課件第七章氣體動理論

1、第七章 氣體動理論引 言一、物質(zhì)運動理論的基本觀點(1) 宏觀物體是由大量微粒-分子（或原子）組成的。(2) 物體中的分子處于永不停息的無規(guī)則運動中，其激烈程度與溫度有關。(3) 分子之間存在著相互作用力。從上述物質(zhì)分子運動論的基本觀點出發(fā)，研究和說明宏觀物體的各種現(xiàn)象和性能是統(tǒng)計物理學的任務二、本章主要內(nèi)容本章討論的氣體分子運動論是統(tǒng)計物理學最簡單最基本的內(nèi)容。目的在于使我們了解一些氣體性質(zhì)的微觀解釋，并學到一些統(tǒng)計物理的基本概念和方法。本章主要內(nèi)容：物質(zhì)的微觀模型、理想氣體壓強和溫度的微觀本質(zhì)、能量均分定理、氣體內(nèi)能、麥克斯韋氣體分子速率分布律、分子平均自由程、碰撞次數(shù)。第一節(jié) 物質(zhì)的微觀

2、模型 統(tǒng)計規(guī)律性一、分子的數(shù)密度和線度二、分子力三、熱運動的無序性和統(tǒng)計規(guī)律性第二節(jié) 理想氣體的壓強公式引語：為什么必須采用統(tǒng)計方法？一、理想氣體的微觀模型包括物質(zhì)運動理論的三個基本觀點和以下幾個假設（1） 分子本身的線度，比起分子之間的距離來說可以忽略不計，即理想氣體分子可看作無體積大小的質(zhì)點。（2） 除碰撞瞬間外，分子之間以及分子與器壁之間相互作用可以忽略。（3） 分子之間以及分子與器壁之間的碰撞是完全彈性的，即碰撞前后氣體分子動能守恒。實際氣體在壓強不太大，溫度不太低時可以近似為理想氣體。二、理想氣體壓強公式1推導過程（注意在何處應用統(tǒng)計方法？）從微觀上看，氣體的壓強等于大量分子在單位時

3、間內(nèi)施加在單位面積器壁上的平均沖量。有，（1）dI為大量分子在dt時間內(nèi)施加在器壁dA面上的平均沖量。設在體積為V的容器中儲有N個質(zhì)量為m的分子組成的理想氣體。平衡態(tài)下，若忽略重力影響，則分子在容器中按位置的分布是均勻的。分子數(shù)密度為，（2）為討論方便，將分子按速度分組，第i組分子的速度為vi（嚴格說在vi 附近）分子數(shù)為Ni,分子數(shù)密度為 ni=Ni/V，并有.（3）平衡態(tài)下，器壁各處壓強相等，取直角坐標系，在垂直于x軸的器壁上任取一小面積dA,計算其所受的壓強如圖7-1所示。單個分子在對dA的一次碰撞中施于dA的沖量為 2mvix .dt時間內(nèi)，碰到dA面的第i組分子施于dA的沖量為 2

4、m ni vix 2 dt dA .關鍵在于：在全部速度為vi的分子中，在dt時間內(nèi)，能與dA相碰的只是那些位于以dA為底，以 vix dt 為高，以 vi為軸線的柱體內(nèi)的分子。分子數(shù)為ni vix dt dA . 因此，dt時間內(nèi)，與dA相碰撞的所有分子施與dA的沖量為，（4）注意： vix< 0 的分子不能與dA碰撞。容器中氣體無整體運動，平均來講 vix> 0 的分子數(shù)等于 vix< 0 的分子數(shù)。因此.（5）將（5）代入（1）可得容器壁的壓強為：，（6）定義x方向均方速度：，（7）則.（8）平衡態(tài)下，分子速度按方向的分布是均勻的，有：，因為，可知，（9）所以，（10）

5、或者，（11）這就是理想氣體壓強公式。其中為氣體分子平均動能。2討論（1）理想氣體壓強公式（11）式顯示了宏觀量與微觀量的關系。（2）理想氣體壓強公式（11）式是力學原理與統(tǒng)計方法相結(jié)合得出的統(tǒng)計規(guī)律。（3）注意到氣體的密度，因此，（11）式也可以改寫為.第三節(jié) 理想氣體分子的平均平動動能與溫度的關系一、理想氣體狀態(tài)方程的分子形式由第六章（理想氣體狀態(tài)方程）有pV=nRT.若知分子總數(shù)N，則有.定義玻爾茲曼常數(shù).則 pV=Nk，或 p=nkT，這就是理想氣體狀態(tài)方程的分子形式。二、溫度的微觀意義比較 p=nkT和，有，（12）由表征分子無規(guī)則運動激烈程度，可知溫度標志著物體內(nèi)部分子無規(guī)則運動的

6、激烈程度。課本給出了數(shù)量級大小的討論。 第四節(jié) 能量均分定理 理想氣體的內(nèi)能將理想氣體模型稍作修改，即將氣體分為單原子分子氣體，雙原子分子氣體，多原子分子氣體。這樣，氣體分子除平動外，還有轉(zhuǎn)動和分子內(nèi)原子之間的振動。為用統(tǒng)計方法計算分子動能，首先介紹自由度的概念一、自由度1剛性分子的自由度（1）自由度的概念力學中，自由度是指確定一個物體在空間的位置所需要的獨立坐標數(shù)目。對于剛性理想氣體分子，平動自由度t=3 .（2） 平動自由度t由理想氣體分子的平均平動動能公式.以及 .可得.可見對于每一個平動自由度，貢獻的平均動能為.（3）剛性雙原子分子和轉(zhuǎn)動自由度r考慮剛性雙原子理想氣體分子，還必須考慮原

7、子圍繞分子質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動能量為，可見加上三個平動項，剛性雙原子理想氣體分子的能量表達式中有5項獨立的完全平方項。稱為有5個自由度（t=3，r=2）.（4）剛性雙原子分子這時 ，t=3，r=3 .列表如下：分子種類平動自由度t轉(zhuǎn)動自由度r總自由度i單原子分子303雙原子分子325多原子分子3362非剛性雙原子分子的自由度 振動自由度s振動能量 ，因此振動自由度s=2 .二、能量按自由度均分定理每個平動自由度的平均動能，推廣到轉(zhuǎn)動等其它運動形式，得能量均分定理。玻爾茲曼假設：在溫度為 T 的平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的每一個自由度具有相同的平均動能，其大小都等于，這就是能量按自由度均分定理。這樣，每個理

8、想氣體分子的平均能量為：，其中：i=t+r+s分子的總自由度數(shù)目。注意：（1）是統(tǒng)計規(guī)律，只適用于大量分子組成的系統(tǒng)。（2）是氣體分子無規(guī)則碰撞的結(jié)果。（3）經(jīng)典統(tǒng)計物理可給出嚴格證明。三、理想氣體的內(nèi)能 摩爾熱容1理想氣體的內(nèi)能我們用i表示一個分子的總自由度，N 表示氣體分子的總數(shù)，n 表示氣體總摩爾數(shù)。則有：每個分子的平均能量；理想氣體的內(nèi)能，可見理想氣體的內(nèi)能只是溫度的函數(shù)而且與熱力學溫度成正比。此結(jié)論在與室溫相差不大的溫度范圍內(nèi)與實驗近似相符。2理想氣體的摩爾熱容（1）理論值由第六章第四節(jié)中我們學習過的等體摩爾熱容的定義 ，以及，易得：.此外由，可得.第五節(jié) 麥克斯韋氣體分子速率分布律

9、0、引言1方均根速率由氣體分子的平均平動動能：，可得，所以，.我們將稱為方均根速率（root mean square speed）記為，可見在同一溫度下，質(zhì)量大的分子其方均根速率小。氣體中個別分子的速度具有怎樣的數(shù)值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整體來看，在一定的條件下，氣體分子的速度分布也遵從一定的統(tǒng)計規(guī)律。2氣體分子速度的統(tǒng)計規(guī)律的發(fā)展歷史1859年，麥克斯韋應用概率理論推導出氣體分子速率的分布規(guī)律；不久，玻爾茲曼用經(jīng)典統(tǒng)計力學方法推導出來；1920年斯特恩用實驗驗證其正確性。一、測定氣體分子速率分布的實驗自學二、麥克斯韋氣體分子速率分布定律為研究氣體分子速度分布的定量規(guī)律，有必要介紹

10、分布函數(shù)的概念。1速率分布函數(shù)f(v)（1）定義一定量的氣體分子總數(shù)為N . 其中：速率分布在某區(qū)間 vv+dv內(nèi)的分子數(shù)為dNv ，分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率（或百分比）為.是v的函數(shù)，在不同速率附近取相等的區(qū)間，此比率一般不相等。當速率區(qū)間足夠小時（宏觀小，微觀大），dNv/N還應與區(qū)間大小成正比。因此有 ，或.（2）f(v)物理意義：速率在 v 附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（3）歸一化條件.2麥克斯韋氣體分子速率分布定律使用概率理論，麥克斯韋推導出：在平衡態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在任一速率區(qū)間 vv+dv 的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為，麥克斯

11、韋速率分布函數(shù)為. 圖7-13麥克斯韋率度分布曲線 曲線下面寬度為 dv 的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率.三、三種統(tǒng)計速率1最可幾（最概然）速率vP（1）定義：最可幾速率vP為與 f(v)極大值對應的速率。（2）物理意義：若把整個速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在 vP所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。 由麥克斯韋速率分布函數(shù).令可解得，而且當v = vP時，. vP 隨 T 升高而增大，隨 m 增大而減小。2平均速率由定義：可得，計算得.3方均根速率因為，所以，.和引言中的結(jié)論一致。三種速率的比較：.第七節(jié) 分子平均碰撞頻率和平均自由程分子間的無規(guī)則碰撞在氣體由非平

12、衡態(tài)過渡到平衡態(tài)的過程中起著關鍵作用。在研究分子碰撞規(guī)律時，可把氣體分子看作無吸引力的有效直徑為d的剛球。一、平均自由程和平均碰撞頻率的定義1平均自由程 在一定的宏觀條件下一個氣體分子在連續(xù)兩次碰撞之間所可能經(jīng)過的各段自由路程的平均值。用表示。2平均碰撞頻率 一個分子在單位時間內(nèi)所受到的平均碰撞次數(shù)。用表示。3二者關系.二、平均自由程和平均碰撞頻率的計算1設想：跟蹤分子A，看其在一段時間內(nèi)與少分子相碰。2推導過程（1）假設：其他分子靜止不動，只有分子A在它們之間以平均相對速率用運動。應用麥克斯韋速度分布律可得.（2）分子A的運動軌跡為一折線，以A的中心運動軌跡（圖中虛線）為軸線，以分子有效直徑d為半徑，作一曲折圓柱體。凡中心在此圓柱體內(nèi)的分子都會與A相碰。圖7-2圓柱體的截面積為S ，叫做分子的碰撞截面.在時間內(nèi)，分子A所走過的路程為 ，相應圓柱