論文 橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式的四種推導(dǎo)方法及其應(yīng)用-

1、橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式的四種推導(dǎo)方法及其應(yīng)用江西省上猶中學(xué) 劉鵬關(guān)鍵詞：橢圓 焦點(diǎn)弦 弦長(zhǎng)公式 應(yīng)用摘要：直線與橢圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，可以用萬(wàn)能的弦長(zhǎng)公式解決即或者，而有一種特殊的弦是過(guò)焦點(diǎn)的弦，它的弦長(zhǎng)有專門的公式：，如果記住公式，可以給我們解題帶來(lái)方便.下面我們用萬(wàn)能弦長(zhǎng)公式，余弦定理，焦半徑公式，仿射性四種方法來(lái)推導(dǎo)橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，這幾種方法涉及到很多思想，最后舉例說(shuō)明其應(yīng)用.解法一：根據(jù)弦長(zhǎng)公式直接帶入解決.題：設(shè)橢圓方程為，左右焦點(diǎn)分別為，直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).橢圓方程可化為，直線l過(guò)右焦點(diǎn)，則可以假設(shè)直線為：(斜率不存在即為時(shí))，代入得：，整理得，（1）若直線l

2、的傾斜角為，且不為,則，則有：,由正切化為余弦，得到最后的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式為.（2）若，則，帶入,得通徑長(zhǎng)為，同樣滿足式.并且由,當(dāng)且僅當(dāng)即斜率不存在的時(shí)候，過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)最短為，故可知通徑是最短的焦點(diǎn)弦，.綜上，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式為.解法二：根據(jù)余弦定理解決題：設(shè)橢圓方程為，左右焦點(diǎn)分別為，直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).解：如右圖所示，連結(jié)，設(shè)，假設(shè)直線的傾斜角為，則由橢圓定義可得，在中，由余弦定理得，化簡(jiǎn)可得，在中，由余弦定理同理可得，則弦長(zhǎng).解法三：利用焦半徑公式解決題：設(shè)橢圓方程為，左右焦點(diǎn)分別為，直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).解：由解法一知.由橢圓的第二定義可得焦半徑公式，

3、那么故后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解決題：設(shè)橢圓方程為，左右焦點(diǎn)分別為，直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).解：利用仿射性，可做如下變換，則原橢圓變?yōu)椋@是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.假設(shè)原直線的斜率為，則變換后斜率為.橢圓中弦長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)變換后變?yōu)?，帶入，得變換前后弦長(zhǎng)關(guān)系為而我們知道圓的弦長(zhǎng)可以用垂徑定理求得.如圖所示，假設(shè)直線為，圓心到直線的距離為，根據(jù)半徑為，勾股定理求得弦長(zhǎng)為，將此結(jié)果帶入中，得，由，帶入得.上面我們分別用了四種不同的方法，求出了橢圓中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式為：，記住這個(gè)公式，可以幫助我們快速解決一些題目，下面我們舉例說(shuō)明.例1 已知橢圓，過(guò)橢圓焦點(diǎn)且斜率為的直

4、線交橢圓于兩點(diǎn)，求.分析：如果直接用弦長(zhǎng)公式解決，因?yàn)橛懈?hào)，特別繁瑣，利用公式則迎刃而解.解：由題，,帶入得.例2 已知點(diǎn)在橢圓：上，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，,試判斷是否為定值？若是定值，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由.分析：因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)，故弦長(zhǎng)可以用過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式解決，顯得十分簡(jiǎn)潔簡(jiǎn)單.解：（1）由題知，將點(diǎn)帶入得，又，解得，故橢圓方程為.（2）假設(shè)，則，設(shè)傾斜角為，則，根據(jù)過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式則，故.例3 如圖，已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交于點(diǎn)(在軸下方)，且，求四邊形的面積的最大值.分析：注意到以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，故形成的點(diǎn)在圓內(nèi)，先可以用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式表示出面積，再利用換元求出其最大值.解：假設(shè)的傾斜角為,則的傾斜角為，由橢圓的焦點(diǎn)