第一步將甲、乙二人捆綁”在一起，有 種捆綁”方法;第二步，捆綁的甲、乙視為一個(gè)元素與其他3人有A種排法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有當(dāng)&三dW種排法。(2) 72;方法一：分二步完成:第一步將甲、乙兩人外的其余3人有4第二步將甲、乙排在已有3人排列的空檔位置，有三種排法,所以共有方法二：5人的總排法有0種，甲、乙相鄰的排法有一種,故共有一二一丁種。總結(jié)升華：一般地，對(duì)于相鄰問題的排列應(yīng)用題，多用捆綁法；對(duì)于不相鄰問題的排列應(yīng)用題，常用插空法。舉一反三:【變式】求下列不

24、同的排法種數(shù):(1)6男2女排成一排，2女相鄰;(2)6男2女排成一排，2女不能相鄰;(3)5男3女排成一排，3女都不能相鄰.(1)捆綁法:把2女捆綁在一起看成一組，與6男共7組,組外排列為期,女生組內(nèi)排列為4因此排法種數(shù)為(2)法一：從總體排法數(shù)中除去2女相鄰的排法，即得2女不相鄰的排法種.法二：插空法6男先排實(shí)彳立,再在7個(gè)空位中排2女，共有種排法.(3)插空法:5男先排實(shí)彳立,再在6個(gè)空位中排3女，共有種排法.類型四：數(shù)字問題的排列應(yīng)用題.用0到9這10個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?思路點(diǎn)撥：由于組成的是三位數(shù)，其百位數(shù)字就不能是 0,這就是題中內(nèi)隱的限制條件，可以按照特殊元素(位置)分類(分布)解決，也可以從事件的對(duì)立面解決。解法一：用分步計(jì)數(shù)原理百位十位個(gè)位解法二：用分類計(jì)數(shù)原理符合條件的三位數(shù)可以分成三類:每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個(gè),個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè),十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè),由分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：y J 百位十位個(gè)位百位十位個(gè)位百位十位個(gè)他I I II I I 0 I I 0,主解法三：排除法其中以0為排頭的排列數(shù)為從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 個(gè)口因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是總結(jié)升華