第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法2

1、ReIm0 1(+)( ) 由圖可知，幅相曲線由圖可知，幅相曲線不包圍不包圍( 1，j0)點(diǎn)。此結(jié)點(diǎn)。此結(jié)果也可以根據(jù)果也可以根據(jù) 增加時(shí)幅增加時(shí)幅相曲線自下向上相曲線自下向上(幅角減幅角減小小)和自上向下和自上向下(幅角增加幅角增加)穿越實(shí)軸區(qū)間穿越實(shí)軸區(qū)間(， 1)的的次數(shù)決定。次數(shù)決定。 R = N N 自實(shí)軸區(qū)間（自實(shí)軸區(qū)間（， 1 1）開始向下的穿越稱為半次正穿越，）開始向下的穿越稱為半次正穿越，自實(shí)軸區(qū)間（自實(shí)軸區(qū)間（， 1 1）開始向上的穿越為半次負(fù)穿越。）開始向上的穿越為半次負(fù)穿越。 -180 ( )/()0 L( )/dB( )(+)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)： 一個(gè)

2、反饋控制系統(tǒng)，一個(gè)反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實(shí)部根其閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)Z，可以根據(jù)開環(huán)傳，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)遞函數(shù)s 右半平面極點(diǎn)數(shù)右半平面極點(diǎn)數(shù)P 和開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為和開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，正值的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線與對(duì)數(shù)相頻特性曲線與 1802k 線的正負(fù)穿越線的正負(fù)穿越次數(shù)之差次數(shù)之差R = N N 確定確定 Z = P 2RZ為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。例例5-14 一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù) )1()()(2 TssksHsG 解：解： 由開環(huán)傳遞函數(shù)知由開環(huán)傳遞函數(shù)

3、知 P = 0 ，作系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)，作系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線頻率特性曲線 180 ( )/()0 L( )/dB 1/T 40dB/dec 60dB/dec 270輔助線輔助線用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。顯見顯見 N = 0，N =1 R = N N = 1 Z = P 2R = 2故系統(tǒng)不穩(wěn)定。故系統(tǒng)不穩(wěn)定。 G(s)H(s)有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)有兩個(gè)積分環(huán)節(jié) =2 ，故補(bǔ)畫了，故補(bǔ)畫了0 到到 180 的輔助線。的輔助線。例例5-15 一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù) )1()1()()(12 sTssTksHsG 解解： 由開環(huán)傳遞函

4、數(shù)知由開環(huán)傳遞函數(shù)知 P = 1 。 作系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。作系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。 ( ) = 90 + arctan T2 (180 arctan T1 ) （T1T2）當(dāng)當(dāng) ( ) = 180 時(shí)，時(shí)， g =(1/T1T2)1/2 ，A( g)=kT2 穩(wěn)定性判別。穩(wěn)定性判別。 G(s)H(s)有一個(gè)積分環(huán)節(jié)有一個(gè)積分環(huán)節(jié) =1 ，故，故補(bǔ)畫了補(bǔ)畫了 180 到到 270 的輔助線。的輔助線。212211)(arctan270TTTT 用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 L( )/dB1/T1 40dB/dec 180 ( )/()0 2701/

5、T2 20dB/dec 20dB/dec 90 g c)1()1()()(12 sTssTksHsG（T1T2）() 當(dāng)當(dāng) g 1，N = 1，N =1/2R = N N = 1/2 Z = P 2R = 0故系統(tǒng)穩(wěn)定。故系統(tǒng)穩(wěn)定。 () 當(dāng)當(dāng) g c 時(shí)，即時(shí)，即A( g) 0，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。5.8 閉環(huán)頻率特性與時(shí)域性能指標(biāo)5.8.1 閉環(huán)頻率特性主要性能指標(biāo)( )R s( )C sG(s)圖5.59 一單位負(fù)反饋系統(tǒng)()()1()G jjG j()()()( )( )1( )jjjAeMeAe 閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性為( )()Mj ( )()j 閉

6、環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性為20lg( )20lg()Mj前面講的都是閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線 閉環(huán)幅頻特性的零頻值M(0)對(duì)單位反饋系統(tǒng)，若系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)，在常值信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出等于輸入，有：( 0)(0)1( 0)C jMR j若系統(tǒng)為有差系統(tǒng)，在常值信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出不等于輸入，有：( 0)(0)1( 0)1C jKMR jK通過零頻值M(0)是否為1，可判斷系統(tǒng)是否為無靜差系統(tǒng)。M(0)越接近1，則有差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。) 1() 1)(1()() 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjjjKjGnm開環(huán)幅頻特性()()1()G jjG j 按給定精度復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的

7、頻寬 M閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性表示穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出輸入的幅值比。( )(0)MM 按規(guī)定的允許誤差給定 值，在 頻率范圍內(nèi)有M為按給定精度復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的頻寬。 M0M為低頻段 帶寬頻率 b閉環(huán)幅頻特性 上，對(duì)應(yīng)幅值等于0.707M(0)的頻率 稱為系統(tǒng)的帶寬頻率。( )Mb0b為系統(tǒng)的頻寬b大，表明系統(tǒng)能通過的信號(hào)頻率很寬，反應(yīng)速度快；b小，表明系統(tǒng)只能通過低頻信號(hào)，反應(yīng)速度慢，但抑制輸入端高頻噪聲能力強(qiáng)。的確定要綜合地考慮跟蹤輸入信號(hào)和抑制噪聲的能力。b 諧振峰值 和峰值頻率 rrM諧振峰值 表征了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性rMrM越大，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差1.01.4(03)rMdB時(shí)，相當(dāng)于有效阻尼比在(0.

8、40.7)，系統(tǒng)可以獲得滿意的瞬態(tài)響應(yīng)特性。1.5rM 時(shí)，階躍瞬態(tài)響應(yīng)將出現(xiàn)較大的超調(diào)。rrt M0Mrb(0)M0.707(0)MrM圖5.60 閉環(huán)頻率特性曲線5.8.2 一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo) 一階系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)為慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為()1()()1C jjR jTj閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性、相頻特性為221( )1MT( )arctanT 閉環(huán)頻域指標(biāo)為(0)1M1rM 1/bT階躍響應(yīng)時(shí)域指標(biāo)為33(0.05)sbtT %02.202.20/rbtT0r 二階系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)為二階閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為()22()1()( )()(1)2jnnC jjMeR jj 閉環(huán)幅頻特性、

9、相頻特性為22221( )(1)(2)nnM222( )1nnarctg 時(shí)，產(chǎn)生諧振 707. 00令0ddM得諧振頻率221nr代入M表達(dá)式，得諧振峰值 將r2121rMM= 時(shí)的頻率值 稱截止頻率。 22B2121 rM 當(dāng)當(dāng) 0.707時(shí)，不存在諧振峰值，幅頻特殊性單調(diào)時(shí)，不存在諧振峰值，幅頻特殊性單調(diào)衰減；當(dāng)衰減；當(dāng) 0.707時(shí)，時(shí)，Mr 越小，系統(tǒng)阻尼性能越好，越小，系統(tǒng)阻尼性能越好， 越大，越大， Mp%越小越小。 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ( )706050403020100Mp% 100806040200 Mp Mr Mr 876543212/ 1%100

10、%e時(shí)域指標(biāo)與二階系統(tǒng)參數(shù) 有下面的關(guān)系： ,n 21pdnt21rdnt3.5(0.05,00.9)snt 給出閉環(huán)頻域指標(biāo) 和 中的任何兩個(gè)，可以通過解出 計(jì)算時(shí)間域指標(biāo)；同樣，給出時(shí)間域指標(biāo)中的任何兩個(gè)，可以確定閉環(huán)頻域指標(biāo)。 ,n ,rrMb2121rM211 1/2rM221%exp100%1rrrrMMMM 高階系統(tǒng)（開環(huán)、閉環(huán)）頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo) 諧振峰值Mr Mr %一般 Mr =1.11.4 對(duì)應(yīng)=0.40.7超調(diào)量8 . 11) 1( 4 . 016. 0rrMM調(diào)節(jié)時(shí)間csKt8 . 11) 1( 5 . 2) 1( 5 . 122rrrMMMK009035,sin1rM

11、5.10 開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性與時(shí)域指標(biāo)5.10.1 開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性“三頻段”概念 低頻段低頻段取決于開環(huán)增益和開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目，通常指開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率以前的區(qū)段，低頻段決定了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。 中頻段中頻段指開環(huán)幅相特性曲線在截止頻率 附近的區(qū)段。c下面通過兩個(gè)典型情況分析中頻段以前的區(qū)段對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。（1）通過截止頻率 的斜率為-20dB/decc假設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并近似認(rèn)為整個(gè)開環(huán)特性為-20dB/dec則，開環(huán)傳遞函數(shù)為( )cKG sss對(duì)單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為/( )1( )1( )1/1cccsG sssG ss相位裕度約為90，幅值裕度為無窮大，超調(diào)量為零，調(diào)節(jié)時(shí)間3/sctcst 所以，系統(tǒng)具良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。32c寬度：（2）通過截止頻率 的斜率為-40dB/decc假設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并近似認(rèn)為整個(gè)開環(huán)特性為-40dB/dec則，開環(huán)傳遞函數(shù)為222( )cKG sss對(duì)單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為2222222/( )( )1( )1/ccccsG ssG sss相位裕度為0，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，動(dòng)態(tài)過程持續(xù)振蕩。如果系統(tǒng)通過 點(diǎn)的頻率更陡，閉環(huán)系統(tǒng)將更難以穩(wěn)定。因此，中頻段應(yīng)該有較寬的-20斜率，該斜率越寬，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好